数学八年级上册11.2.2 三角形的外角教学设计

这是一份数学八年级上册11.2.2 三角形的外角教学设计，共13页。教案主要包含了学习目标，过程与方法，学习重难点，新知探究等内容，欢迎下载使用。

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【学习目标】
理解并掌握三角形的外角的概念，能够在复杂图形中找出外角。
掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和。
会利用三角形的外角性质解决问题。
【过程与方法】
利用学过的定理论证这些性质。
【学习重难点】
重点：
1．理解三角形外角的概念。
2．掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质，并应用之解决简单的实际问题。
难点：
1．理解“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”及应用。
2．探索“三角形的外角和等于360°”。
【新知探究】
新课引入
如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
过渡：若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
二、新课讲解
（一）探索三角形外角的概念：
利用三角形的内角和为180°，来求∠BCD，你会吗？
由三角形的内角和得：
∠A+∠ABC+∠BCA=180°
∠BCA=180°-∠A+∠ABC=70°
根据平角性质得：∠BCD=180°-∠BCA=110°
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？请你猜想它的性质。
∠BCD的特征：
①∠BCD的顶点是在三角形的一个顶点上；
②一边BC是三角形的一条边；
③另一边CD是三角形中一条边的延长线。
2．定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD像这样，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角：
∠ACD是△ABC的一个外角。
问题1： 如图∠ACD显然是△ABC的一个外角。那么延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
∠ACD是△ABC的一个外角
∠BCE是△ABC的一个外角
∠DCE不是△ABC的一个外角
问题2：如图∠BCE和∠ACD有什么关系？在三角形每一个顶点处有多少个外角？
∠BCE和∠ACD是对顶角，∠BCE=∠ACD
在三角形每一个顶点处都有两个外角
画一画：画出△ABC的所有外角，并数一数共有几个？
每一个三角形都有6个外角
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角。
这6个外角中有3对外角相等。
每个外角与相应的内角是领补角。
总结归纳：
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边
③另一边是三角形中一边的延长线．
∠ACD是△ABC的一个外角
每一个三角形都有6个外角．
（二）探索三角形外角的性质：
（1）图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？
（2）若∠BAC=55°，∠B=60°，试求∠ACB，∠ACD，∠CAE，的度数，并说出你的理由？
在△ABC中，由三角形的内角和180°得
∠BAC+∠B+∠ACB=180°
∠ACB=180°-∠BAC-∠B=180°-55°-60°=65°
∠ACD=180°-∠ACB=115°
∠CAE=180°-∠BAC=125°
想一想:
通过上面的计算，你发现∠ACD，∠CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系？请你试着用自己的语言说一说，你能简述一下推到过程吗？
∠ACD=∠BAC+∠B；∠ACD+∠ACB=180°；∠ACD＞∠BAC，∠ACD＞∠B
∠CAE=∠B+∠ACB；∠CAE+∠BAC=180°；∠CAE＞∠B，∠CAE＞∠ACB
猜想：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角与它相邻的内角互补。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
已知：如图在△ABC中，求证：∠ACD=∠A+∠B．
证明：过C作CE平行于AB
∴∠1=∠B (两直线平行，同位角相等)
∠2=∠A (两直线平行，内错角相等)
∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B．
结论：
* 三角形内角和定理推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
* 应用格式：
∵在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角。
∴∠ACD=∠A+∠B．
*三角形内角和定理的推论：
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
* 应用格式：
∵在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角。
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B．
利用三角形外角的性质求角的度数：
例题1：如图，∠A=42°，∠ABD=28°∠ACE=18°求∠BFC的度数？
解： ∵∠BEC是△AEC的一个外角，
∴∠BEC=∠A+∠ACE
∵∠A=42°∠ACE=18°
∴∠BEC=60°
∵∠BFC是△BEF的一个外角，
∴∠BFC=∠EBF+∠BEC
∵∠ABD=∠EBF=28°∠BEC=60°
∴∠BFC=88°
练一练：把图形中∠1、∠2、∠3按照由大到小的顺序排列
∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3
三角形三个外角的和是360°：
（1）在一个三角形花坛的外圈走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来的位置时（方向与出发时相同），一共走了多少度？
注意：我们讲三角形的外角和时，是在三角形的每一个顶点处取一个外角相加，得到的和称为三角形的外角和。如图: ∠1+ ∠2+ ∠3就是△ABC的外角和．
思考： ∠1+∠2+∠3= ？度
例题2：如图△ABC中，有∠1， ∠2， ∠3，三个外角，求∠1+ ∠2+ ∠3的度数？
解：由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。得：
∠1=∠ABC+∠ACB
∠2=∠BAC+∠ACB
∠3=∠BAC+∠ABC
∵∠ABC+∠BCA+∠ACB=180°（三角形内角和为180°）
∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC
∠1+∠2+∠3=2（∠ABC+∠BCA+∠ACB）=360°
你还有其他解法吗？
解法二：
解：三角形的一个外角与它相邻的内角互补。
∠1+∠BAC=180°
∠2+∠ABC=180°
∠3+∠ACB=180°
三个式子相加得：
∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=540°
∵∠ABC+∠BCA+∠ACB=180°（三角形内角和为180°）
∴∠1+∠2+∠3=360°
思考：你能有作平行线的方法证明以上结论吗？
解法三：过A作AD平行于BC，
∠3=∠4 (两直线平行，同位角相等)
∠2=∠BAD (两直线平行，同位角相等)
∠3+∠2=∠4 +∠BAD
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠4 +∠BAD=360°
思考：你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
结论:三角形外角和等于360°。
例1、已知∠B=50°， ∠CFD=80°，∠D=20°
求：∠A的度数。
A
E
F
D
C
B
A
E
F
D
C
B
例2、（1）∠AED是____的外角 ∠ACD是____的外角
（2）∠AED =____+____ ∠ACD =____+____
（3）∠AED ＞______ ∠ACD ＞______
（4）∠AFD是 的外角
（5）∠AFD =____+____
A
D
F
（6）∠AFD ＞______
（7）∠AFD =____+____+____
例3、回答下列问题：(与上一题作对比，聪明的你有什么发现？)
（1）求证：∠AFD=∠B+∠BAF+∠BDF。
（2）若∠B＝65°，AF平分∠BADDF平分∠BDA求 ∠AFD的大小。
B
（3）若∠B＝n°，其他条件与（2）相同，求∠AFD的大小。
三、小结
练习巩固
1．一个三角形的两内角分别55°和65°，它的外角不可能是（ ）。
A．115° B．120° C．125° D．130°
2．如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为（ ）。
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（ ）。
A．等腰直角三角形 B．一般的等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
4．已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）。
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
5．已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4，则它的最大内角的度数为（ ）。
A．90° B．110° C．100° D．120°
6.如图4，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，求∠1+∠2+∠3的度数.
7.如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B的度数；
A
C
D
B
（2）∠C的度数。
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC，∠B=80度，∠C=46度，。
你会求∠DAE的度数吗？
你能发现∠DAE与∠B、∠C的度数吗？
若只知道∠B-∠C=20度，你能求出∠DAE的度数吗？