高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时综合训练题，共9页。试卷主要包含了公式五，公式六，计算等内容，欢迎下载使用。


1．公式五
(1)角eq \f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs_α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin_α.
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)).
(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs_α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
提示：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α.
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α.
1．下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin(π＋θ) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))
C [sin(π＋θ)＝－sin θ；sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝cs θ；
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝－sin θ.]
2．已知sin 19°55′＝m，则cs(－70°5′)＝________.
m [cs(－70°5′)＝cs 70°5′＝cs(90°－19°55′)
＝sin 19°55′＝m.]
3．计算：sin211°＋sin279°＝________.
1 [因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cs 11°，
所以原式＝sin211°＋cs211°＝1.]
4．化简sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝________.
－cs α [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)＋α))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－cs α.]
利用诱导公式化简求值
【例1】 (1)已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2)
C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值为________．
[思路点拨] (1)eq \x(\A\AL(239°＝180°＋59°,149°＝180°－31°,59°＋31°＝90°))→eq \x(\A\AL(选择公式,化简求值))
(2)eq \x(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝\f(π,2))→eq \x(选择公式化简求值)
(1)B (2)eq \f(1,2) [(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2).]
1．将例1(2)的条件中的“eq \f(π,3)－α”改为“eq \f(π,3)＋α”，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))的值．
[解] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)＋α))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \f(1,2).
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))的值．
[解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，所以eq \f(π,3)－α是第二象限角，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(\r(3),2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)＋α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(\r(3),2).
解决化简求值问题的策略：
1首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.
提醒：常见的互余关系有：EQ \f(π,3)－α与\f(π,6)＋α，\f(π,4)＋α与\f(π,4)－α等；
常见的互补关系有：EQ \f(π,3)＋θ与\f(2π,3)－θ，\f(π,4)＋θ与\f(3π,4)－θ等.
利用诱导公式证明恒等式
【例2】 (1)求证：
eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).
(2)求证：eq \f(cs6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tan θ.
[证明] (1)右边＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·－sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2cs θsin θ－1,cs2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ2,sin2θ－cs2θ)
＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝左边，
所以原等式成立．
(2)左边＝eq \f(cs θsin－θtan－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))
＝eq \f(cs θsin θtan θ,－sin θcs θ)＝－tan θ＝右边，
所以原等式成立．
三角恒等式的证明的策略
1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.
2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.
1．求证：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.
[证明] 因为eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)
＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)－2π))tan－x)
＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)),－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))tan x)＝eq \f(－sin x,cs xtan x)＝－1
＝右边，所以原等式成立．
诱导公式的综合应用
[探究问题]
1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？
提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．
2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？
提示：“奇变偶不变、符号看象限”．
【例3】 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．
[思路点拨] eq \x(解方程并根据sin α的取值范围确定sin α的值)→eq \x(\A\AL(由同角三角函数关,系式求cs α，tan α))→eq \x(用诱导公式化简)→eq \x(求值)
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－eq \f(3,5).
又α是第三象限角，
所以cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,4)，
所以eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin αcs α)·tan2α
＝eq \f(cs α－sin α,sin αcs α)·tan2α
＝－tan2α＝－eq \f(9,16).
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝eq \f(60,169)，且eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，求sin α与cs α的值．
[解] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))＝－cs α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))
＝－sin α，
∴sin α·cs α＝eq \f(60,169)，
即2sin α·cs α＝eq \f(120,169).①
又∵sin2α＋cs2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cs α)2＝eq \f(289,169)，
②－①得(sin α－cs α)2＝eq \f(49,169).
又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sin α＞cs α＞0，
即sin α＋cs α＞0，sin α－cs α＞0，
∴sin α＋cs α＝eq \f(17,13)，③
sin α－cs α＝eq \f(7,13)，④
(③＋④)÷2得sin α＝eq \f(12,13)，(③－④)÷2得cs α＝eq \f(5,13).
1．公式五反映了终边关于直线y＝x对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角eq \f(π,2)－α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值．
2．由于eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，因此由公式四及公式五可以得到公式六．
3．利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为0～2π的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)”．
1．思考辨析
(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．( )
(2)在△ABC中，sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2).( )
(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－－α))＝cs(－α)＝cs α.( )
[提示] (1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角．
(2)正确．因为eq \f(A＋B,2)＋eq \f(C,2)＝eq \f(π,2)，由公式五可知sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2).
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三角限角 D．第四象限角
B [由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ<0，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.]
3．已知cs α＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝________.
eq \f(2\r(6),5) [因为cs α＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α＝eq \f(2\r(6),5).]
4．化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),csπ＋α)－eq \f(sin2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sinπ－α).
[解] 原式＝eq \f(cs α－sin α,－cs α)－eq \f(sin－αsin α,sin α)
＝sin α－(－sin α)＝2sin α.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解公式五和公式六的推导方法．
2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)
3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)
1.借助诱导公式求值，培养数学运算素养．
2．通过诱导公式进行化简和证明，提示逻辑推理素养.