2020-2021学年山东省临沂市高一（下）期末考试数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年山东省临沂市高一（下）期末考试数学试卷 (1)人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若复数z满足1−iz=i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面向上”，设事件B= “第二枚硬币正面向上”，则( )
A.事件A与B互为对立事件B.事件A与B为互斥事件
C.事件A与事件B相等D.事件A与B相互独立

3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+b2−c243，则C=( )
A.π2B.π3C.π4D.π6

4. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=( )
A.34AB→−14AC→B.14AB→−34AC→
C.34AB→+14AC→D.14AB→+34AC→

5. 某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目．已知该市高中2017级全体学生中，81%选考物理或历史，39%选考物理，51%选考历史，则该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总数的比例为( )
A.9%B.19%C.59%D.69%

6. 已知三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面α，β，γ，则( )
A.若m//n，n⊂α，则m//α
B.若l⊥α，m⊂β，l⊥m，则α//β
C.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ
D.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β

7. 人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B，隐性基因记作b；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮(也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是BB，bB或 Bb ”)．人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用 D，d表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因D，就一定是卷舌的．生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是 BbDd，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为( )
A.116B.316C.716D.916
二、多选题

下面关于复数的四个命题中，结论正确的是( )
A.若复数z∈R，则z¯∈R
B.若复数z满足z2∈R，则z∈R
C.若复数z满足1z∈R，则z∈R
D.若复数z1,z2满足z1z2∈R，则z1=z2¯

给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则( )
A.平均数为3B.标准差为85
C.众数为2和3D.第85百分位数为4.5

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段B1C上一动点，则( )

A.直线BD1⊥平面A1C1D
B.异面直线B1C与A1C1所成角为45∘
C.三棱锥P−A1DC1的体积为定值
D.平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1

已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则( )
A.事件A发生的概率为12
B.事件A∪B发生的概率为1120
C.事件A∩B发生的概率为25
D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15
三、填空题

若向量a→=1,1，b→=1,2，且a→−λb→⊥b→，则实数λ的值为________.

某工厂有A，B，C三个车间，A车间有600人，B车间有500人．若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中B车间10人，则样本中C车间的人数为________．

已知某运动员每次投篮命中的概率为0.6，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：在R 软件的控制平台，输入“sample0:999,50,replace=F”，按回车键，得到0∼999范围内的50个不重复的整数随机数，指定0，1，2，3，4，5表示命中，6，7，8，9表示未命中，再以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.


已知三棱锥P−ABC内接于半径为5的球， ∠ACB=90∘，AC=7，BC=15，则三棱锥P−ABC体积的最大值为________.
四、解答题

已知点Am,2，B1,1，C2,4．
(1)若|CA→+CB→|最小，求实数m的值；

(2)若CA→与CB→夹角的余弦值为55，求实数m的值．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccsA+acsC=3a.
(1)求ab的值；

(2)若a=1， c=6，求△ABC外接圆的面积．

为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，34；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，25；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．

在三棱锥P−ABC中，D，E，F分别为棱AB，CP，AC的中点．

(1)求证： PA//平面DEF；

(2)若面PAC⊥底面ABC，BC⊥AC，△ACP为等边三角形，求二面角E−FD−B的大小．

为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位： kW⋅ℎ），并将得到的数据按如下方式分为9组： [0,40)，[40,80)，⋯，320,360，绘制得到如下的频率分布直方图：

(1)试估计抽查样本中用电量在[160,200)的用户数量；

(2)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档， 20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数；范围用左开右闭区间表示）；

(3)为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0,40)和320,360的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率．

如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，点P为底面圆周上异于A，B的点．

(1)求证： PB⊥平面PAD；

(2)若圆柱的侧面积为2π，体积为π，点Q为线段DP上靠近点D的三等分点，是否存在一点P使得直线AQ与平面BDP所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点P的位置；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省临沂市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的混合运算
【解析】
化简复数z，并求出z的共轭复数z¯以及对应的点坐标，进而得出答案．
【解答】
解：z= i1− i=(1 + i)i(1 + i)(1 − i)=−12+12i，
即z在复平面内的对应点为(−12, 12)，位于第二象限.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
事件A发生与否与事件B无关，事件B发生与否与事件A无关，从而事件A与事件B相互独立．
【解答】
解：抛掷两枚质地均匀的硬币，
设事件A=“第一枚硬币正面向上”，
设事件B=“第二枚硬币正面向上”，
事件A发生与否与事件B无关，事件B发生与否与事件A无关，
事件A与事件B相互独立．
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
推导出S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，从而sinC=a2+b2−c22ab=csC，由此能求出结果．
【解答】
解：由题意可得12absinC=a2+b2−c243=2abcsC43，
可得3sinC=csC，可得tanC=33，
由于C∈0,π，
可得C=π6.
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：如图，
则EB→=ED→+DB→=12AD→+12CB→
=12×12AB→+AC→+12AB→−AC→
=34AB→−14AC→．
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
简单随机抽样
【解析】
画出示意图，根据各自所占的比例即可求解结论．
【解答】
解：由题可得：A+B+C=81%，
A+B=51%，
B+C=39%，
∴ 51%+39%−81%=9%.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
利用线面，面面，线线的位置关系将各个选项逐一分析即可得到答案.
【解答】
解：三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面α，β，γ.
A，若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，故该选项错误；
B，若l⊥α，m⊂β，l⊥m，则α与β可能相交，故该选项错误；
C，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，故该选项正确；
D，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β或α与β相交，该选项错误.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BbDd，不考虑基因突变，基本事件总数n=24=16，利用列举法求出他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，由此能求出他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率．
【解答】
解：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．
有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BbDd，
不考虑基因突变，基本事件总数n=24=16，
他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，
分别为：（bbDD），（bbDd），bbdD，
他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为P=316.
故选B．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的混合运算
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，设z=a+bi(a,b∈R)，则由z∈R，得b=0，
所以z¯=a∈R成立，故命题A为真命题；
对于B，复数z=i满足z2=−1∈R，但z∉R，故命题B为假命题；
对于C，设z=a+bi(a,b∈R)，
由1z=1a+bi=a−bia2+b2∈R，
得b=0，则z∈R成立，故命题C为真命题；
对于D，若复数z1=i,z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠z2¯，故命题D为假命题.
故选AC．
【答案】
A,C
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
把数据从小到大依次排列然后根据标准差公式，由此可求出标准差、众数、平均数．
【解答】
解：平均数：5+5+4+3+3+3+2+2+2+110=3，故A正确；
标准差：(5−3)2+(5−3)2+⋯+(1−3)210=85，故B错误；
众数：出现次数最多的2和3，故C正确；
将数据按从大到小顺序排列，则5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，一共10个数，
i=10×85%=8.5，8.5不是整数，
应为第8和第9个数据的平均数值，即为2+22=2，故D错误.
故选AC.
【答案】
A,C,D
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
异面直线及其所成的角
直线与平面垂直的判定
直线与平面平行的性质
【解析】
由直线与平面垂直的判定及性质得到A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，得到直线BD1⊥平面A1C1D，判定A正确；求出异面直线所成角判断B错误；由直线与平面平行说明P到平面A1C1D的距离为定值判断C正确；由直线与平面平行的性质判断D正确．
【解答】
解：∵ A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，
∴ A1C1⊥平面BB1D1，则A1C1⊥BD1，同理DC1⊥BD1，
∵ A1C1∩DC1=C1，∴ 直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
∵ A1B1 // CD，A1B1=CD，∴ 四边形DA1B1C为平行四边形，
则B1C // A1D，则∠DA1C1为异面直线B1C与A1C1所成角，为60∘，故B错误；
∵ B1C // A1D，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴ B1C // 平面A1C1D．
可得P到平面A1C1D的距离为定值，即三棱锥P−A1DC1的体积为定值，故C正确；
∵ A1C1 // 平面ABCD，A1C1⊂平面A1C1D，设平面A1C1D与底面ABCD的交线为l，
由直线与平面平行的性质，可得平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1，故D正确．
故选ACD.
【答案】
B,C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由题意，分别列出事件A与事件B所包含的基本事件，再根据选项进行逐一判断即可.
【解答】
解：记从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球的编号x，y，即x,y为一个基本事件，共有事件4×5=20（个）；
A，事件A包含的基本事件为1,5，1,6， 2,5， 2,6，3,3， 3,5， 3,6，4,2，4,3，4,5 ，4,6，共有11个基本事件，则PA=1120，A错误；
B，事件A∪B包含的基本事件为1,5，1,6， 2,5，2,6，3,3, 3,5, 3,6，4,2，4,3，4,5，4,6共有11个基本事件，则P(A∪B)=1120 ，B正确；
C，事件A∩B包含的基本事件为2,5，2,6，3,3，3,5，3,6，4,3，4,5，4,6共有8个基本事件，则
PA∩B=820=25，C正确；
D，从甲罐中抽到标号为2的小球的事件有2,1,2,2,2,3,2,5,2,6，共有5个基本事件，事件发生的概率为520=14，D错误．
故选BC.
三、填空题
【答案】
35
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由题意利用两个向量垂直的性质，求得实数λ的值.
【解答】
解：∵ 向量a→=1,1,b→=1,2 ，且(a→−λb→)⊥b→，
∴ (a→−λb→)⋅b→=a→⋅b→−λb→2=1+2−5λ=0，
则实数λ=35.
故答案为：35.
【答案】
8
【考点】
分层抽样方法
【解析】
利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．
【解答】
解：设C车间共有x人，样本中C车间的人数为n.
由分层抽样的性质得：500600+500+x=1030，
解得x=400，
故n=30×400500+600+400=8.
故答案为：8.
【答案】
2350
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
利用列举法得到0~999范围内的50个不重复的整数随机数表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数，进而即可求解.
【解答】
解：按回车键得到0~999范围内的50个不重复的整数随机数，
其中表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有560，61，271，128，182，262，830，655，285，27，473，635，390，653，702，258，329，170，46，921，357，581，280共23个，
所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为p=2350.
故答案为：2350.
【答案】
28153
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球内接多面体
【解析】
要使三棱锥P−ABC的体积最大，则平面PAB⊥平面ABC，且P在底面ABC上的射影为AB中点O，利用已知条件求出三棱锥的高，再由棱锥体积公式求解即可．
【解答】
解：如图，在三角形ABC中，
已知∠ACB=90∘， AC=7， BC=15，
得AB=49+15=8，
要使三棱锥P−ABC的体积最大，
则平面PAB⊥平面ABC，且P在底面ABC上的射影为AB中点O，
连接PO并延长，交三棱锥P−ABC的外接球于D，
则PD为球的直径，
设PO=ℎ ，则ℎ10−ℎ=4×4=16，
解得ℎ=2（舍）或ℎ=8，
三棱锥的体积的最大值：
Vmax=13×12×7×15×8=28153.
故答案为：28153.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意CA→=m−2,−2，
CB→=−1,−3，
所以CA→+CB→=m−3,−5，
所以|CA→+CB→|=m−32+25，
所以当m=3时，|CA→+CB→|最小．
(2)由题意，cs⟨CA→,CB→⟩=CA→⋅CB→|CA→||CB→|=55，
所以−(m−2)+6m−22+4×10=55，
整理可得52×m−22+4=58−m，
将上述等式整理可得
2m−22+8=m−82，
整理可得m2+8m−48=m+12m−4=0，
所以m=−12或m=4．
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
【解析】
(1)根据题意写出CA→、CB→，从而可以写出|CA→+CB→|的表达式，进而可以求出当|CA→+CB→|最小时m的值．
(2)由题意得到cs⟨CA→,CB→⟩=CA→⋅CB→|CA→||CB→|=55，从而可以求出m的值．
【解答】
解：(1)由题意CA→=m−2,−2，
CB→=−1,−3，
所以CA→+CB→=m−3,−5，
所以|CA→+CB→|=m−32+25，
所以当m=3时，|CA→+CB→|最小．
(2)由题意，cs⟨CA→,CB→⟩=CA→⋅CB→|CA→||CB→|=55，
所以−(m−2)+6m−22+4×10=55，
整理可得52×m−22+4=58−m，
将上述等式整理可得
2m−22+8=m−82，
整理可得m2+8m−48=m+12m−4=0，
所以m=−12或m=4．
【答案】
解：(1)ccs A+acs C=3a，
由正弦定理得sinCcsA+sinAcsC=3sinA，
∴ sin(A+C)=3sinA，
即sinB=3sinA，
∴ sinAsinB=13，
由正弦定理得ab=13．
(2)∵ a=1，
∴ b=3a=3，
∴ cs C=a2+b2−c22ab
=46=23，
∴ sin C=1−cs2 C=53.
由正弦定理得csin C=2R，
∴ 2R=653=3305，
即R=33010，
∴ S=πR2=2710π=2.7π.
【考点】
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】


【解答】
解：(1)ccs A+acs C=3a，
由正弦定理得sinCcsA+sinAcsC=3sinA，
∴ sin(A+C)=3sinA，
即sinB=3sinA，
∴ sinAsinB=13，
由正弦定理得ab=13．
(2)∵ a=1，
∴ b=3a=3，
∴ cs C=a2+b2−c22ab
=46=23，
∴ sin C=1−cs2 C=53.
由正弦定理得csin C=2R，
∴ 2R=653=3305，
即R=33010，
∴ S=πR2=2710π=2.7π.
【答案】
解：(1)甲参赛获胜的概率为35×23=25，
乙参赛获胜的概率为34×25=310，
因为25>310，
所以派甲参赛获胜的概率更大．
(2)由(1)可得，甲不获胜的概率为1−25=35，
乙不获胜的概率为1−310=710，
所以甲、乙都不获胜的概率为35×710=2150，
所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为1−2150=2950．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
(1)根据甲、乙两人在两轮比赛中是否胜出互不影响可以直接计算出甲、乙参赛获胜的概率，从而可以判断出派甲参赛获胜的概率更大．
(2)根据(1)的结论可以分别找到甲、乙不获胜的概率，从而可以找到甲、乙都不获胜的概率，从而可以找到两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【解答】
解：(1)甲参赛获胜的概率为35×23=25，
乙参赛获胜的概率为34×25=310，
因为25>310，
所以派甲参赛获胜的概率更大．
(2)由(1)可得，甲不获胜的概率为1−25=35，
乙不获胜的概率为1−310=710，
所以甲、乙都不获胜的概率为35×710=2150，
所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为1−2150=2950．
【答案】
(1)证明：因为E，F分别为CP，CA的中点，
所以EF为△CAP的中位线，
所以EF//PA，
而EF⊂平面DEF， PA⊄平面DEF，
所以PA//平面DEF．
(2)解：因为面PAC⊥面ABC，面PAC∩面ABC=AC，
BC⊂面ABC，BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，
而DF//BC，所以DF⊥平面PAC，
所以FE⊥FD，FC⊥FD，
所以∠CFE是二面角E−FD−B的平面角．
又△ACP为等边三角形，所以∠PAC=60∘，
又EF//PA，所以∠EFC=∠PAC=60∘．
所以，二面角E−FD−B的大小为60∘．
【考点】
直线与平面平行的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱AB，CP，AC的中点．（1）求证：PA∥平面DEF；（2）若面PAC⊥底面ABC，BC⊥AC，△ACP为等边三角形，求二面∠E-FD - 高中数学 - 菁优网
(1)由EF//PA，即可证明PA//平面DEF；
(2)可得FE⊥FD，FC⊥FD，即可得∠CFE是二面角E−FD−B的平面角，解三角形EFC即可．
【解答】
(1)证明：因为E，F分别为CP，CA的中点，
所以EF为△CAP的中位线，
所以EF//PA，
而EF⊂平面DEF， PA⊄平面DEF，
所以PA//平面DEF．
(2)解：因为面PAC⊥面ABC，面PAC∩面ABC=AC，
BC⊂面ABC，BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，
而DF//BC，所以DF⊥平面PAC，
所以FE⊥FD，FC⊥FD，
所以∠CFE是二面角E−FD−B的平面角．
又△ACP为等边三角形，所以∠PAC=60∘，
又EF//PA，所以∠EFC=∠PAC=60∘．
所以，二面角E−FD−B的大小为60∘．
【答案】
解：(1)由频率分布直方图得：
样本落在[0,40)，[40,80)，[80,120)，[120,160)的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，
落在[200,240)，[240,280)，[280,320)，[320,360)的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01，
∴样本落在[160,200)的频率为：
1−0.02+0.15+0.27+0.23+0.09+0.06+0.04+0.01=0.13，
样本中用电量在[160,200)的用户数为200×0.13=26．
(2)为了使75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数，
∵0.02+0.15+0.27+0.23=0.67，
0.02+0.15+0.27+0.23+0.13=0.8．
∴75%的分位数必位于[160,200)内，
∴160+40×0.75−0.670.8−0.67≈185.
0.02+0.15+0.27+0.23+0.13+0.09+0.06=0.95，
∴95%分位数为280．
∴第二档的范围可确定为(185,280]．
(3)由题可知，样本中用电量在0,40的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4，
在320,360的用户有2户，设编号分别为a，b，
则从6户中任取2户的样本空间为：
Ω={1,2，1,3，1,4，1,a，1,b，2,3，2,4，2,a，2,b，
3,4，(3,a)，3,b，4,a，4,b，a,b}，共15个样本，
设事件A=“走访对象来自不同分组”，
则A={1,a，1,b，2,a，2,b，3,a，3,b，4,a，4,b}，∴nA=8，
∴走访对象来自不同分组的概率p=815．
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
【解析】
(1)由频率分布直方图求出样本落在[160,200)的频率，由此能求出样本中用电量在[160,200)的用户数．
(2)由频率分布直方图得75%的分位数必位于[160,200)内，再由160+40×0.75−0.670.8−0.67≈185.95%分位数为280．得到第二档的范围可确定为(185,280]．
(3)由题可知，样本中用电量在0,40的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4，在320,360的用户有2户，设编号为a，b，从6户中任取2户，利用列举法能求出走访对象来自不同分组的概率．
【解答】
解：(1)由频率分布直方图得：
样本落在[0,40)，[40,80)，[80,120)，[120,160)的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，
落在[200,240)，[240,280)，[280,320)，[320,360)的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01，
∴样本落在[160,200)的频率为：
1−0.02+0.15+0.27+0.23+0.09+0.06+0.04+0.01=0.13，
样本中用电量在[160,200)的用户数为200×0.13=26．
(2)为了使75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数，
∵0.02+0.15+0.27+0.23=0.67，0.02+0.15+0.27+0.23+0.13=0.8．
∴75%的分位数必位于[160,200)内，
∴160+40×0.75−0.670.8−0.67≈185.
0.02+0.15+0.27+0.23+0.13+0.09+0.06=0.95，
∴95%分位数为280．
∴第二档的范围可确定为(185,280]．
(3)由题可知，样本中用电量在0,40的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4，
在320,360的用户有2户，设编号分别为a，b，
则从6户中任取2户的样本空间为：
Ω={1,2，1,3，1,4，1,a，1,b，2,3，2,4，2,a，2,b，
3,4，(3,a)，3,b，4,a，4,b，a,b}，共15个样本，
设事件A=“走访对象来自不同分组”，
则A={1,a，1,b，2,a，2,b，3,a，3,b，4,a，4,b}，∴nA=8，
∴走访对象来自不同分组的概率p=815．
【答案】
(1)证明：∵AB是圆O的直径，点P是圆周上一点，
∴∠APB=90∘，即PB⊥PA．
又在圆柱OO1中，母线AD⊥底面圆O，PB⊂底面圆O，
∴AD⊥PB，又PA∩AD=A，
∴PB⊥平面PAD．
(2)解：设圆柱底面半径为r，母线长为l，
则2πrl=2π，πr2l=π，解得r=1，l=1，
在△PAD中，过A作AM⊥DP交DP于M，
由(1)知，PB⊥平面PAD，
∵AM⊂平面PAD，∴ PB⊥AM，
又DP∩PB=P，∴AM⊥平面BDP．
若M不与Q重合，∠AQM即为直线AQ与平面BDP所成角．
若M与Q重合，直线AQ与平面BDP所成角为90∘，
若直线AQ与平面BDP所成角为90∘，则AQ⊥DP，
在Rt△ADP中，由AD2=DQ⋅DP=13DP2，可得DP=3，
因此AP=DP2−AD2=2．
此时△AOP为直角三角形，∴ 点P为两个半圆弧AB中点．
因此，当点P为两个半圆弧AB中点时，直线AQ与平面BDP所成角最大为90∘，正弦值最大为1．
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
【解析】
(1)由题意，APB=90∘，即PB⊥PA，再由母线AD⊥底面圆O，得AD⊥PB，由直线与平面垂直的判定可得PB⊥平面PAD；
(2)由已知求得圆柱底面半径与母线长，在△PAD中，过A作AM⊥DP交DP于M，由(1)知PB⊥平面PAD，可得PB⊥AM，进一步得到AM⊥平面BDP．若M不与Q重合，∠AQM即为直线AQ与平面BDP所成角；若M与Q重合，且直线AQ与平面BDP所成角为90∘，求得点P为两个半圆弧AB中点．由此可得当点P为两个半圆弧AB中点时，直线AQ与平面BDP所成角最大为90∘，正弦值最大为1．
【解答】
(1)证明：∵AB是圆O的直径，点P是圆周上一点，
∴∠APB=90∘，即PB⊥PA．
又在圆柱OO1中，母线AD⊥底面圆O，PB⊂底面圆O，
∴AD⊥PB，又PA∩AD=A，
∴PB⊥平面PAD．
(2)解：设圆柱底面半径为r，母线长为l，
则2πrl=2π，πr2l=π，解得r=1，l=1，
在△PAD中，过A作AM⊥DP交DP于M，
由(1)知，PB⊥平面PAD，
∵AM⊂平面PAD，∴ PB⊥AM，
又DP∩PB=P，∴AM⊥平面BDP．
若M不与Q重合，∠AQM即为直线AQ与平面BDP所成角．
若M与Q重合，直线AQ与平面BDP所成角为90∘，
若直线AQ与平面BDP所成角为90∘，则AQ⊥DP，
在Rt△ADP中，由AD2=DQ⋅DP=13DP2，可得DP=3，
因此AP=DP2−AD2=2．
此时△AOP为直角三角形，∴ 点P为两个半圆弧AB中点．
因此，当点P为两个半圆弧AB中点时，直线AQ与平面BDP所成角最大为90∘，正弦值最大为1.