2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知直线l1；2x+y−2＝0，l2:ax+4y+1＝0，若l1⊥l2，则a的值为（ ）
A.8B.2C.−12D.−2

2. 方程x2+y2+x+y−m=0表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A.m>−12B.m0,b>0)的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y=±33xB.y=±3xC.y=±12xD.y＝±2x

6. 已知圆M：(x+csθ)2+(y−sinθ)2=1，直线l:y=kx，则下面命题错误的是（ ）
A.必存在实数k与θ，使得直线l与圆M相切
B.对任意实数k与θ，直线l与圆M有公共点
C.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切

7. 已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的焦距为2，右顶点为A．过原点与x轴不重合的直线交C于M，N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为（ ）
A.x24+y23＝1B.x26+y25＝1C.x29+y28＝1D.x236+y232＝1

8. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为52，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A，B，且AB→=BF→，则直线AB的斜率为（ ）
A.−13或13B.−16或16C.2D.16
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

设椭圆C：x24+y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（ ）
A.当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6
B.当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为3
C.存在点P，使PF1⊥PF2
D.PF1的取值范围是[1, 3]

双曲线x29−y216=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是（ ）
A.该双曲线的离心率为54
B.该双曲线的渐近线方程为y=±43x
C.点P到两渐近线的距离的乘积为14425
D.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为32

如图A(2, 0)，B(1, 1)，C(−1, 1)，D(−2, 0)，CD是以OD为直径的圆上一段圆弧，CB是以BC为直径的圆上一段圆弧，BA是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（ ）

A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32π
B.CB与BA的公切线方程为：x+y−1−2=0
C.AB所在圆与CB所在圆的交点弦方程为：x−y＝0
D.用直线y＝x截CD所在的圆，所得的弦长为22

瑞士数学家欧拉(LenhardEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(−4, 0)，B(0, 4)，其欧拉线方程为x−y+2＝0，则顶点C的坐标可以是（ ）
A.(2, 0)B.(0, 2)C.(−2, 0)D.(0, −2)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

已知x∈R，则(x+1)2+4−(x−5)2+100的最小值是________．

已知圆E的圆心在y轴上，且与圆x2+y2−2x=0的公共弦所在直线的方程为x−3y＝0，则圆E的方程为________．

已知椭圆C:x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得PF1→⋅PF2→＝0，且△PF1F2的面积等于4，则ab的取值范围为________．

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点A，B关于直线y＝x−8对称，且线段AB的中点在直线x−2y−14＝0上，则双曲线的离心率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知直线l经过点P(1, 2)．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

（2）若A(1, −1)，B(3, 1)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．

已知圆C以点(2, 0)为圆心，且被直线x−3y+2=0截得的弦长为25．
(Ⅰ)求圆C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l经过点M(5, 5)，且与圆C相切，求直线l的方程．

已知点A(−2, −2)，B(−2, 6)，C(4, −2)，点P在圆E:x2+y2=4上运动．
(1)求过点C且被圆E截得的弦长为22的直线方程；

(2)求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．

已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0, 1)，B(0, −1)，焦距为23．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为−14．证明：点D在x轴上．

已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=3，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为3−1．
（1）求双曲线Γ的方程；

（2）过点P(1, 1)是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．

已知椭圆C：x2a2+y23＝1的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足1|OF|+1|OA|＝3e|AF|，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；

（2）过点(0, 1)的直线l与椭圆相交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
1.
【答案】
D
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由直线方程分别求出l1、l2的斜率，再由l1⊥l2得斜率之积为−1，列出方程并求出a的值．
【解答】
由题意得，l1:2x+y−2＝0，l2:ax+4y+1＝0，
则直线l1的斜率是−2，l2的斜率是−a4，
∵ l1⊥l2，∴ (−a4)×(−2)＝−1，解得a＝−2，
2.
【答案】
A
【考点】
二元二次方程表示圆的条件
【解析】
由二元二次方程表示圆的条件得到m的不等式，解不等式即可得到结果．
【解答】
解：∵ 方程x2+y2+x+y−m=0表示一个圆，
∴ 1+1+4m>0，
∴ m>−12.
故选A．
3.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得a+b=10，2c=45，a2−b2=c2，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程．
【解答】
解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由题意可得a+b=10，2c=45，
a2−b2=c2，
解方程可得a=6，b=4．
即有椭圆方程为x236+y216=1．
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
两条直线的交点坐标
直线的一般式方程
【解析】
将两直线的一般式中的常数项均变为1，验证O、M的坐标是否均满足该直线的方程即可判断．
【解答】
解：A1C1x+B1C1y+1=0，
l2:A2C2x+B2C2y+1=0，
两式相减得(A1C1−A2C2)x+(B1C1−B2C2)y=0．
∵ 点O、M的坐标都满足该直线的方程，
∴ 点O、M都在该直线上，
∴ 直线OM的方程为(A1C1−A2C2)x+(B1C1−B2C2)y=0．
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用已知条件推出a，b的比值，然后得到双曲线的渐近线方程．
【解答】
由已知可得c＝2b，∴ c2＝4b2＝a2+b2，a2＝3b2，ba=33，
所以双曲线的渐近线方程为：y=±33x．
6.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用点到直线的距离公式的应用和直线与圆的位置关系的应用求出结果．
【解答】
圆M：(x+csθ)2+(y−sinθ)2=1的圆心坐标为(−csθ, sinθ)，半径为r=1，
故圆心到直线kx−y=0的距离d=|kcsθ+sinθ|1+k2=1+k21+k2|sin(θ+α)|0)的离心率为52，
又e2=c2a2=1+b2a2=54，所以ba=12，
设b＝t，a＝2t，c=5t，
设直线AB的方程为y＝k(x−5t)，不妨k0，则x2a2+y2b2＝1，①
再由PF1→⋅PF2→＝0，可得(−c−x, −y)⋅(c−x, −y)=0，所以x2−c2+y2=0，②
由①②可得y2=b4c2③
又因为△PF1F2的面积等于4，所以12⋅2c⋅y=4，即cy=4，即c2y2=16，④，
由③④可得b=2，
再由y2∈(0, b2]，
所以b4c2≤b2，可得c2≥b2，
所以a2−b2≥b2，即a2≥2b2=8，
所以a≥22，
所以ab≥42，
【答案】
2
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，线段AB的中点C的坐标为(x0, y0)，列出方程组，通过平方差法求解直线的斜率，然后转化求解离心率即可．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，线段AB的中点C的坐标为(x0, y0)，
则有x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=1,x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.
由②-①得(x2−x1)(x2+x1)=a2b2(y2−y1)(y2+y1)．
∵ x2−x1≠0，∴ y2−y1x2−x1⋅y2+y1x2+x1=b2a2，∴ kAB×y0x0=b2a2．
∵ kAB＝−1，∴ y0=−b2a2x0，又y0＝x0−8，
∴ x0=81+b2a2,y0=81+b2a2−8. 又点C在直线x−2y−14＝0上，
∴ 81+b2a2−2(81+b2a2−8)−14=0，∴ 1+b2a2=4，b2a2=3，∴ e2＝4，e＝2，
即双曲线的离心率为2．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】
若直线过原点，则设为y＝kx，则k＝2，此时直线方程为y＝2x，
当直线不过原点，设方程为xa+ya=1，即x+y＝a，
此时a＝1+2＝3，则方程为x+y＝3，
综上直线方程为y＝2x或x+y＝3．
若A，B两点在直线l同侧，
则AB // l，
AB的斜率k=−1−11−3=−2−2=1，
即l的斜率为1，
则l的方程为y−2＝x−1，即y＝x+1，
若A，B两点在直线的两侧，即l过A，B的中点C(2, 0)，
则k=2−01−2=−2，
则l的方程为y−0＝−2(x−2)，即y＝−2x+4，
综上l的方程为y＝−2x+4或y＝x+1．
【考点】
待定系数法求直线方程
【解析】
（1）讨论直线是否过原点，利用截距相等进行求解即可．
（2）根据点到直线的距离相等，分直线平行和直线过A，B的中点两种情况进行求解即可．
【解答】
若直线过原点，则设为y＝kx，则k＝2，此时直线方程为y＝2x，
当直线不过原点，设方程为xa+ya=1，即x+y＝a，
此时a＝1+2＝3，则方程为x+y＝3，
综上直线方程为y＝2x或x+y＝3．
若A，B两点在直线l同侧，
则AB // l，
AB的斜率k=−1−11−3=−2−2=1，
即l的斜率为1，
则l的方程为y−2＝x−1，即y＝x+1，
若A，B两点在直线的两侧，即l过A，B的中点C(2, 0)，
则k=2−01−2=−2，
则l的方程为y−0＝−2(x−2)，即y＝−2x+4，
综上l的方程为y＝−2x+4或y＝x+1．
【答案】
（1）根据题意，设圆C的方程为(x−2)2+y2＝r2，
若圆C被直线x−3y+2=0截得的弦长为25，
圆心到直线的距离为d=|2+2|1+3=2，
则r2=22+(5)2=9，
则圆C的标准方程为(x−2)2+y2＝9；
（2）当斜率不存在时，直线l的方程为x＝5，显然圆心(2, 0)到x＝5的距离为3，正好等于半径，符合题意；
当斜率存在时，设斜率为k，
则过M点的直线方程为：y−5＝k(x−5)，
即kx−y+5−5k＝0，圆心到直线的距离等于半径3，d=|5−3k|k2+1=3，解得k=815，
所以直线l的方程为8x−15y+35＝0．
综上，所求的直线方程为x＝5或8x−15y+35＝0．
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（I）根据题意，设圆C的方程为(x−2)2+y2＝r2，利用半径，弦长，d的关系求出r，代入即可；
(II)分斜率存在和不存在，求出圆的切线方程即可．
【解答】
（1）根据题意，设圆C的方程为(x−2)2+y2＝r2，
若圆C被直线x−3y+2=0截得的弦长为25，
圆心到直线的距离为d=|2+2|1+3=2，
则r2=22+(5)2=9，
则圆C的标准方程为(x−2)2+y2＝9；
（2）当斜率不存在时，直线l的方程为x＝5，显然圆心(2, 0)到x＝5的距离为3，正好等于半径，符合题意；
当斜率存在时，设斜率为k，
则过M点的直线方程为：y−5＝k(x−5)，
即kx−y+5−5k＝0，圆心到直线的距离等于半径3，d=|5−3k|k2+1=3，解得k=815，
所以直线l的方程为8x−15y+35＝0．
综上，所求的直线方程为x＝5或8x−15y+35＝0．
【答案】
解：(1)依题意，直线的斜率存在，
因为过点C的直线被圆E截得的弦长为22，
所以圆心到直线的距离为22−(222)2=2，
设直线方程为y+2=k(x−4)，即kx−y−4k−2=0，
所以2=|−4k−2|k2+1，解得k=−17或k=−1，
所以直线方程为x+7y+10=0或x+y−2=0.
(2)设P点坐标为(x, y)，则x2+y2=4，
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2
=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x−4)2+(y+2)2
=3(x2+y2)−4y+68
=80−4y，
因为−2≤y≤2，所以72≤80−4y≤88，
即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
直线的点斜式方程
两点间的距离公式
【解析】
（1）设直线方程为y+2＝k(x−4)，由题意可知圆心到直线的距离为2，利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得出直线方程；
（2）P点坐标为(x, y)，则x2+y2＝4，利用两点间距离公式化简|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80−4y又−2≤y≤2，从而得到|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．
【解答】
解：(1)依题意，直线的斜率存在，
因为过点C的直线被圆E截得的弦长为22，
所以圆心到直线的距离为22−(222)2=2，
设直线方程为y+2=k(x−4)，即kx−y−4k−2=0，
所以2=|−4k−2|k2+1，解得k=−17或k=−1，
所以直线方程为x+7y+10=0或x+y−2=0.
(2)设P点坐标为(x, y)，则x2+y2=4，
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2
=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x−4)2+(y+2)2
=3(x2+y2)−4y+68
=80−4y，
因为−2≤y≤2，所以72≤80−4y≤88，
即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．
【答案】
（1）由题意可得b=1，c=3，∴ a2=b2+c2=4，
所以椭圆的方程为：x24+y2=1；
（2）设M(x1, m)，N(−x1, m)，x1≠0，−1