还剩9页未读，
继续阅读
2020-2021学年江西省赣州市高一（上）期末考试数学试卷北师大版
展开
这是一份2020-2021学年江西省赣州市高一（上）期末考试数学试卷北师大版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若函数fx=x3, x≥0,x+2,x<0, 则ff−1=（ ）
A.−1B.1C.−27D.27
2. 若集合A=x∈N|x≤2， B=x|y=lg2x，则A∩B=（ ）
A.1,2B.{0,1,2}C.x|0
3. 设a=lg213，b=20.3，c=tanπ12的大小关系是（ ）
A.a
4. 已知映射f：A→B．若集合A中元素x在对应法则f下的像是|x|，则B中元素2的原像可以是（ ）
A.−2B.2C.±2D.2
5. 若圆的半径为6cm，则圆心角为π18的扇形面积是（ ）
A.π2cm2B.πcm2C.3π2cm2D.2πcm2
6. 若函数fx=2x+x−4的零点所在区间为k,k+1k∈Z，则k的值是（ ）
A.1B.2C.3D.4
7. 函数fx=2sinx+xx2+1在x∈−π,π上的大致图像是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 若不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A.[−1,+∞)B.−1,+∞C.−34+∞D.0,+∞
9. 设直线y=33与函数y=sinx，y=csx，y=tanx的图像在0,π2内交点的横坐标依次为x1,x2,x3，则sinx1+x2+x3=( )
A.−32B.−12C.12D.32
10. 已知锐角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合．若角α的终边与圆心在原点的单位圆交于点Pa,b，函数y=ax2+bx+c在区间[−32,+∞)上具有单调性，则角α的取值范围是（ ）
A.(0,π6]B.(0,π3]C.[π6,π2)D.[π3,π2)
11. 已知m∈R，若函数fx=e|x+m|对任意x∈R满足f20x−21=f21−20x，则不等式flnx+fln1x≥2e的解集是（ ）
A.−∞,1e∪e,+∞B.1e,e
C.0,1e∪e,+∞D.[e,+∞)
12. 已知fx是定义在R上的奇函数， fx+1也是奇函数，当x∈(0,1]时，fx=1−1x.若函Fx=fx+sinπx，则Fx在区间1949,2021上的零点个数是( )
A.108B.109C.144D.145
二、填空题
满足{x, y}∪B={x, y, z}的集合B的个数是________．
若f2x=x2，则f8=________.
计算： 13lg8+lg50+120+338−23 =________.
下列判断正确的是________（将你认为所有正确的情况的代号填入横线上）．
①函数y=1+tan2x1−tan2x的最小正周期为π；
②若函数f(x)=|lgx|，且f(a)=f(b)，ab=1；
③若tan2α=3tan2β+2，则3sin2α−sin2β=2；
④若函数y=2x+12+sinx4x2+1的最大值为M，最小值为N，则M+N=2.
三、解答题
已知全集U=R，集合A=x|x2−2x≤0,B=x|x>1.
(1)求A∩∁RB；
(2)设集合C=x|x−ax−2≤0．若C∪A=A，求实数a的取值范围．
设函数fx=2cs2x−π3x∈R.
(1)在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数fx在区间π6,7π6上的简图（请先列表，再描点连线）；
(2)若fθ2=13，求sinθ+π6+2csθ+5π3的值．
设函数fx=x2+2x
(1)用定义证明函数fx在区间0,2上是减函数；
(2)若不等式fx≥ex−1−lg2m对任意x∈12,1恒成立，求实数m的最小值．
为减少人员聚集，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式上班．分析显示，当S中有x%0(1)当x取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？
已知上班族S的人均上班时间计算公式为： gx=fx⋅x%+50100−x%，讨论gx的单调性，并说明实际意义．
（注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．）
设函数fx=4sinωxcsωx−π6−1的最小正周期为π，其中ω>0．
(1)求函数fx的递增区间；
(2)若函数gx=fx+m在x∈π12,π2上有两个不同的零点x1,x2，求实数m的取值范围．
设函数f(x)=a2x−t+1ax(a>0且a≠1）是定义在R上的奇函数．
(1)若f1>0，求使不等式f2x2−x+fx2−k>0对x∈R恒成立的实数k的取值范围；
(2)设函数fx的图像过点1,32，函数gx=lgafx+1．若对于任意的x1,x2∈0,1，都有|gx1−gx2|≤M，求M的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
根据不同x的取值范围，然后代入求出不同的值.
【解答】
解：当x=−1时，x<0，
则f(−1)=x+2=−1+2=1.
当x=1时，x>0，
则f(1)=x3=13=1.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
先化简集合A，B，再利用集合的运算求解即可.
【解答】
解：集合A=x∈N|x≤2=0,1,2，
B=x|y=lg2x=x|x>0，
∴ A∩B=1,2.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
正切函数的性质
【解析】
先求出a，b，c的范围，再来进行比较即可求解.
【解答】
解：∵ a=lg213b=20.3>20=1，
0∴ a故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
映射
【解析】
利用集合A中元素x在对应法则f下的像是|x|，且|±2|=2，即可得到答案.
【解答】
解：映射f：A→B．
若集合A中元素x在对应法则f下的像是|x|，
且|±2|=2，
∴ B中元素2的原像可以是 ±2.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
扇形面积公式
【解析】
利用扇形的面积公式S=12αr2进行求解即可.
【解答】
解：若圆的半径为r=6cm，
则圆心角为π18的扇形面积是12αr2=12×π18×62=πcm2.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
易知函数fx=2x+x−4在其定义域上连续且单调递增，从而利用零点的判定定理判断即可．
【解答】
解：易知函数fx=2x+x−4在其定义域上连续且单调递增，
且f1=2+1−4<0，
f2=22+2−4>0，
故f1f2<0
故函数fx=2x+x−4的零点在区间1,2上，
故k=1.
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的判断
函数奇偶性的性质与判断
函数图象的作法
【解析】
利用函数的奇偶性排除选项CD，利用特殊值排除B，即可得到答案.
【解答】
解：函数fx=2sinx+xx2+1，x∈−π,π，
∵ f−x=2sin−x+−x−x2+1=−2sinx+xx2+1=−fx，
∴ fx为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项CD；
fπ2=2sinπ2+π2π22+1>0，故排除选项B.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
二次函数的性质
【解析】
不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，则m>(x2−2x)min，设f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，x∈12,2，求出f(x)min，即可得到答案.
【解答】
解：不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，
则m>(x2−2x)min，
设f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，x∈12,2，
∴ 当x=1时，f(x)min=f(1)=1−2=−1，
∴ m>−1，
∴ 实数m的取值范围是(−1,+∞).
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
本题考查三角函数恒等变换的运用．
【解答】
解：将y=33 分别代入得
sinx1=33，
csx2=33，
tanx3=33，
∵x∈0,π2，
∴csx1=1−sin2x1=63，
sinx2=1−cs2x2=63，
结合tanx3=sinx3csx3=33，
sin2x3+csx32=1，
得sinx3=12，csx3=32，
∴sin(x1+x2+x3)=sin[(x1+x2)+x3]
=sinx1+x2csx3+csx1+x2sinx3
=csx3(sinx1csx2+sinx2csx1)+sinx3(csx1csx2−sinx1sinx2)
=3233×33+63×63+1263×33−33×63
=3213+23
=32．
故选D．
10.
【答案】
D
【考点】
任意角的三角函数
正切函数的单调性
函数的单调性及单调区间
【解析】
利用二次函数的性质得到ba≥3，再利用任意角三角函数定义得到tanα=ba≥3，利用正切函数的性质求解即可.
【解答】
解：∵ 函数y=ax2+bx+c在区间[−32,+∞）上具有单调性，
∴ −b2a≤−32，
∴ ba≥3，
∴ tanα=ba≥3，
又∵ α为锐角，
∴ α∈[π3,π2).
故选D.
11.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
由题意得到fx=e|x|为偶函数，且x≥0时，fx=ex单调递增，将不等式flnx+fln1x≥2e转化为f|lnx|≥f(1)，进而得到|lnx|≥1，解不等式即可.
【解答】
解：函数fx=e|x+m|对任意x∈R满足f20x−21=f21−20x，
则函数fx=e|x+m|为偶函数，
∴ m=0，
∴ fx=e|x|，
∴ x≥0时，fx=ex单调递增，且f(1)=e，
不等式flnx+fln1x≥2e可转化为flnx+fln1x=flnx+f−lnx=2flnx≥2e，
∴ flnx≥e，
∴ f|lnx|≥f(1)，
即|lnx|≥1，
解得 x∈0,1e∪e,+∞ .
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的零点
正弦函数的图象
【解析】
本题先由已知条件，认知当x∈−1,1时，
fx解析式和图象特征，然后依据函数
y=fx和y=−sinπx图象在前开后闭区间
(−1,1]上的交点个数，可推出函数
Fx=fx+sinπx在区间1949,2021上的交
点个数.
【解答】
解：∵fx是R上的奇函数，fx+1也是奇函数，
∴f−x=−fx，f1−x=−f1+x，f(0)=0，
即f1+x=−f1−x.
∴ f2+x=f1+1+x
=−f1−1+x=−f−x=fx，
可见fx是周期为2的周期函数.
又当0∴当−1≤x<0时，fx=−f−x=−1−1x.
∴ f(x)=1−1x，0，−1−1x，
函数Fx=fx+sinπx的零点个数，即方程fx=−sinπx的解的个数，即在同一坐标系中，函数y=fx与函数y=−sinπx图象交点的个数，画出草图，如图所示，
在区间长度为2的前闭后开的一个周期的区间[−1,1)上，两函数有4个交点，
.
而2021−1949=72=2×36，
∴函数Fx=fx+sinπx在闭区间1949,2021上，
共有4×36+1=145个零点.
故选D.
二、填空题
【答案】
4
【考点】
并集及其运算
子集与真子集
【解析】
根据{x, y}∪B={x, y, z}，易知B⊆{x, y, z}，且z∈B，用列举法写出满足已知条件的集合B，即可求出集合B的个数．
【解答】
解：∵ {x, y}∪B={x, y, z}，
∴ B⊆{x, y, z}，且z∈B，
∴ B={z}，{x, z}，{y, z}，{x, y, z}.
故答案为：4．
【答案】
32
【考点】
函数的求值
【解析】
利用赋值法求解即可.
【解答】
解：f2x=x2，
令x=3，
可得f23=f(8)=32.
故答案为：32.
【答案】
319
【考点】
对数与对数运算
有理数指数幂的运算性质及化简求值
【解析】
利用对数的运算和指数幂的运算求解即可.
【解答】
解：13lg8+lg50+120+338−23
=13lg23+(lg5+lg10)+1+[323]−23
=lg2+lg5+1+1+(23)2
=lg(2×5)+1+1+49
=1+1+1+49
=319.
故答案为：319.
【答案】
③④
【考点】
命题的真假判断与应用
三角函数的周期性及其求法
分段函数的应用
函数奇偶性的性质与判断
对数及其运算
【解析】
利用函数的奇偶性的性质与判断、三角函数的周期性及求法、分段函数的应用.
【解答】
解：①y=1+tan2x1−tan2x=tanπ4+tan2x1−tanπ4tan2x=tan(π4+2x)，
最小正周期T=π2，故①错误；
②f(x)=|lgx|，f(a)=|lga|，f(b)=|lgb|，
∵ f(a)=f(b),
∴ |lga|=|lgb|，
∴ lga=lgb或lga=−lgb=lg1b，
∴ a=b或ab=1.
故②错误；
③若tan2α=3tan2β+2，
则sin2αcs2α−3sin2βcs2β=2，
sin2α1−sin2α−3sin2β1−sin2β=2，
sin2α(1−sin2β)−3sin2β(1−sin2α)=2(1−sin2α)(1−sin2β)，
化简得3sin2α−sin2β=2，故③正确；
④y=(2x+1)2+sinx4x2+1=4x2+4x+1+sinx4x2+1=1+4x+sinx4x2+1，
令ℎ(x)=4x+sinx4x2+1，ℎ(x)为奇函数，
设ℎ(x)max=ℎ(x0)，则ℎ(x)min=ℎ(−x0)，
∴ ymax=ℎ(x)max+1=ℎ(x0)+1=M,ymin=ℎ(x)min=ℎ(−x0)+1=N,
ymax+ymin得2+ℎ(x0)+ℎ(−x0)=M+N，可得M+N=2，故④正确.
综上，③④正确.
故答案为：③④.
三、解答题
【答案】
解：依题意，集合A=x|0≤x≤2.
(1)∵ ∁RB=x|x≤1，
∴ A∩∁RB=x|0≤x≤1.
(2)∵ C∪A=A，∴ C⊆A，
①当a>2时，C=x|2≤x≤a与C⊆A矛盾，故a>2不符合题意，
②当a≤2时，C=x|a≤x≤2，
若C⊆A，则a≤2a≥0，解得0≤a≤2，
由①②得，实数a的取值范围是0,2.
【考点】
集合的包含关系判断及应用
交、并、补集的混合运算
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：依题意，集合A=x|0≤x≤2.
(1)∵ ∁RB=x|x≤1，
∴ A∩∁RB=x|0≤x≤1.
(2)∵ C∪A=A，∴ C⊆A，
①当a>2时，C=x|2≤x≤a与C⊆A矛盾，故a>2不符合题意，
②当a≤2时，C=x|a≤x≤2，
若C⊆A，则a≤2a≥0，解得0≤a≤2，
由①②得，实数a的取值范围是0,2.
【答案】
解：(1)列表如下：
(2)由fθ2=2csθ−π3=13，
得csθ−π3=16.
由π6+θ+π3−θ=π2，
得sinθ+π6=csπ3−θ=csθ−π3=16，
由2π3+θ+π3−θ=π，
得cs(θ+5π3)=cs(θ+2π3+π)=−cs(θ+2π3)=cs(π3−θ)=16，
则sinθ+π6+2csθ+5π3=3csπ3−θ=12.
【考点】
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
三角函数中的恒等变换应用
诱导公式
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)列表如下：
(2)由fθ2=2csθ−π3=13，
得csθ−π3=16.
由π6+θ+π3−θ=π2，
得sinθ+π6=csπ3−θ=csθ−π3=16，
由2π3+θ+π3−θ=π，
得cs(θ+5π3)=cs(θ+2π3+π)=−cs(θ+2π3)=cs(π3−θ)=16，
则sinθ+π6+2csθ+5π3=3csπ3−θ=12.
【答案】
(1)证明：任取x1，x2∈0,2，且x1则fx1−fx2=x1−x2x1x2−2x1x2.
∵x1，x2∈0,2，且x1∴ x1−x2<0，0∴ fx1−fx2>0，即fx1>fx2.
∴ fx在0,2上是减函数，证毕.
(2)解：∵ 不等式fx≥ex−1−lg2m对任意x∈12,1恒成立，
∴ lg2m≥ex−1−x+2x对任意x∈12,1恒成立.
令gx=ex−1−x+2x，
结合(1)知，gx在x∈12,1上单调递增，
则gxmax=g1=−2.
则lg2m≥−2，即lg2m≥lg22−2=lg214，
解得m≥14.
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数单调性的性质
函数恒成立问题
【解析】
暂无
暂无
【解答】
(1)证明：任取x1，x2∈0,2，且x1则fx1−fx2=x1−x2x1x2−2x1x2.
∵x1，x2∈0,2，且x1∴ x1−x2<0，0∴ fx1−fx2>0，即fx1>fx2.
∴ fx在0,2上是减函数，证毕.
(2)解：∵ 不等式fx≥ex−1−lg2m对任意x∈12,1恒成立，
∴ lg2m≥ex−1−x+2x对任意x∈12,1恒成立.
令gx=ex−1−x+2x，
结合(1)知，gx在x∈12,1上单调递增，
则gxmax=g1=−2.
则lg2m≥−2，即lg2m≥lg22−2=lg214，
解得m≥14.
【答案】
解：(1)依题意，得①当0②当30若公交群体的人均上班时间等于自驾群体的人均上班时间，则
30解得x=20或x=45，
即当x=20或x=45时自驾群体的人均上班时间等于公交群体的人均上班时间.
(2)①当0②当30即 gx=−15x+50，0∵ 当0当30在x∈30,35上单调递减，gx在x∈35,100上单调递增.
∴ 当x∈0,35时gx单调递减，当x∈35,100时gx单调递增．
说明该地上班族S中有小于35%的人自驾时，人均上班时间递减；当大于35%的人自驾时，人均上班时间递增；当自驾人数等于35%时，人均上班时间最少.
【考点】
函数模型的选择与应用
分段函数的应用
根据实际问题选择函数类型
函数的单调性及单调区间
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)依题意，得①当0②当30若公交群体的人均上班时间等于自驾群体的人均上班时间，则
30解得x=20或x=45，
即当x=20或x=45时自驾群体的人均上班时间等于公交群体的人均上班时间.
(2)①当0②当30即 gx=−15x+50，0∵ 当0当30在x∈30,35上单调递减，gx在x∈35,100上单调递增.
∴ 当x∈0,35时gx单调递减，当x∈35,100时gx单调递增．
说明该地上班族S中有小于35%的人自驾时，人均上班时间递减；当大于35%的人自驾时，人均上班时间递增；当自驾人数等于35%时，人均上班时间最少.
【答案】
解：(1)依题意，fx=3sin2ωx−cs2ωx=2sin2ωx−π6.
∵fx的最小正周期为π，且ω>0，
∴ 2π2ω=π，解得ω=1，
∴ fx=2sin2x−π6．
设u=2x−π6，
∵ 函数y=sinu的递增区间是2kπ−π2,2kπ+π2k∈Z，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2k∈Z，
得kπ−π6≤x≤kπ+π3k∈Z.
∴ 函数fx的递增区间是kπ−π6,kπ+π3k∈Z.
(2)当x∈π12,π2时，u=2x−π6∈0,5π6．
令Fu=2sinu，则Fπ6=F5π6=1.
∵Fu=2sinu在u∈0,π2上递增，在u∈π2,5π6上递减，
∴ Fumax=Fπ2=2.
∵ 函数gx=fx+m在x∈π12,π2上有两个不同的零点，
∴ 函数y=fx与y=−m两图像在x∈π12,π2上有两个不同的交点，
∴ 函数y=Fu与y=−m两图像在u∈0,5π6上有两个不同的交点，
∴ 1≤−m<2，解得−2∴ 实数m的取值范围是(−2,−1].
【考点】
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
函数解析式的求解及常用方法
正弦函数的单调性
函数的零点与方程根的关系
函数的零点
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)依题意，fx=3sin2ωx−cs2ωx=2sin2ωx−π6.
∵fx的最小正周期为π，且ω>0，
∴ 2π2ω=π，解得ω=1，
∴ fx=2sin2x−π6．
设u=2x−π6，
∵ 函数y=sinu的递增区间是2kπ−π2,2kπ+π2k∈Z，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2k∈Z，
得kπ−π6≤x≤kπ+π3k∈Z.
∴ 函数fx的递增区间是kπ−π6,kπ+π3k∈Z.
(2)当x∈π12,π2时，u=2x−π6∈0,5π6．
令Fu=2sinu，则Fπ6=F5π6=1.
∵Fu=2sinu在u∈0,π2上递增，在u∈π2,5π6上递减，
∴ Fumax=Fπ2=2.
∵ 函数gx=fx+m在x∈π12,π2上有两个不同的零点，
∴ 函数y=fx与y=−m两图像在x∈π12,π2上有两个不同的交点，
∴ 函数y=Fu与y=−m两图像在u∈0,5π6上有两个不同的交点，
∴ 1≤−m<2，解得−2∴ 实数m的取值范围是(−2,−1].
【答案】
解：(1)∵fx是定义在R上的奇函数，
∴f0=0，∴2−t=0，解得t=2，
则fx=a2x−1ax ，
而f2x2−x+fx2−k>0等价于f2x2−x>−fx2−k=fk−x2，
若f1>0，则a2−1a>0，结合a>0且a≠1，解得a>1，
则f(x)=a2x−1ax=ax−1ax(a>1)为增函数，
结合f2x2−x>fk−x2，可得2x2−x>k−x2，
根据题意，3x2−x−k>0对x∈R恒成立．
则Δ=1+12k<0，解得k<−112．
(2) ∵函数fx的图像过点[ 132），
∴f1=a2−1a=32，
解得a=−12（舍去）或a=2，
∴gx=lg22x−12x+1，
根据复合函数“同增异减”可知gx[x∈0,1上单调递增，
∵对于任意的x1,x2∈0,1，都有|gx1−gx2|≤M，
解得a=−1（不符，舍去）或a=2，
∴gx=lg22x−12x+1，
根据复合函数“同增异减”可知gx在x∈0,1上单调递增，
∵对于任意的x1,x2∈0,1，都有|gx1−gx2|≤M，
且gx在区间0,1上恒有gx>0，
∴M≥gxmax−gxmin，
则gxmin=g0=0，gxmax=g1=lg252，
则M≥lg252−0=lg252，
即M的最小值为lg252.
【考点】
函数奇偶性的性质
奇偶性与单调性的综合
函数恒成立问题
函数的求值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵fx是定义在R上的奇函数，
∴f0=0，∴2−t=0，解得t=2，
则fx=a2x−1ax ，
而f2x2−x+fx2−k>0等价于f2x2−x>−fx2−k=fk−x2，
若f1>0，则a2−1a>0，结合a>0且a≠1，解得a>1，
则f(x)=a2x−1ax=ax−1ax(a>1)为增函数，
结合f2x2−x>fk−x2，可得2x2−x>k−x2，
根据题意，3x2−x−k>0对x∈R恒成立．
则Δ=1+12k<0，解得k<−112．
(2) ∵函数fx的图像过点[ 132），
∴f1=a2−1a=32，
解得a=−12（舍去）或a=2，
∴gx=lg22x−12x+1，
根据复合函数“同增异减”可知gx[x∈0,1上单调递增，
∵对于任意的x1,x2∈0,1，都有|gx1−gx2|≤M，
解得a=−1（不符，舍去）或a=2，
∴gx=lg22x−12x+1，
根据复合函数“同增异减”可知gx在x∈0,1上单调递增，
∵对于任意的x1,x2∈0,1，都有|gx1−gx2|≤M，
且gx在区间0,1上恒有gx>0，
∴M≥gxmax−gxmin，
则gxmin=g0=0，gxmax=g1=lg252，
则M≥lg252−0=lg252，
即M的最小值为lg252.x
π6
5π12
2π3
11π12
7π6
2x−π3
0
π2
π
2π3
2π
2cs2x−π3
2
0
−2
0
2
x
π6
5π12
2π3
11π12
7π6
2x−π3
0
π2
π
2π3
2π
2cs2x−π3
2
0
−2
0
2
1. 若函数fx=x3, x≥0,x+2,x<0, 则ff−1=（ ）
A.−1B.1C.−27D.27
2. 若集合A=x∈N|x≤2， B=x|y=lg2x，则A∩B=（ ）
A.1,2B.{0,1,2}C.x|0
3. 设a=lg213，b=20.3，c=tanπ12的大小关系是（ ）
A.a
4. 已知映射f：A→B．若集合A中元素x在对应法则f下的像是|x|，则B中元素2的原像可以是（ ）
A.−2B.2C.±2D.2
5. 若圆的半径为6cm，则圆心角为π18的扇形面积是（ ）
A.π2cm2B.πcm2C.3π2cm2D.2πcm2
6. 若函数fx=2x+x−4的零点所在区间为k,k+1k∈Z，则k的值是（ ）
A.1B.2C.3D.4
7. 函数fx=2sinx+xx2+1在x∈−π,π上的大致图像是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 若不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A.[−1,+∞)B.−1,+∞C.−34+∞D.0,+∞
9. 设直线y=33与函数y=sinx，y=csx，y=tanx的图像在0,π2内交点的横坐标依次为x1,x2,x3，则sinx1+x2+x3=( )
A.−32B.−12C.12D.32
10. 已知锐角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合．若角α的终边与圆心在原点的单位圆交于点Pa,b，函数y=ax2+bx+c在区间[−32,+∞)上具有单调性，则角α的取值范围是（ ）
A.(0,π6]B.(0,π3]C.[π6,π2)D.[π3,π2)
11. 已知m∈R，若函数fx=e|x+m|对任意x∈R满足f20x−21=f21−20x，则不等式flnx+fln1x≥2e的解集是（ ）
A.−∞,1e∪e,+∞B.1e,e
C.0,1e∪e,+∞D.[e,+∞)
12. 已知fx是定义在R上的奇函数， fx+1也是奇函数，当x∈(0,1]时，fx=1−1x.若函Fx=fx+sinπx，则Fx在区间1949,2021上的零点个数是( )
A.108B.109C.144D.145
二、填空题
满足{x, y}∪B={x, y, z}的集合B的个数是________．
若f2x=x2，则f8=________.
计算： 13lg8+lg50+120+338−23 =________.
下列判断正确的是________（将你认为所有正确的情况的代号填入横线上）．
①函数y=1+tan2x1−tan2x的最小正周期为π；
②若函数f(x)=|lgx|，且f(a)=f(b)，ab=1；
③若tan2α=3tan2β+2，则3sin2α−sin2β=2；
④若函数y=2x+12+sinx4x2+1的最大值为M，最小值为N，则M+N=2.
三、解答题
已知全集U=R，集合A=x|x2−2x≤0,B=x|x>1.
(1)求A∩∁RB；
(2)设集合C=x|x−ax−2≤0．若C∪A=A，求实数a的取值范围．
设函数fx=2cs2x−π3x∈R.
(1)在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数fx在区间π6,7π6上的简图（请先列表，再描点连线）；
(2)若fθ2=13，求sinθ+π6+2csθ+5π3的值．
设函数fx=x2+2x
(1)用定义证明函数fx在区间0,2上是减函数；
(2)若不等式fx≥ex−1−lg2m对任意x∈12,1恒成立，求实数m的最小值．
为减少人员聚集，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式上班．分析显示，当S中有x%0
已知上班族S的人均上班时间计算公式为： gx=fx⋅x%+50100−x%，讨论gx的单调性，并说明实际意义．
（注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．）
设函数fx=4sinωxcsωx−π6−1的最小正周期为π，其中ω>0．
(1)求函数fx的递增区间；
(2)若函数gx=fx+m在x∈π12,π2上有两个不同的零点x1,x2，求实数m的取值范围．
设函数f(x)=a2x−t+1ax(a>0且a≠1）是定义在R上的奇函数．
(1)若f1>0，求使不等式f2x2−x+fx2−k>0对x∈R恒成立的实数k的取值范围；
(2)设函数fx的图像过点1,32，函数gx=lgafx+1．若对于任意的x1,x2∈0,1，都有|gx1−gx2|≤M，求M的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
根据不同x的取值范围，然后代入求出不同的值.
【解答】
解：当x=−1时，x<0，
则f(−1)=x+2=−1+2=1.
当x=1时，x>0，
则f(1)=x3=13=1.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
先化简集合A，B，再利用集合的运算求解即可.
【解答】
解：集合A=x∈N|x≤2=0,1,2，
B=x|y=lg2x=x|x>0，
∴ A∩B=1,2.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
正切函数的性质
【解析】
先求出a，b，c的范围，再来进行比较即可求解.
【解答】
解：∵ a=lg213
0
4.
【答案】
C
【考点】
映射
【解析】
利用集合A中元素x在对应法则f下的像是|x|，且|±2|=2，即可得到答案.
【解答】
解：映射f：A→B．
若集合A中元素x在对应法则f下的像是|x|，
且|±2|=2，
∴ B中元素2的原像可以是 ±2.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
扇形面积公式
【解析】
利用扇形的面积公式S=12αr2进行求解即可.
【解答】
解：若圆的半径为r=6cm，
则圆心角为π18的扇形面积是12αr2=12×π18×62=πcm2.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
易知函数fx=2x+x−4在其定义域上连续且单调递增，从而利用零点的判定定理判断即可．
【解答】
解：易知函数fx=2x+x−4在其定义域上连续且单调递增，
且f1=2+1−4<0，
f2=22+2−4>0，
故f1f2<0
故函数fx=2x+x−4的零点在区间1,2上，
故k=1.
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的判断
函数奇偶性的性质与判断
函数图象的作法
【解析】
利用函数的奇偶性排除选项CD，利用特殊值排除B，即可得到答案.
【解答】
解：函数fx=2sinx+xx2+1，x∈−π,π，
∵ f−x=2sin−x+−x−x2+1=−2sinx+xx2+1=−fx，
∴ fx为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项CD；
fπ2=2sinπ2+π2π22+1>0，故排除选项B.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
二次函数的性质
【解析】
不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，则m>(x2−2x)min，设f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，x∈12,2，求出f(x)min，即可得到答案.
【解答】
解：不等式x2−2x−m<0在x∈12,2上有解，
则m>(x2−2x)min，
设f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，x∈12,2，
∴ 当x=1时，f(x)min=f(1)=1−2=−1，
∴ m>−1，
∴ 实数m的取值范围是(−1,+∞).
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
本题考查三角函数恒等变换的运用．
【解答】
解：将y=33 分别代入得
sinx1=33，
csx2=33，
tanx3=33，
∵x∈0,π2，
∴csx1=1−sin2x1=63，
sinx2=1−cs2x2=63，
结合tanx3=sinx3csx3=33，
sin2x3+csx32=1，
得sinx3=12，csx3=32，
∴sin(x1+x2+x3)=sin[(x1+x2)+x3]
=sinx1+x2csx3+csx1+x2sinx3
=csx3(sinx1csx2+sinx2csx1)+sinx3(csx1csx2−sinx1sinx2)
=3233×33+63×63+1263×33−33×63
=3213+23
=32．
故选D．
10.
【答案】
D
【考点】
任意角的三角函数
正切函数的单调性
函数的单调性及单调区间
【解析】
利用二次函数的性质得到ba≥3，再利用任意角三角函数定义得到tanα=ba≥3，利用正切函数的性质求解即可.
【解答】
解：∵ 函数y=ax2+bx+c在区间[−32,+∞）上具有单调性，
∴ −b2a≤−32，
∴ ba≥3，
∴ tanα=ba≥3，
又∵ α为锐角，
∴ α∈[π3,π2).
故选D.
11.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
由题意得到fx=e|x|为偶函数，且x≥0时，fx=ex单调递增，将不等式flnx+fln1x≥2e转化为f|lnx|≥f(1)，进而得到|lnx|≥1，解不等式即可.
【解答】
解：函数fx=e|x+m|对任意x∈R满足f20x−21=f21−20x，
则函数fx=e|x+m|为偶函数，
∴ m=0，
∴ fx=e|x|，
∴ x≥0时，fx=ex单调递增，且f(1)=e，
不等式flnx+fln1x≥2e可转化为flnx+fln1x=flnx+f−lnx=2flnx≥2e，
∴ flnx≥e，
∴ f|lnx|≥f(1)，
即|lnx|≥1，
解得 x∈0,1e∪e,+∞ .
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的零点
正弦函数的图象
【解析】
本题先由已知条件，认知当x∈−1,1时，
fx解析式和图象特征，然后依据函数
y=fx和y=−sinπx图象在前开后闭区间
(−1,1]上的交点个数，可推出函数
Fx=fx+sinπx在区间1949,2021上的交
点个数.
【解答】
解：∵fx是R上的奇函数，fx+1也是奇函数，
∴f−x=−fx，f1−x=−f1+x，f(0)=0，
即f1+x=−f1−x.
∴ f2+x=f1+1+x
=−f1−1+x=−f−x=fx，
可见fx是周期为2的周期函数.
又当0
∴ f(x)=1−1x，0，−1−1x，
函数Fx=fx+sinπx的零点个数，即方程fx=−sinπx的解的个数，即在同一坐标系中，函数y=fx与函数y=−sinπx图象交点的个数，画出草图，如图所示，
在区间长度为2的前闭后开的一个周期的区间[−1,1)上，两函数有4个交点，
.
而2021−1949=72=2×36，
∴函数Fx=fx+sinπx在闭区间1949,2021上，
共有4×36+1=145个零点.
故选D.
二、填空题
【答案】
4
【考点】
并集及其运算
子集与真子集
【解析】
根据{x, y}∪B={x, y, z}，易知B⊆{x, y, z}，且z∈B，用列举法写出满足已知条件的集合B，即可求出集合B的个数．
【解答】
解：∵ {x, y}∪B={x, y, z}，
∴ B⊆{x, y, z}，且z∈B，
∴ B={z}，{x, z}，{y, z}，{x, y, z}.
故答案为：4．
【答案】
32
【考点】
函数的求值
【解析】
利用赋值法求解即可.
【解答】
解：f2x=x2，
令x=3，
可得f23=f(8)=32.
故答案为：32.
【答案】
319
【考点】
对数与对数运算
有理数指数幂的运算性质及化简求值
【解析】
利用对数的运算和指数幂的运算求解即可.
【解答】
解：13lg8+lg50+120+338−23
=13lg23+(lg5+lg10)+1+[323]−23
=lg2+lg5+1+1+(23)2
=lg(2×5)+1+1+49
=1+1+1+49
=319.
故答案为：319.
【答案】
③④
【考点】
命题的真假判断与应用
三角函数的周期性及其求法
分段函数的应用
函数奇偶性的性质与判断
对数及其运算
【解析】
利用函数的奇偶性的性质与判断、三角函数的周期性及求法、分段函数的应用.
【解答】
解：①y=1+tan2x1−tan2x=tanπ4+tan2x1−tanπ4tan2x=tan(π4+2x)，
最小正周期T=π2，故①错误；
②f(x)=|lgx|，f(a)=|lga|，f(b)=|lgb|，
∵ f(a)=f(b),
∴ |lga|=|lgb|，
∴ lga=lgb或lga=−lgb=lg1b，
∴ a=b或ab=1.
故②错误；
③若tan2α=3tan2β+2，
则sin2αcs2α−3sin2βcs2β=2，
sin2α1−sin2α−3sin2β1−sin2β=2，
sin2α(1−sin2β)−3sin2β(1−sin2α)=2(1−sin2α)(1−sin2β)，
化简得3sin2α−sin2β=2，故③正确；
④y=(2x+1)2+sinx4x2+1=4x2+4x+1+sinx4x2+1=1+4x+sinx4x2+1，
令ℎ(x)=4x+sinx4x2+1，ℎ(x)为奇函数，
设ℎ(x)max=ℎ(x0)，则ℎ(x)min=ℎ(−x0)，
∴ ymax=ℎ(x)max+1=ℎ(x0)+1=M,ymin=ℎ(x)min=ℎ(−x0)+1=N,
ymax+ymin得2+ℎ(x0)+ℎ(−x0)=M+N，可得M+N=2，故④正确.
综上，③④正确.
故答案为：③④.
三、解答题
【答案】
解：依题意，集合A=x|0≤x≤2.
(1)∵ ∁RB=x|x≤1，
∴ A∩∁RB=x|0≤x≤1.
(2)∵ C∪A=A，∴ C⊆A，
①当a>2时，C=x|2≤x≤a与C⊆A矛盾，故a>2不符合题意，
②当a≤2时，C=x|a≤x≤2，
若C⊆A，则a≤2a≥0，解得0≤a≤2，
由①②得，实数a的取值范围是0,2.
【考点】
集合的包含关系判断及应用
交、并、补集的混合运算
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：依题意，集合A=x|0≤x≤2.
(1)∵ ∁RB=x|x≤1，
∴ A∩∁RB=x|0≤x≤1.
(2)∵ C∪A=A，∴ C⊆A，
①当a>2时，C=x|2≤x≤a与C⊆A矛盾，故a>2不符合题意，
②当a≤2时，C=x|a≤x≤2，
若C⊆A，则a≤2a≥0，解得0≤a≤2，
由①②得，实数a的取值范围是0,2.
【答案】
解：(1)列表如下：
(2)由fθ2=2csθ−π3=13，
得csθ−π3=16.
由π6+θ+π3−θ=π2，
得sinθ+π6=csπ3−θ=csθ−π3=16，
由2π3+θ+π3−θ=π，
得cs(θ+5π3)=cs(θ+2π3+π)=−cs(θ+2π3)=cs(π3−θ)=16，
则sinθ+π6+2csθ+5π3=3csπ3−θ=12.
【考点】
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
三角函数中的恒等变换应用
诱导公式
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)列表如下：
(2)由fθ2=2csθ−π3=13，
得csθ−π3=16.
由π6+θ+π3−θ=π2，
得sinθ+π6=csπ3−θ=csθ−π3=16，
由2π3+θ+π3−θ=π，
得cs(θ+5π3)=cs(θ+2π3+π)=−cs(θ+2π3)=cs(π3−θ)=16，
则sinθ+π6+2csθ+5π3=3csπ3−θ=12.
【答案】
(1)证明：任取x1，x2∈0,2，且x1
∵x1，x2∈0,2，且x1
∴ fx在0,2上是减函数，证毕.
(2)解：∵ 不等式fx≥ex−1−lg2m对任意x∈12,1恒成立，
∴ lg2m≥ex−1−x+2x对任意x∈12,1恒成立.
令gx=ex−1−x+2x，
结合(1)知，gx在x∈12,1上单调递增，
则gxmax=g1=−2.
则lg2m≥−2，即lg2m≥lg22−2=lg214，
解得m≥14.
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数单调性的性质
函数恒成立问题
【解析】
暂无
暂无
【解答】
(1)证明：任取x1，x2∈0,2，且x1
∵x1，x2∈0,2，且x1
∴ fx在0,2上是减函数，证毕.
(2)解：∵ 不等式fx≥ex−1−lg2m对任意x∈12,1恒成立，
∴ lg2m≥ex−1−x+2x对任意x∈12,1恒成立.
令gx=ex−1−x+2x，
结合(1)知，gx在x∈12,1上单调递增，
则gxmax=g1=−2.
则lg2m≥−2，即lg2m≥lg22−2=lg214，
解得m≥14.
【答案】
解：(1)依题意，得①当0
30
即当x=20或x=45时自驾群体的人均上班时间等于公交群体的人均上班时间.
(2)①当0
∴ 当x∈0,35时gx单调递减，当x∈35,100时gx单调递增．
说明该地上班族S中有小于35%的人自驾时，人均上班时间递减；当大于35%的人自驾时，人均上班时间递增；当自驾人数等于35%时，人均上班时间最少.
【考点】
函数模型的选择与应用
分段函数的应用
根据实际问题选择函数类型
函数的单调性及单调区间
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)依题意，得①当0
30
即当x=20或x=45时自驾群体的人均上班时间等于公交群体的人均上班时间.
(2)①当0
∴ 当x∈0,35时gx单调递减，当x∈35,100时gx单调递增．
说明该地上班族S中有小于35%的人自驾时，人均上班时间递减；当大于35%的人自驾时，人均上班时间递增；当自驾人数等于35%时，人均上班时间最少.
【答案】
解：(1)依题意，fx=3sin2ωx−cs2ωx=2sin2ωx−π6.
∵fx的最小正周期为π，且ω>0，
∴ 2π2ω=π，解得ω=1，
∴ fx=2sin2x−π6．
设u=2x−π6，
∵ 函数y=sinu的递增区间是2kπ−π2,2kπ+π2k∈Z，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2k∈Z，
得kπ−π6≤x≤kπ+π3k∈Z.
∴ 函数fx的递增区间是kπ−π6,kπ+π3k∈Z.
(2)当x∈π12,π2时，u=2x−π6∈0,5π6．
令Fu=2sinu，则Fπ6=F5π6=1.
∵Fu=2sinu在u∈0,π2上递增，在u∈π2,5π6上递减，
∴ Fumax=Fπ2=2.
∵ 函数gx=fx+m在x∈π12,π2上有两个不同的零点，
∴ 函数y=fx与y=−m两图像在x∈π12,π2上有两个不同的交点，
∴ 函数y=Fu与y=−m两图像在u∈0,5π6上有两个不同的交点，
∴ 1≤−m<2，解得−2
【考点】
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
函数解析式的求解及常用方法
正弦函数的单调性
函数的零点与方程根的关系
函数的零点
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)依题意，fx=3sin2ωx−cs2ωx=2sin2ωx−π6.
∵fx的最小正周期为π，且ω>0，
∴ 2π2ω=π，解得ω=1，
∴ fx=2sin2x−π6．
设u=2x−π6，
∵ 函数y=sinu的递增区间是2kπ−π2,2kπ+π2k∈Z，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2k∈Z，
得kπ−π6≤x≤kπ+π3k∈Z.
∴ 函数fx的递增区间是kπ−π6,kπ+π3k∈Z.
(2)当x∈π12,π2时，u=2x−π6∈0,5π6．
令Fu=2sinu，则Fπ6=F5π6=1.
∵Fu=2sinu在u∈0,π2上递增，在u∈π2,5π6上递减，
∴ Fumax=Fπ2=2.
∵ 函数gx=fx+m在x∈π12,π2上有两个不同的零点，
∴ 函数y=fx与y=−m两图像在x∈π12,π2上有两个不同的交点，
∴ 函数y=Fu与y=−m两图像在u∈0,5π6上有两个不同的交点，
∴ 1≤−m<2，解得−2
【答案】
解：(1)∵fx是定义在R上的奇函数，
∴f0=0，∴2−t=0，解得t=2，
则fx=a2x−1ax ，
而f2x2−x+fx2−k>0等价于f2x2−x>−fx2−k=fk−x2，
若f1>0，则a2−1a>0，结合a>0且a≠1，解得a>1，
则f(x)=a2x−1ax=ax−1ax(a>1)为增函数，
结合f2x2−x>fk−x2，可得2x2−x>k−x2，
根据题意，3x2−x−k>0对x∈R恒成立．
则Δ=1+12k<0，解得k<−112．
(2) ∵函数fx的图像过点[ 132），
∴f1=a2−1a=32，
解得a=−12（舍去）或a=2，
∴gx=lg22x−12x+1，
根据复合函数“同增异减”可知gx[x∈0,1上单调递增，
∵对于任意的x1,x2∈0,1，都有|gx1−gx2|≤M，
解得a=−1（不符，舍去）或a=2，
∴gx=lg22x−12x+1，
根据复合函数“同增异减”可知gx在x∈0,1上单调递增，
∵对于任意的x1,x2∈0,1，都有|gx1−gx2|≤M，
且gx在区间0,1上恒有gx>0，
∴M≥gxmax−gxmin，
则gxmin=g0=0，gxmax=g1=lg252，
则M≥lg252−0=lg252，
即M的最小值为lg252.
【考点】
函数奇偶性的性质
奇偶性与单调性的综合
函数恒成立问题
函数的求值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵fx是定义在R上的奇函数，
∴f0=0，∴2−t=0，解得t=2，
则fx=a2x−1ax ，
而f2x2−x+fx2−k>0等价于f2x2−x>−fx2−k=fk−x2，
若f1>0，则a2−1a>0，结合a>0且a≠1，解得a>1，
则f(x)=a2x−1ax=ax−1ax(a>1)为增函数，
结合f2x2−x>fk−x2，可得2x2−x>k−x2，
根据题意，3x2−x−k>0对x∈R恒成立．
则Δ=1+12k<0，解得k<−112．
(2) ∵函数fx的图像过点[ 132），
∴f1=a2−1a=32，
解得a=−12（舍去）或a=2，
∴gx=lg22x−12x+1，
根据复合函数“同增异减”可知gx[x∈0,1上单调递增，
∵对于任意的x1,x2∈0,1，都有|gx1−gx2|≤M，
解得a=−1（不符，舍去）或a=2，
∴gx=lg22x−12x+1，
根据复合函数“同增异减”可知gx在x∈0,1上单调递增，
∵对于任意的x1,x2∈0,1，都有|gx1−gx2|≤M，
且gx在区间0,1上恒有gx>0，
∴M≥gxmax−gxmin，
则gxmin=g0=0，gxmax=g1=lg252，
则M≥lg252−0=lg252，
即M的最小值为lg252.x
π6
5π12
2π3
11π12
7π6
2x−π3
0
π2
π
2π3
2π
2cs2x−π3
2
0
−2
0
2
x
π6
5π12
2π3
11π12
7π6
2x−π3
0
π2
π
2π3
2π
2cs2x−π3
2
0
−2
0
2
相关试卷
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）期末考试数学（文）试卷北师大版： 这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（上）期末考试数学（文）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）期末考试数学（理）试卷北师大版： 这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（上）期末考试数学（理）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江西省赣州市高二（上）12月月考数学试卷北师大版： 这是一份2020-2021学年江西省赣州市高二（上）12月月考数学试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
