人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念课后作业题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念课后作业题，共13页。试卷主要包含了平方关系，商数关系等内容，欢迎下载使用。


1．平方关系
(1)公式：sin2α＋cs2α＝1.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
2．商数关系
(1)公式：eq \f(sin α,cs α)＝tan_α(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
思考：对任意的角α，sin22α＋cs22α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
1．化简eq \r(1－sin2\f(3π,5))的结果是( )
A．cseq \f(3π,5) B．sineq \f(3π,5)
C．－cseq \f(3π,5) D．－sineq \f(3π,5)
C [因为eq \f(3π,5)是第二象限角，
所以cseq \f(3π,5)＜0，
所以eq \r(1－sin2\f(3π,5))＝eq \r(cs2\f(3π,5))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,5)))＝－cseq \f(3π,5).]
2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－eq \f(sin α,cs α)
B．cs α＝－eq \r(1－sin2 α)
C．sin α＝－eq \r(1－cs2 α)
D．tan α＝eq \f(cs α,sin α)
B [由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cs α＜0，sin α＞0，故B正确．]
3．若cs α＝eq \f(3,5)，且α为第四象限角，则tan α＝________.
－eq \f(4,3) [因为α为第四象限角，且cs α＝eq \f(3,5)，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).]
直接应用同角三角函数关系求值
【例1】 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tan α＝2，则cs α＝________.
(2)已知cs α＝－eq \f(8,17)，求sin α，tan α的值．
[思路点拨] (1)根据tan α＝2和sin2α＋cs2α＝1列方程组求cs α.
(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.
(1)－eq \f(\r(5),5) [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin α,cs α)＝2，①,sin2α＋cs2α＝1，②))
由①得sin α＝2cs α代入②得4cs2α＋cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(1,5)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以cs α＜0，
所以cs α＝－eq \f(\r(5),5).]
(2)[解] ∵cs α＝－eq \f(8,17)＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,17)))2)＝eq \f(15,17)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq \f(15,8).
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(15,17)，tan α＝eq \f(15,8).
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
1已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
2若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.
1．已知sin α＋3cs α＝0，求sin α，cs α的值．
[解] ∵sin α＋3cs α＝0，
∴sin α＝－3cs α.
又sin2α＋cs2α＝1，
∴(－3cs α)2＋cs2α＝1，
即10cs2α＝1，
∴cs α＝±eq \f(\r(10),10).
又由sin α＝－3cs α，
可知sin α与cs α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3,10)eq \r(10)；
当角α的终边在第四象限时，cs α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝－eq \f(3,10)eq \r(10).
灵活应用同角三角函数关系式求值
【例2】 (1)已知sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，计算下列各式的值．
①eq \f(3sin α－cs α,2sin α＋3cs α)；
②sin2α－2sin αcs α＋1.
[思路点拨] (1)法一：eq \x(求sin αcs α)→eq \x(求sin α－cs α)→eq \x(求sin α和cs α)→eq \x(求tan α)
法二：eq \x(求sin αcs α)→eq \x(弦化切构建关于tan α的方程)→eq \x(求tan α)
(2)eq \x(求tan α)→eq \x(换元或弦化切求值)
(1)－eq \f(12,5) [法一：(构建方程组)
因为sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，①
所以sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝eq \f(49,169)，
即2sin αcs α＝－eq \f(120,169).
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cs α＜0.
所以sin α－cs α＝eq \r(sin α－cs α2)＝eq \r(1－2sin αcs α)＝eq \f(17,13).②
由①②解得sin α＝eq \f(12,13)，cs α＝－eq \f(5,13)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(12,5).
法二：(弦化切)
同法一求出sin αcs α＝－eq \f(60,169)，eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝－eq \f(60,169)，eq \f(tan α,tan2α＋1)＝－eq \f(60,169)，
整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－eq \f(5,12)或tan α＝－eq \f(12,5).
由sin α＋cs α＝eq \f(7,13)＞0知|sin α|＞|cs α|，故tan α＝－eq \f(12,5).]
(2)[解] 由eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，化简，
得sin α＝3cs α，
所以tan α＝3.
①法一(换元)原式＝eq \f(3×3cs α－cs α,2×3cs α＋3cs α)＝eq \f(8cs α,9cs α)＝eq \f(8,9).
法二(弦化切)原式＝eq \f(3tan α－1,2tan α＋3)＝eq \f(3×3－1,2×3＋3)＝eq \f(8,9).
②原式＝eq \f(sin2α－2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋1
＝eq \f(tan2α－2tan α,tan2α＋1)＋1＝eq \f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq \f(13,10).
1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？
[解] 由例(1)求出2sin αcs α＝－eq \f(120,169)，
因为α∈(－π，0)，
所以sin α＜0，cs α＞0，
所以sin α－cs α＝－eq \r(sin α－cs α2)
＝－eq \r(1－2sin αcs α)＝－eq \f(17,13).
与sin α＋cs α＝eq \f(7,13)联立解得
sin α＝－eq \f(5,13)，cs α＝eq \f(12,13)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12).
2．将本例(1)的条件“sin α＋cs α＝eq \f(7,13)”改为“sin α·cs α＝－eq \f(1,8)”其他条件不变，求cs α－sin α.
[解] 因为sin αcs α＝－eq \f(1,8)＜0，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α－sin α＜0，
cs α－sin α＝－eq \r(1－2sin αcs α)＝－eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8))))＝－eq \f(\r(5),2).
1．sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
2．已知tan α＝m，求关于sin α，cs α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cs α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cs α≠0，所以可除以cs α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．
提醒：求sin α＋cs α或sin α－cs α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
应用同角三角函数关系式化简
【例3】 (1)化简eq \f(2sin2α－1,1－2cs2α)＝________.
(2)化简eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(tan α－sin α,tan α＋sin α)).(其中α是第三象限角)
[思路点拨] (1)将cs2α＝1－sin2α代入即可化简．
(2)首先将tan α化为eq \f(sin α,cs α)，然后化简根式，最后约分．
(1)1 [原式＝eq \f(2sin2α－1,1－21－sin2α)＝eq \f(2sin2α－1,2sin2α－1)＝1.]
(2)[解] 原式＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(\f(sin α,cs α)－sin α,\f(sin α,cs α)＋sin α))
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(1－cs α2,1－cs2α))
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(1－cs α,|sin α|).
又因为α是第三象限角，
所以sin α＜0.
所以原式＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(1－cs α,－sin α)＝－1.
三角函数式化简的常用方法
1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
提醒：在应用平方关系式求sin α或cs α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
2．化简tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角．
[解] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cs α＜0.
故tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)＝tan αeq \r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tan αeq \r(\f(cs2α,sin2α))＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs α,sin α)))＝eq \f(sin α,cs α)·eq \f(－cs α,sin α)＝－1.
应用同角三角函数关系式证明
[探究问题]
1．证明三角恒等式常用哪些方法？
提示：(1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明eq \f(M,N)＝eq \f(P,Q)，则可证MQ＝NP，或证eq \f(Q,N)＝eq \f(P,M)等．
2．在证明eq \f(1＋sin α＋cs α＋2sin αcs α,1＋sin α＋cs α)＝sin α＋cs α时如何巧用“1”的代换．
提示：在求证eq \f(1＋sin α＋cs α＋2sin αcs α,1＋sin α＋cs α)＝sin α＋cs α时，观察等式左边有2sin αcs α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cs2α，
所以等式左边
＝eq \f(sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＋sin α＋cs α,1＋sin α＋cs α)
＝eq \f(sin α＋cs α2＋sin α＋cs α,1＋sin α＋cs α)
＝eq \f(sin α＋cs αsin α＋cs α＋1,sin α＋cs α＋1)
＝sin α＋cs α＝右边．
【例4】 求证：eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α).
[思路点拨] 解答本题可由关系式tan α＝eq \f(sin α,cs α)将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．
[证明] 法一：(切化弦)
左边＝eq \f(sin2α,sin α－sin αcs α)＝eq \f(sin α,1－cs α)，
右边＝eq \f(sin α＋sin αcs α,sin2α)＝eq \f(1＋cs α,sin α).
因为sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)，
所以eq \f(sin α,1－cs α)＝eq \f(1＋cs α,sin α)，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝eq \f(tan2α－sin2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2α－tan2αcs2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2α1－cs2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2αsin2α,tan α－sin αtan αsin α)＝eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)
＝左边，
所以原等式成立．
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
提醒：解决此类问题要有整体代换思想．
3．求证：(1)eq \f(sin α－cs α＋1,sin α＋cs α－1)＝eq \f(1＋sin α,cs α)；
(2)2(sin6 θ＋cs6 θ)－3(sin4 θ＋cs4 θ)＋1＝0.
[证明] (1)左边
＝eq \f(sin α－cs α＋1sin α＋cs α＋1,sin α＋cs α－1sin α＋cs α＋1)
＝eq \f(sin α＋12－cs2 α,sin α＋cs α2－1)
＝eq \f(sin2 α＋2sin α＋1－1－sin2 α,sin2 α＋cs2 α＋2sin αcs α－1)
＝eq \f(2sin2 α＋2sin α,1＋2sin αcs α－1)
＝eq \f(2sin αsin α＋1,2sin αcs α)＝eq \f(1＋sin α, cs α)
＝右边，
∴原等式成立．
(2)左边＝2[(sin2 θ)3＋(cs2 θ)3]－3(sin4 θ＋cs4 θ)＋1
＝2(sin2 θ＋cs2 θ)(sin4 θ－sin2 θcs2 θ＋cs4 θ)－3(sin4 θ
＋cs4 θ)＋1
＝(2sin4 θ－2sin2 θcs2 θ＋2cs4 θ)－(3sin4 θ＋3cs4 θ)＋1
＝－(sin4 θ＋2sin2 θcs2 θ＋cs4 θ)＋1
＝－(sin2 θ＋cs2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立．
1．思考辨析
(1)对任意角α，eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))＝tan eq \f(α,2)都成立．( )
(2)因为sin2 eq \f(9,4)π＋cs2 eq \f(π,4)＝1，所以sin2α＋cs2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )
(3)对任意角α，sin α＝cs α·tan α都成立．( )
[提示] 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(1)错，(3)错．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知tan α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)的值是( )
A.eq \f(4,3) B．3 C．－eq \f(4,3) D．－3
A [因为tan α＝－eq \f(1,2)，
所以eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α－1)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2－1)＝eq \f(4,3).]
3．已知α是第二象限角，tan α＝－eq \f(1,2)，则cs α＝________.
－eq \f(2\r(5),5) [因为eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2)，且sin2α＋cs2α＝1，
又因为α是第二象限角，
所以cs α＜0，
所以cs α＝－eq \f(2\r(5),5).]
4．(1)化简eq \r(sin2α－sin4α)，其中α是第二象限角．
(2)求证：1＋tan2α＝eq \f(1,cs2α).
[解] (1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cs α＜0，
所以sin αcs α＜0，
所以eq \r(sin2α－sin4α)＝eq \r(sin2α1－sin2α)
＝eq \r(sin2αcs2α)
＝－sin αcs α.
(2)证明：1＋tan2α＝1＋eq \f(sin2α,cs2α)＝eq \f(cs2α＋sin2α,cs2α)＝eq \f(1,cs2α).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．
2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.