2020-2021学年陕西省汉中市高一（上）期中考试数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年陕西省汉中市高一（上）期中考试数学试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={−1, 0, 1}，B={1, 2}，则A∪B=( )
A.{1}B.{−1,0, 1}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−1, 0, 1, 1, 2}

2. 函数f(x)=ax+1−2(a>0，且a≠1）的图象恒过定点( )
A.−1,−1B.−1,0C.0,−1D.−1,−2

3. 在同一坐标系中，函数y=10x与y=lgx的图像之间的关系是( )
A.关于y轴对称B.关于x轴对称
C.关于原点对称D.关于直线y=x对称

4. 已知函数fx=ex+ae−xa∈R的图像关于原点对称，则f0=( )
A.1e−eB.0C.e−1eD.e+1e

5. 已知函数f(x)=1−x,x≤0ax，x>0，若f(1)=f(−1)，则实数a的值等于( )
A.1B.2C.3D.4

6. 如图，若C1，C2分别为函数y=lgax和y=lgbx的图像，则( )

A.0b>1D.b>a>1

7. 函数y=4xx2+1的图象大致为( )
A.B.
C.D.

8. 设a=30.7，b=13−0.8 ，c=lg0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
9. 若一次函数y=ax+b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图像只可能是( )
A.B.
C.D.

10. 设函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)，则f(x)是（ ）
A.奇函数，且在(0, 1)上是增函数
B.奇函数，且在(0, 1)上是减函数
C.偶函数，且在(0, 1)上是增函数
D.偶函数，且在(0, 1)上是减函数

11. 若二次函数fx=ax+2x−4的图像经过点0,−4，则函数fx在−4,2上的最小值为( )
A.92B.−92C.−4D.8

12. 设函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=ex+x−e−1．则fx+1<0的解集为( )
A.−1,1B.−1,0C.−2,0D.−∞,−2∪1,2
二、填空题

函数fx=1x−1+lnx的定义域是________.

设α∈{−2,−1,−12，12，1，2}，若f(x)=xα为奇函数，且在(0, +∞)递减，则α=________.

已知集合A={1,2}，B={3,4}，f：A→B为集合A到B的一个函数，则这样的函数最多有_______个．

关于函数的性质，有如下说法：
①若函数f(x)的定义域为R，则g(x)=f(x)+f(−x)一定是偶函数；
②已知f(x)是定义域内的增函数，且f(x)≠0，则1f(x)是减函数；
③若f(x)是定义域为R的奇函数，则函数f(x−2)的图像关于点(2, 0)对称；
④已知偶函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，则满足f(2x−1)其中正确说法的序号有________．
三、解答题

计算：
(1)(214)​12−(−2020)0−(278)​−23+1.5−2；

(2)lg34273+lg25+lg4+7lg72+lg23×lg34．

已知集合A=x|−3(1)若m=−2，求A∩B；

(2)若B⊆A，求实数m的取值范围.

已知函数fx=2x−a2x+b，f1+f−1=f0=0.
(1)求a，b的值；

(2)判断函数fx的奇偶性，并证明你的结论．

已知函数fx=x+4x.
(1)用单调性定义证明函数fx在0,2上为减函数；

(2)求函数fx在−2,−1上的最大值．

已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=lg12(−x+1)且单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若f(a−1)<−1，求实数a的取值范围．

已知函数fx=x2−mx+1m∈R.
(1)若函数fx在x∈−1,1上是单调函数，求实数m的取值范围；

(2)若函数gx=−x24+1，是否存在实数m使得函数fx与gx在相同定义域0,1上的值域也相同，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省汉中市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】
解：∵ A={−1, 0, 1}，B={1, 2}，
∴ A∪B={−1, 0, 1, 2}.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
指数函数的性质
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
令指数为0，即可求得函数fx=ax+1−2恒过点．
【解答】
解：令x+1=0，可得x=−1，
则f−1=1−2=−1，
∴ 不论a取任何正实数，函数fx=ax+1−2恒过点−1,−1.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
反函数
【解析】
利用互为反函数的图象关于直线y=x对称即可得出．
【解答】
解：∵ 函数y=10x与y=lgx互为反函数，
∴ 其图象关于直线y=x对称．
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
判断函数的奇偶性，即可得到答案.
【解答】
解：∵ 函数f(x)=ex+ae−x(a∈R)的定义域为R，
又函数f(x)=ex+ae−x(a∈R)的图像关于原点对称，
∴ 函数fx是定义在R上的奇函数，
∴ f0=0.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
【解析】
利用分段函数的性质求解．
【解答】
解：∵ f(x)=1−x,x≤0ax，x>0，且f(1)=f(−1)，
∴ a=1−(−1)=2．
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
由题意利用对数函数的单调性和特殊点，得出结论．
【解答】
解：如图，作直线y=1，
则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，
由图像，得0所以0故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的图象
【解析】
根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】
解：设f(x)=y=4xx2+1，由题知定义域为实数集R，
∵ f(−x)=4(−x)(−x)2+1=−4xx2+1=−f(x)，
∴ 函数f(x)为奇函数，故排除CD；
当x>0时，f(x)>0，故排除B.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
根据指数函数和对数函数的性质，利用中间值即可求出不等关系.
【解答】
解：因为a=30.7>1，
b=13−0.8=30.8>30.7=a，
c=lg0.70.8<，
所以c<1故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
二次函数的图象
一次函数的性质与图象
【解析】
根据一次函数y=ax+b的图象位置确定a、b的符号，根据a、b的符号确定二次函数y=ax2+bx图象的位置．
【解答】
解：∵ 一次函数y=ax+b的图像经过第二、三、四象限，
∴ a<0，b<0，
∴ 二次函数y=ax2+bx的图像开口向下，
对称轴x=−b2a<0，在y轴左边．
故选C.
10.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的判断
【解析】
求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．
【解答】
解：函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)，函数的定义域为(−1, 1)，
函数f(−x)=ln(1−x)−ln(1+x)=−[ln(1+x)−ln(1−x)]=−f(x)，
所以函数是奇函数．
排除C，D，正确结果在A，B中，
只需判断特殊值的大小，即可推出选项，
x=0时，f(0)=0；
x=12时，f(12)=ln(1+12)−ln(1−12)=ln3>1，
显然f(0)故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
二次函数的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
由题意可得−4=a0+20−4，解得a=12，可求函数解析式为fx=12x2−x−4，利用二次函数的性质可求其最小值．
【解答】
解：∵ 二次函数fx=ax+2x−4的图像经过点0,−4，
∴ −4=a0+20−4，
解得a=12，
∴ 函数解析式为fx=12x+2x−4，
即fx=12x2−x−4=12x−12−92，
∴ 函数fx的最小值为f1=−92.
故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
【解答】
解：当x≥0时，f(x)=ex+x−e−1，
f1=e1+1−e−1=0.
由于y=ex，y=x在R上均为增函数，
∴ f(x)=ex+x−e−1在区间[0,+∞)为增函数.
又∵ 函数f(x)是定义在R的偶函数，
∴ 若fx+1<0，则fx+1∴ x+1<1，即−1解得−2∴ fx+1<0的解集为−2,0.
故选C．
二、填空题
【答案】
{x|x>0且x≠1}
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
令分母不为0，且真数部位大于0即可.
【解答】
解：要使函数有意义，
则x−1≠0,x>0,
解得x>0且x≠1，
故定义域是{x|x>0且x≠1}.
故答案为：{x|x>0且x≠1}.
【答案】
−1
【考点】
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】
根据幂函数的指数大于0，则在区间(0, +∞)上单调递增，可排除n=12，1，2的可能，然后判定当α=−1时，f(x)=1x是否满足条件即可．
【解答】
解：∵ f(x)=xα，
当α>0时函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增，
故12，1，2都不符合题意；
当α=−1时，f(x)=1x，定义域为{x|x≠0}，
f(−x)=−1x=−f(x)，在区间(0, +∞)上单调递减，符合题意；
当α=−12时，f(x)=x−12=1x，定义域为{x|x>0}，
f(x)不是奇函数，故不符合题意；
当α=−2时，f(x)=1x2，定义域为{x|x≠0}，
f(−x)=f(x)，是偶函数，不是奇函数，故不符合题意.
综上，a=−1.
故答案为：−1．
【答案】
4
【考点】
函数的概念
【解析】
由函数的定义知集合A中每一个元素在集合B中有唯一的元素和它对应，A中1在集合B中有3或4与1对应，有两种选择，同理集合A中2也有两种选择，相乘求解即可．
【解答】
解：由函数的定义知集合A中每一个元素
在集合B中有唯一的元素和它对应，
集合A中的元素1在集合B中有3或4与其对应，有两种选择，
同理集合A中2也有两种选择，
所以从集合A=1,2到集合B=3,4的不同函数
共有2×2=4(个).
故答案为：4．
【答案】
①③④
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
①由于g(−x)=g(x)，即可判断出奇偶性；
②不正确，例如f(x)=x在x∈(−∞, 0)∪(0, +∞)上不具有单调性；
③由于f(x)是定义域为R的奇函数，可得f(0)=0，因此f(2−2)=0，可得函数f(x−2)的图象关于点(2, 0)对称，即可判断出真假；
④由偶函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，则满足f(2x−1)【解答】
解：①若函数f(x)的定义域为R，
则g(x)=f(x)+f(−x)满足g(−x)=g(x)，
所以一定是偶函数，故①正确；
②已知f(x)是定义域内的增函数，且f(x)≠0，
则1f(x)是减函数，此说法错误，
例如f(x)=x在x∈(−∞, 0)∪(0, +∞)上不具有单调性；
③若f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)=0，
所以f(2−2)=0，
则函数f(x−2)的图像关于点(2, 0)对称，故③正确；
④已知偶函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，
由f(2x−1)解得13所以x的取值范围是(13,23)，故④正确．
综上，正确说法的序号有①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=32−1−49+49
=12.
(2)原式=lg33​−14+lg(25×4)+2+lg24
=−14+2+2+2
=234.
【考点】
有理数指数幂
对数的运算性质
【解析】
利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
【解答】
解：(1)原式=32−1−49+49
=12.
(2)原式=lg33​−14+lg(25×4)+2+lg24
=−14+2+2+2
=234.
【答案】
解：(1)当m=−2时，
B={x|2m−1所以A∩B={x|−3(2)∵ 集合A={x|−3B={x|2m−1若B⊆A，
①当B=⌀时，2m−1≥m+3，解得m≥4；
当B≠⌀时，
2m−1≥−3，2m+3≤5，2m−1解得：−1≤m≤2 .
综上，实数m的取值范围是{m|−1≤m≤2或m≥4} .
【考点】
交集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当m=−2时，
B={x|2m−1所以A∩B={x|−3(2)∵ 集合A={x|−3B={x|2m−1若B⊆A，
①当B=⌀时，2m−1≥m+3，解得m≥4；
当B≠⌀时，
2m−1≥−3，2m+3≤5，2m−1解得：−1≤m≤2 .
综上，实数m的取值范围是{m|−1≤m≤2或m≥4} .
【答案】
解：(1)由f0=20−a20+b=0，
解得a=1，
所以f(1)+f−1=2−12+b+2−1−12−1+b=0，
解得b=1 .
(2)由(1)知fx=2x−12x+1，函数fx为奇函数．
证明：∵ 函数fx的定义域关于原点对称，
且f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−f(x)，
∴ 函数fx为奇函数．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数奇偶性的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由f0=20−a20+b=0，
解得a=1，
所以f(1)+f−1=2−12+b+2−1−12−1+b=0，
解得b=1 .
(2)由(1)知fx=2x−12x+1，函数fx为奇函数．
证明：∵ 函数fx的定义域关于原点对称，
且f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−f(x)，
∴ 函数fx为奇函数．
【答案】
(1)证明：设对任意的0则fx1−fx2=x1+4x1−x2−4x2
=x1−x2x1x2−4x1x2.
∵ 0∴ 0∴ fx1−fx2>0，
即fx1>fx2，
∴ 函数fx在0,2上为减函数．
(2)解：∵ f−x=−x+4−x=−x+4x=−fx，
又∵ fx的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，
∴ fx是奇函数.
∵ fx在1,2上为减函数，
∴ fx在−2,−1上也是减函数，
∴ 函数fx在[−2,−1]上的最大值为f(−2)=−4 .
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数最值的应用
【解析】

【解答】
(1)证明：设对任意的0则fx1−fx2=x1+4x1−x2−4x2
=x1−x2x1x2−4x1x2.
∵ 0∴ 0∴ fx1−fx2>0，
即fx1>fx2，
∴ 函数fx在0,2上为减函数．
(2)解：∵ f−x=−x+4−x=−x+4x=−fx，
又∵ fx的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，
∴ fx是奇函数.
∵ fx在1,2上为减函数，
∴ fx在−2,−1上也是减函数，
∴ 函数fx在[−2,−1]上的最大值为f(−2)=−4 .
【答案】
解：(1)令x>0，则−x<0，
f(−x)=lg12(x+1)=f(x)，
∴ x>0时，f(x)=lg12(x+1)，
则f(x)=lg12(x+1)(x>0),lg12(−x+1)(x≤0).
(2)∵ 偶函数f(x)=lg12(−x+1)在(−∞, 0]上为增函数，
∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数，
∵ f(a−1)<−1=f(1)=f(−1)，
∴ 当a−1>0时，即a−1>1，
解得a>2；
当a−1<0时，即a−1<−1，
解得a<0，
∴ a>2或a<0．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
（1）根据函数奇偶性的性质即可求函数f(x)的解析式；
（2）若f(a−1)<−1，将不等式进行转化即可求实数a的取值范围
【解答】
解：(1)令x>0，则−x<0，
f(−x)=lg12(x+1)=f(x)，
∴ x>0时，f(x)=lg12(x+1)，
则f(x)=lg12(x+1)(x>0),lg12(−x+1)(x≤0).
(2)∵ 偶函数f(x)=lg12(−x+1)在(−∞, 0]上为增函数，
∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数，
∵ f(a−1)<−1=f(1)=f(−1)，
∴ 当a−1>0时，即a−1>1，
解得a>2；
当a−1<0时，即a−1<−1，
解得a<0，
∴ a>2或a<0．
【答案】
解：(1)∵ 函数fx的图像开口向上且对称轴为x=m2，
当fx在x∈[−1,1)上单调递增时，m2≤−1，
解得m≤−2；
当fx在x∈−1,1上单调递减时，m2≥1，
解得m≥2 .
综上，m的取值范围为−∞,−2∪2,+∞ .
(2)∵ gx=−x24+1在0,1上单调递减，
∴ 当x∈0,1时，34≤gx≤1，
即gx在0,1上的值域为34,1.
∵ f0=1，
∴ 当m2>1时，有f1=2−m=34，
解得m=54（舍）；
当12≤m2≤1时，有fm2=−m24+1=34，
解得m=1 .
综上，m=1 .
【考点】
二次函数的性质
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 函数fx的图像开口向上且对称轴为x=m2，
当fx在x∈[−1,1)上单调递增时，m2≤−1，
解得m≤−2；
当fx在x∈−1,1上单调递减时，m2≥1，
解得m≥2 .
综上，m的取值范围为−∞,−2∪2,+∞ .
(2)∵ gx=−x24+1在0,1上单调递减，
∴ 当x∈0,1时，34≤gx≤1，
即gx在0,1上的值域为34,1.
∵ f0=1，
∴ 当m2>1时，有f1=2−m=34，
解得m=54（舍）；
当12≤m2≤1时，有fm2=−m24+1=34，
解得m=1 .
综上，m=1 .