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陕西中考数学基础考点课件+练习题：第23课时 矩形、菱形、正方形
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平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系
【提分要点】矩形、菱形、正方形均是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的任意一条直线平分图形的面积，且矩形、菱形、正方形均被其两条对角线分成面积相等的四个三角形．
平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系
1. 定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形2. 常见结论：
证明：矩形的对角线相等．1. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：AC＝DB.【自主解答】
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC(矩形的对边相等)．在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC＝DB.
证明：有三个角是直角的四边形是矩形．2. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．【自主解答】
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．
证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3. 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形．【自主解答】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．
证明：四边都相等的四边形是菱形．4. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.求证：四边形ABCD是菱形．【自主解答】
证明：∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形)．
例1 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O.
(1)要使平行四边形ABCD为矩形，可添加的条件为____________；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________________________.(2)已知四边形ABCD为矩形．①若AB＝3，BC＝4，则AC的长为________；
对角线相等的平行四边形是矩形．
②若∠AOB＝60°，AB＝4，则BD的长为________；③若点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH是________形；④过点A作AE⊥BD于点E，若AB＝5，tan∠BAE＝ ，则AE的长为______，矩形ABCD的面积为________．
例2 如图①，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.
(1)要使平行四边形ABCD为菱形，则可添加的条件为________；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________________________.(2)若四边形ABCD为菱形，AB＝5.①四边形ABCD的周长为________；②若∠BAD＝100°，则∠ACD＝________° ；
有一组邻边相等的平行四边形为菱形．
③若∠ABC＝60°，则对角线AC的长为________ ，BD的长为________ ，菱形ABCD的面积为________；④如图②，点E、F分别是BC、AD上的点，若四边形AECF为矩形，且AE＝2AF，则AE的长为________．
(1)若∠ABC＝90°，则要使平行四边形ABCD为正方形，则需添加的条件为_______；【解题依据】此问所用的判定定理为_________________________________________ _____________________________(2)连接AC，BD，若AC⊥BD，则要使平行四边形ABCD为正方形，则需添加的条件为____________；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________ ________________________________________________.
例3 如图，四边形ABCD为平行四边形．
有一 个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．
(3)如图②，若四边形ABCD为正方形．点E是CD上一点，连接BE，且AB＝4.①连接AC，则AC＝________，∠BAC＝________；②连接AC，若点E是CD的中点，BE交AC于点P，则AP＝________，S△ABP∶S△CEP＝________；③过点A作AF⊥BE交BC于点F，交BE于点G，求证：AF＝BE.
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系
【提分要点】矩形、菱形、正方形均是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的任意一条直线平分图形的面积，且矩形、菱形、正方形均被其两条对角线分成面积相等的四个三角形．
平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系
1. 定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形2. 常见结论：
证明：矩形的对角线相等．1. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：AC＝DB.【自主解答】
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC(矩形的对边相等)．在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC＝DB.
证明：有三个角是直角的四边形是矩形．2. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．【自主解答】
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．
证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3. 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形．【自主解答】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．
证明：四边都相等的四边形是菱形．4. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.求证：四边形ABCD是菱形．【自主解答】
证明：∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形)．
例1 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O.
(1)要使平行四边形ABCD为矩形，可添加的条件为____________；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________________________.(2)已知四边形ABCD为矩形．①若AB＝3，BC＝4，则AC的长为________；
对角线相等的平行四边形是矩形．
②若∠AOB＝60°，AB＝4，则BD的长为________；③若点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH是________形；④过点A作AE⊥BD于点E，若AB＝5，tan∠BAE＝ ，则AE的长为______，矩形ABCD的面积为________．
例2 如图①，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.
(1)要使平行四边形ABCD为菱形，则可添加的条件为________；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________________________.(2)若四边形ABCD为菱形，AB＝5.①四边形ABCD的周长为________；②若∠BAD＝100°，则∠ACD＝________° ；
有一组邻边相等的平行四边形为菱形．
③若∠ABC＝60°，则对角线AC的长为________ ，BD的长为________ ，菱形ABCD的面积为________；④如图②，点E、F分别是BC、AD上的点，若四边形AECF为矩形，且AE＝2AF，则AE的长为________．
(1)若∠ABC＝90°，则要使平行四边形ABCD为正方形，则需添加的条件为_______；【解题依据】此问所用的判定定理为_________________________________________ _____________________________(2)连接AC，BD，若AC⊥BD，则要使平行四边形ABCD为正方形，则需添加的条件为____________；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________ ________________________________________________.
例3 如图，四边形ABCD为平行四边形．
有一 个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．
(3)如图②，若四边形ABCD为正方形．点E是CD上一点，连接BE，且AB＝4.①连接AC，则AC＝________，∠BAC＝________；②连接AC，若点E是CD的中点，BE交AC于点P，则AP＝________，S△ABP∶S△CEP＝________；③过点A作AF⊥BE交BC于点F，交BE于点G，求证：AF＝BE.
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