2020-2021学年江西省南昌市高三（下）4月联考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省南昌市高三（下）4月联考数学（理）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设全集为R，集合A={x|x>2}，B={x|−10，
故A>B，故①错，②对，③对.
故选C．
12.
【答案】
D
【考点】
圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线中的范围与最值问题
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设直线l:x=my+2，Mx1,y1，Nx2,y2，联立y2=8x,x=my+2,
整理得y2−8my−16=0，
则y1+y2=8m，
则x1+x2=my1+y2+4=8m2+4，
故点A的坐标为4m2+2,4m，直线OA的方程为y=4m4m2+2x，
即y=2m2m2+1x，由题意知，m≠0，与y2=8x联立可得yB=42m2+1m，
则|OB||OA|=|yB||yA|=2+1m2>2，故实数λ的取值范围为(−∞,2]，
故选D．
二、填空题
【答案】
−480
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，所求系数为C62⋅C41⋅−23=−15×4×8=−480．
故答案为：−480．
【答案】
124π3
【考点】
由三视图求体积
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，V=13(S+S′+SS′)⋅ℎ
=13(π×12+π×52+π×12×π×52)⋅4
=124π3．
故答案为：124π3．
【答案】
32
【考点】
三角函数的最值
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意fx=sinx⋅csx+3cs2x−1
=12sin2x+3⋅cs2x+12−1
=sin2x+π3+32−1，
因为x∈0,π2，
所以2x+π3∈π3,4π3，
当2x+π3=π2，即x=π12时，fx取得最大值32．
故答案为：32．
【答案】
100π
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
柱体、锥体、台体的体积计算
利用导数研究函数的最值
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，则a+b=6，以长度为b的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为V=13πa2b=13π(6a2−a3) ，
V′=13π12a−3a2=π4a−a2，
当00,
令ℎ(x)=lnx−x2−1ex(x>1)，
则ℎ′(x)=1x−2x−x2+1ex=ex+x3−2x2−xxex．
令φ(x)=ex+x3−2x2−x(x>1)，则φ′x=ex+3x2−4x−1．
φ′(x)在(1,+∞)上是增函数，且φ′(1)=e−2>0，
∴ φ′(x)>φ′(1)>0，∴ φ(x)在(1,+∞)上为增函数，
∵ φ(1)=e−2>0，∴ φ(x)>0，
∴ ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(1,+∞)上为增函数，
∴ ℎ(x)>ℎ(1)=0，故f(x)>x+1lnx．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】

(2)答案未提供解析．
【解答】
(1)解：依题意，定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，
f′(x)=aex(x−1)−aex(x−1)2=aex(x−2)(x−1)2，
令f′x=0，解得x=2，
若a>0，则当x∈−∞,1时f′x0，当x∈2,+∞时，f′x0时，函数f(x)在−∞,1，(1,2)上单调递减，在2,+∞上单调递增；
当a1时，要证：f(x)>x+1lnx，即证：exx−1>x+1lnx，
即证：lnx−x2−1ex>0,
令ℎ(x)=lnx−x2−1ex(x>1)，
则ℎ′(x)=1x−2x−x2+1ex=ex+x3−2x2−xxex．
令φ(x)=ex+x3−2x2−x(x>1)，则φ′x=ex+3x2−4x−1．
φ′(x)在(1,+∞)上是增函数，且φ′(1)=e−2>0，
∴ φ′(x)>φ′(1)>0，∴ φ(x)在(1,+∞)上为增函数，
∵ φ(1)=e−2>0，∴ φ(x)>0，
∴ ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(1,+∞)上为增函数，
∴ ℎ(x)>ℎ(1)=0，故f(x)>x+1lnx．
【答案】
解：(1)由题意，3ρ2sin2θ=4−ρ2，故3y2=4−x2−y2，
故x2+4y2=4，则x24+y2=1，
故曲线C的直角坐标方程为x24+y2=1；
直线l：22ρ(sinθ+csθ)=10，
故直线l的直角坐标方程为x+y−25=0．
(2)设M(2csα,sinα)，则M到直线l的距离
d=|2csα+sinα−25|2
=|5sin(α+φ)−25|2
=25−5sin(α+φ)2(其中tanφ=2)，
所以当sin(α+φ)=−1时，dmax=3102，
所以点M到直线l的距离的最大值为3102．
【考点】
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
点到直线的距离公式
两角和与差的正弦公式
【解析】
（1）由题意，3ρ2sin2θ=4−ρ2，故3y2=4−x2−y2，
故x2+4y2=4，则x24+y2=1，
故曲线C的直角坐标方程为x24+y2=1；
直线l：22ρ(sinθ+csθ)=10，故直线l的直角坐标方程为x+y−25=0．
（2）设M(2csα,sinα)，则M到直线l的距离
d=|2csα+sinα−25|2=|5sin(α+φ)−25|2=25−5sin(α+φ)2(其中tanφ=2)，
所以当sin(α+φ)=−1时，dmax=3102，
所以点M到直线l的距离的最大值为3102．
【解答】
解：(1)由题意，3ρ2sin2θ=4−ρ2，故3y2=4−x2−y2，
故x2+4y2=4，则x24+y2=1，
故曲线C的直角坐标方程为x24+y2=1；
直线l：22ρ(sinθ+csθ)=10，
故直线l的直角坐标方程为x+y−25=0．
(2)设M(2csα,sinα)，则M到直线l的距离
d=|2csα+sinα−25|2
=|5sin(α+φ)−25|2
=25−5sin(α+φ)2(其中tanφ=2)，
所以当sin(α+φ)=−1时，dmax=3102，
所以点M到直线l的距离的最大值为3102．X
0
1
2
3
P
130
14
3160
15
X
0
1
2
3
P
130
14
3160
15