数学必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制练习题

这是一份数学必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制练习题，共10页。试卷主要包含了度量角的两种单位制，弧度数的计算，角度制与弧度制的换算，一些特殊角与弧度数的对应关系等内容，欢迎下载使用。


1．度量角的两种单位制
(1)角度制：
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的eq \f(1,360).
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
思考：比值eq \f(l,r)与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2.
1．下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是eq \f(π,3) rad
B．－eq \f(10,3)π rad化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－eq \f(7,6)π rad
D.eq \f(π,12) rad化成度是15°
C [对于A,60°＝60×eq \f(π,180) rad＝eq \f(π,3) rad；对于B，－eq \f(10,3)π rad＝－eq \f(10,3)×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×eq \f(π,180) rad＝－eq \f(5,6)π rad；对于D，eq \f(π,12) rad＝eq \f(1,12)×180°＝15°.故选C.]
2.eq \f(29π,6)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B [eq \f(29π,6)＝4π＋eq \f(5π,6).∵eq \f(5,6)π是第二象限角，∴eq \f(29π,6)是第二象限角．]
3．(1)eq \f(7π,5) rad化为角度是________．
(2)105°的弧度数是________．
(1)252° (2)eq \f(7π,12) [(1)eq \f(7π,5) rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,5)×\f(180,π)))°＝252°；
(2)105°＝105×eq \f(π,180) rad＝eq \f(7π,12) rad.]
4．半径为2，圆心角为eq \f(π,6)的扇形的面积是________．
eq \f(π,3) [由已知得S扇＝eq \f(1,2)×eq \f(π,6)×22＝eq \f(π,3).]
角度与弧度的互化与应用
【例1】 (1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－eq \f(5π,12)rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝eq \f(π,10) rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝eq \f(7π,12) rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
(1)①eq \f(5π,8)rad ②－75° [(1)①因为1°＝eq \f(π,180)rad，
所以112°30′＝eq \f(π,180)×112.5 rad＝eq \f(5π,8)rad.
②因为1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°，
所以－eq \f(5π,12)rad＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°＝－75°.]
(2)法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×eq \f(π,180) rad＝eq \f(π,12) rad，θ＝105°＝105×eq \f(π,180) rad＝eq \f(7π,12) rad.
显然eq \f(π,12)＜eq \f(π,10)＜1＜eq \f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二(化为角度)：
β＝eq \f(π,10) rad＝eq \f(π,10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，
φ＝eq \f(7π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.
故α＜β＜γ＜θ＝φ.
角度制与弧度制互化的关键与方法
1关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
2方法：度数×EQ \f(π,180)＝弧度数；弧度数×EQ \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数；
3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
1．(1)将－157°30′化成弧度为________．
(2)将－eq \f(11π,5) rad化为度是________．
(1)－eq \f(7,8)π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－eq \f(315,2)×eq \f(π,180) rad＝－eq \f(7,8)π rad.
(2)－eq \f(11π,5) rad＝－eq \f(11π,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝－396°.]
2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
eq \f(2,5)π，eq \f(12,5)π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝eq \f(2,5)π rad；
当k＝1时，θ＝432°＝eq \f(12,5)π rad，
所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有eq \f(2,5)π，eq \f(12,5)π.]
用弧度数表示角
【例2】 (1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
[思路点拨] (1)eq \x(\A\AL(判断角α的,终边位置))→eq \x(\A\AL(用弧度制表示,角α的集合))
(2)eq \x(在[0，2π内找角表示终边落在第一象限阴影内的角)
→eq \x(加kπk∈Z表示角θ的集合)
(1)D [因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).]
(2)[解] 因为30°＝eq \f(π,6) rad,210°＝eq \f(7π,6) rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)<θ1．弧度制下与角α终边相同的角的表示：
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
3．下列与eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
C [A，B中弧度与角度混用，不正确．
eq \f(9,4)π＝2π＋eq \f(π,4)，所以eq \f(9,4)π与eq \f(π,4)终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解] 30°＝eq \f(π,6) rad,150°＝eq \f(5π,6) rad.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ＜β＜\f(5π,6)＋kπ，k∈Z)))).
弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
1．用公式|α|＝eq \f(l,r)求圆心角时，应注意什么问题？
提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．
【例3】 (1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．
(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．
[思路点拨] (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数．
(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．
(1)2－eq \f(π,2) [设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，
由题意可得eq \f(1,2)×12×α＝12－eq \f(π×12,4)，
∴解得α＝2－eq \f(π,2).]
(2)设扇形的弧长为l，半径为r，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝60，,\f(1,2)lr＝20，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝15＋\r(205)，,l＝\f(40,15＋\r(205))))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝15－\r(205)，,l＝\f(40,15－\r(205))，))
∴扇形的圆心角的弧度数为
eq \f(l,r)＝43－3eq \r(205)或43＋3eq \r(205).
1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．
[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＋2r＝10，①,\f(1,2)lr＝4.②))
由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8(cm)，
此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去．
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2) rad.
2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.
[解] 设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60，
所以l＝60－2r，|α|＝eq \f(l,r)＝eq \f(60－2r,r)，
从而S＝eq \f(1,2)|α|r2＝eq \f(1,2)·eq \f(60－2r,r)·r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225，
当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝eq \f(l,r)＝eq \f(60－2r,r)＝2 rad，
可得弧长AB＝αr＝2×15＝30 (cm)．
弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝eq \f(1,2)αr2和S＝eq \f(1,2)lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
1．在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用．
2．弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是弧度制下．同时也应注意与其他知识如函数内容的结合．
1．思考辨析( )
(1)1弧度的角是周角的eq \f(1,360).
(2)1弧度的角大于1度的角．
[提示] (1)错误，1弧度的角是周角的eq \f(1,2π).(2)正确．
[答案] (1)× (2)√
2．圆的半径为r，该圆上长为eq \f(3,2)r的弧所对的圆心角是( )
A.eq \f(2,3) rad B.eq \f(3,2) rad
C.eq \f(2π,3) rad D.eq \f(3π,2) rad
B [由弧度数公式α＝eq \f(l,r)，得α＝eq \f(\f(3,2)r,r)＝eq \f(3,2)，因此圆弧所对的圆心角是eq \f(3,2) rad.]
3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.
eq \f(5π,6) [－570°＝－eq \f(19π,6)＝－4π＋eq \f(5π,6).]
4．求半径为π cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．
[解] 因为r＝π，α＝120×eq \f(π,180)＝eq \f(2π,3)，
所以l＝αr＝eq \f(2π2,3) cm，S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(π3,3) cm2.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．
2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)
3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
1.通过对弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．借助弧度制与角度制的换算，提升学生的数学运算素养.
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
eq \f(2π,3)
eq \f(3π,4)
eq \f(5π,6)
π
eq \f(3π,2)
2π