高中数学5.5 三角恒等变换第3课时课时训练

这是一份高中数学5.5 三角恒等变换第3课时课时训练，共10页。试卷主要包含了求值等内容，欢迎下载使用。


两角和与差的正切公式
1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D．4
C [∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝4，且tan α＋tan β＝2，
∴eq \f(2,1－tan αtan β)＝4，解得tan αtan β＝eq \f(1,2).]
2．求值：taneq \f(11π,12)＝________.
－2＋eq \r(3) [taneq \f(11π,12)＝－taneq \f(π,12)＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))
＝－eq \f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝－eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))
＝－2＋eq \r(3).]
3．已知tan α＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
－3 [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3.]
4.eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°tan 15°)＝________.
eq \r(3) [原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝eq \r(3).]
两角和与差的正切公式的正用
【例1】 (1)已知α，β均为锐角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝________.
(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
[思路点拨] (1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.
(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．
(1)eq \f(π,4) (2)eq \f(1,7) [(1)∵tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.
∵α，β均为锐角，
∴α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝eq \f(π,4).
(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(1,3)，
tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(1,2)，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝eq \f(tan∠CAD－tan∠BAD,1＋tan∠CADtan∠BAD)
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))
＝eq \f(1,7).]
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：
(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：
(1)计算待求角的正切值．
(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
(3)根据角的范围及三角函数值确定角．
1．(1)已知tanα－eq \f(5π,4)＝eq \f(1,5)，则tan α＝________.
(2)已知角α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，则tan β＝________.
(1)eq \f(3,2) (2)3 [(1)因为tanα－eq \f(5π,4)＝eq \f(1,5)，
所以tan α＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)＋\f(5π,4)))
＝eq \f(tanα－\f(5π,4)＋tan \f(5π,4),1－tanα－\f(5π,4)tan \f(5π,4))＝eq \f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq \f(3,2).
(2)因为cs α＝eq \f(3,5)，α为锐角，所以sin α＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(4,3)，
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tan α－tanα－β,1＋tan αtanα－β)＝eq \f(\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1＋\f(4,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝3.]
两角和与差的正切公式的逆用
【例2】 (1)eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝________.
(2)eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝________.
[思路点拨] 注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．
(1)eq \r(3) (2)－1 [(1)原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)
＝tan(45°＋15°)
＝tan 60°＝eq \r(3).
(2)原式＝eq \f(\f(\r(3),3)－tan 75°,1＋\f(\r(3),3)tan 75°)
＝eq \f(tan 30°－tan 75°,1＋tan 30°tan 75°)
＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.]
公式Tα±β的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
如eq tan\f(π,4)＝1，tan\f(π,6)＝\f(\r(3),3)，tan\f(π,3)＝\r(3)等.
要特别注意eq tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝\f(1＋tan α,1－tan α)，tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝\f(1－tan α,1＋tan α).
2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( )
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)
B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)
D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
A [∵sin 2α＝2sin 2β，
∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，
∴sin(α＋β)cs(α－β)＋cs(α＋β)sin(α－β)
＝2sin(α＋β)cs(α－β)－2cs(α＋β)sin(α－β)，
∴sin(α＋β)cs(α－β)＝3cs(α＋β)sin(α－β)，
两边同除以cs(α－β)cs(α＋β)得
tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]
两角和与差的正切公式的变形运用
[探究问题]
1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？
提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．
2．若tan α、tan β是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)?
提示：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝－eq \f(b,a－c).
【例3】 (1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.
(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
[思路点拨] (1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．
(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．
(1)1 [∵tan 67°－tan 22°
＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)
＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)
＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]
(2)[解] ∵eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，
∴eq \r(3)(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \f(\r(3),3)，∴tan(A＋B)＝－eq \f(\r(3),3).
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq \f(5π,6)，∴C＝eq \f(π,6).
∵tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，tan C＝eq \f(\r(3),3)，
∴tan B＋eq \f(\r(3),3)＋tan B＝eq \r(3)，tan B＝eq \f(\r(3),3)，
∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝eq \f(2π,3)，∴△ABC为等腰钝角三角形．
1．将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？
[解] ∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝eq \f(tan 68°－tan 23°,1＋tan 68°tan 23°)，
∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，
即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.
2．能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．
[解] 一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1.
证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)，
∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，
即tan α－tan β－tan αtan β＝1.
1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
(2)1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)；
(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
1．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋eq \f(π,2) (k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．
2．注意公式的变形应用．
如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，1＋tan αtan β＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)等.
1．思考辨析
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)都成立．( )
(3)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )
[提示] (1)√.当α＝0，β＝eq \f(π,3)时，tan(α＋β)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(π,3)))＝tan 0＋tan eq \f(π,3)，但一般情况下不成立．
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
(3)√.当α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝( )
A.eq \f(1,7) B．－eq \f(1,7) C．1 D．－1
A [tan α＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tan β,1－tanα－βtan β)＝eq \f(－2＋3,1－－2×3)＝eq \f(1,7).]
3．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝3，则tan α的值为________．
eq \f(6－5\r(3),13) [tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝eq \f(tan\f(π,3)－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)),1＋tan\f(π,3)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)))
＝eq \f(\r(3)－3,1＋\r(3)×3)
＝eq \f(\r(3)－33\r(3)－1,3\r(3)2－1)
＝eq \f(12－10\r(3),26)
＝eq \f(6－5\r(3),13).]
4．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3,5)，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．
[解] 因为α，β都是锐角，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，
sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝2，tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(4,3)，
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－2.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.
2.借助公式进行求值，提升数学运算素养.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠－1