初中数学人教版九年级上册21.2.2 公式法学案

21.2.2解一元二次方程公式法学案

知识点1：根的判别式

一元二次方程的求根公式是：                         

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：

（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；

（2）求出的值；

（3）若，则把及的值代人求根公式                     ，求出。

  1》根的判别式：（其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项）

当,                        ；

当,                         ；

当<0,                          。

公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

题型1：根据判别式判断根的情况

例1：方程的根的情况（    ）

   A.该方程有两个相等的实数根             B.该方程有两个不相等的实数根

   C.该方程没有实数根                     D.无法确定

例2：不解方程判断下列方程根的情况

（1）             （2）                （3）

（4）            （5）                 （6）

题型2：利用跟的判别式求方程中某个字母的值或取值范围

例1：若一元二次方程有实数根，则的取值范围为______________。

例2：关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_____________。

例3：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________。

例4：关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是________。

例5：若关于的一元二次方程，异号，则方程根的情况为_________________。

例6：若关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围是___________________。

题型3：利用根的判别式证明方程根的情况

例1：已知关于的一元二次方程。

  （1）求证：不论为何实数，方程总有两个不相等的实数根

  （2）当时，用配方法解此一元二次方程。

例2：已知：关于的一元二次方程（为整数）

  求证：方程有两个不相等的实数根

例3：已知关于的方程

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根

（2）若方程的一个根为1，请求出方程的另一个根。

例4：已知关于的一元二次方程（）

（1）求证：方程有两个不相等的实数根

（2）设方程的两个实数根分别（其中），若是关于的函数，且，求这个函数的函数解析式

当堂检测：

1、不解方程，判断下列方程解的情况

（1）          （2）         （3）

2、对于任意实数，关于的方程的根的情况为__________________。

3、当=_______时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根。

4、若方程有两个不相等的实数根，则=______________。

5、已知关于的一元二次方程。当为何值时，方程有两个不相等的实数根？

6.求证：关于的一元二次方程恒有两个实数根．

7、已知关于的方程

（1）当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一个根

（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根

例  用公式法解下列方程

（1）                    （2）

（3）                  （4）

题型2：与几何结合的题型

例1：在等腰三角形ABC中，三边长分别为，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求△ABC的周长。

例2：已知关于的一元二次方程，其中分别为△ABC的三边长

（1）如果是方程的根，是判断△ABC的形状，并说明理由。

（2）如果方程有两个相等的实数根，是判断△ABC的形状，并说明理由。

（3）如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。

例3：已知的两边AB.AD的长是关于x的方程的两个实数根。

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长？

（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长为多少？

当堂检测：

1.已知方程，且，则______。

2.用公式法解下列方程

（1）           （2）        （3）