2022年中考数学专题复习类型二 阶梯费用类问题（解析版）

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（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；
这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）．
【解析】
【分析】
（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围；
（3）写出w关于x的函数关系式，根据当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得，求解即可．
【详解】
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
代入（4，10000），（5，9500）可得：，
解得：，
即y与x的函数关系式为；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
根据题意可得：，
解得：，
∵，
∴当x=12时，w有最大值，w=54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元．
（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，
由题意，当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，
可得：，解得：m≥3，
∵
∴
故m的取值范围为：．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法找到最大值．
【典例2】 (2020 宁波10分)A,B两地相距200千米.早上8:00货车甲从A地出发将
一批物资运往 B地,行驶一段路程后 出现故障，即刻停车与B地联系. B地
收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲
后,用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上,随后开往B地两辆货车
离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示，(通
话等其他时间忽略不计)
(1)求货车乙在遇到货车甲前,它离开出发地的路程)关于x的函数表达式;
(2)因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常
到达B地的时间最多晚1个小时,间货车乙返回B地的速度至少为每小时
多少千米?
【答案】
（1）y=80x-128(1.6≤x≤3.1)（2）至少需要75千米/小时
【解析】
（1）设函数表达式为y=kx+b(k≠0)
把(1.6, 0)，(2.6, 80)代入y=kx+b, 得
解得
∴y关于x的函数表达式为y=80x- 128;
由图可知200-80=120 (千米)，120➗80=1.5 (小时)，1.6+1.5=3.1 (小时) ,
∴x的取值范围是1.6≤x≤3.1.
∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式为y=80x-128 (1.6≤x≤3.1) ;
(2)当y=200-80=120时,
120=80x-128 ,
解得x=3.1,
由图可知，甲的速度为 (千米/小时) ,货车甲正常到达B地的时间为：
200➗ 50=4 (小时) ,18➗ 60=0.3 (小时)，4+1=5 (小时)，5-3.1-0.3=1.6 (小时) ,
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时,
∴1.6v≥120,
解得v≥75.
答:货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时.
【总结】
(1)由待定系数法可求出函数解析式;
(2)根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案.
【点评】
本题考查了一次函数的应用;待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键.
【典例3】某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入—成本)；
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝－2x＋200(40≤x≤80)；
（2）w=－2x2＋280x－8 000(40≤x≤80)；
（3）当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元．
【解析】(1)根据题意，设y＝kx＋b，其中k，b为待定的常数，
由表中的数据得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50k＋b＝100，,60k＋b＝80，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝200，))
∴y＝－2x＋200(40≤x≤80)；
(2)根据题意得W＝y ·(x－40)＝(－2x＋200)(x－40)＝－2x2＋280x－
8 000(40≤x≤80)；
(3)由(2)可知：W＝－2(x－70)2＋1 800，∴当售价x在满足 40≤x≤70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足 70＜x≤80的范围内，利润W随着x的增大而减小．∴当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元．
【典例4】襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x＋140（40≤x