2022年中考数学专题复习类型二 与切线有关的证明与计算（解析版）

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（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC平分∠DAB．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
【典例2】如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠B，根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理得到OE＝BD＝×8＝4，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴∠AOF＝∠B，
∵CD是⊙O的切线，D为切点，
∴∠CDO＝90°，
∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°，
∴∠CDA＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠AOF＝∠ADC；
（2）∵OF∥BD，AO＝OB，
∴AE＝DE，
∴OE＝BD＝×8＝4，
∵sinC＝＝，
∴设OD＝x，OC＝3x，
∴OB＝x，
∴CB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝6，
∴EF＝OF−OE＝6−4＝2．
【点睛】
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【典例3】如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，．
（1）求的大小；
（2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切．
【答案】（1）60°；（2）详见解析
【解析】
【分析】
(1)连接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值；
(2)连接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°．
【详解】
解：(1)连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，∴，
∴，则．
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：
．
故答案为：．
(2)连接，
由(1)得，，
∵，，∴，
∴，∴．
在与中，
∴，
∴．
又点在上，故与相切．
【点睛】
本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
【典例4】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．
(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．
【详解】
（1）证明：连接OC
∵CD与⊙O相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB＝∠E
∵OC=OB
∴∠ABE＝∠OCB
∴∠ABE＝∠E
∴AE=AB
（2）连接AC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA
∴△EDC∽△ECA
∴
∴．
【点睛】
本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解．
【典例5】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵＝＝，
∴∠BOD＝180°＝60°，
∵＝，
∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝3．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
【典例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
(1)求证：AB是⊙O的直径；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．
【分析】：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长．
【答案】：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径
(2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE与圆O相切
(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得BF＝eq \r(62－32)＝3eq \r(3)，则DE＝eq \f(1,2)BF＝eq \f(3\r(3),2)
【典例7】如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝eq \r(2)，DF＝2BF，求AH的值．
【分析】：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得eq \f(BC,BG)＝eq \f(AB,BC)，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CG＝AG，可证CH＝CB，即可求出AC.
【答案】：(1)连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线
(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴eq \f(BC,BG)＝eq \f(AB,BC)，即BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝4eq \r(3)，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝eq \r(BC2－FB2)＝4eq \r(2)，∴CG＝CF＋FG＝5eq \r(2)，在Rt△BFG中，BG＝eq \r(BF2＋FG2)＝3eq \r(2)，∵BG·BA＝48，∴BA＝8eq \r(2)，∴AG＝5eq \r(2)，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4eq \r(3)，∵△ABC∽△CBG，∴eq \f(AC,CG)＝eq \f(BC,BG)，∴AC＝eq \f(CB·CG,BG)＝eq \f(20\r(3),3)，∴AH＝AC－CH＝eq \f(8\r(3),3)
【典例8】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
(1)求∠CDE的度数；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)若AC＝2eq \r(5)DE，求tan∠ABD的值．
【答案】：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°
(2)连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线
(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴eq \f(DC,AD)＝eq \f(DE,DC)，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝2eq \r(5)x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(2eq \r(5)x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x(舍去)，则DC＝eq \r(（2\r(5)x）2－（4x）2)＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝eq \f(AD,DC)＝eq \f(4x,2x)＝2
【典例9】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB＝eq \f(\r(2),2)，BC＝2，求⊙O的半径．
【答案】：(1)直线CE与⊙O相切. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切 (2)∵tan∠ACB＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(\r(2),2)，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝eq \r(2)，∴AC＝eq \r(6).又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝eq \f(\r(2),2)，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝eq \r(CD2＋DE2)＝eq \r(3)，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(eq \r(6)－r)2＝r2＋3，解得r＝eq \f(\r(6),4)
【典例10】如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.
(1)求证：∠1＝∠CAD；
(2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．
【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD
(2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2eq \r(2)，设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2eq \r(2)＋x)2，解得x＝eq \r(2)，∴⊙O的半径为eq \r(2)
【典例11】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BC＝eq \r(3)，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．
【答案】：(1)连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线
(2)设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(5,2)，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴eq \f(DB,CA)＝eq \f(DE,CB)，∴eq \f(\r(3),5)＝eq \f(DE,\r(3))，∴DE＝eq \f(3,5)，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴eq \f(OF,OB)＝eq \f(OD,OE)，∴eq \f(\f(5,2),R)＝eq \f(R,R＋\f(3,5))，∵R＞0，∴R＝3，∴AB＝eq \r(AD2－BD2)＝eq \r(33)，∵eq \f(AC,AB)＝eq \f(BD,BE)，∴BE＝eq \f(3\r(11),5)
【典例12】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8.
(1)求⊙O的半径；
(2)点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将eq \(CE,\s\up8(︵))沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．
【答案】：(1)连接AO，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝4，∵OG∶OC＝3∶5，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k＝1或k＝－1(舍去)，∴5k＝5，即⊙O的半径是5
(2)将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO·sin60°＝5×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(5\r(3),2)，∴S阴影＝S扇形OMC－S△OMC＝eq \f(120×π×52,360)－eq \f(1,2)×5×eq \f(5\r(3),2)＝eq \f(25π,3)－eq \f(25\r(3),4)，即图中阴影部分的面积是eq \f(25π,3)－eq \f(25\r(3),4)
【典例13】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.
(1)求证：AE＝BF；
(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；
(3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．
【答案】：(1)连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝eq \f(1,2)AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF
(2)连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF
(3)∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根据勾股定理得EF2＝EB2＋BF2，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴cs∠DEF＝eq \f(DE,EF)＝eq \f(\r(2),2)，∵EF＝eq \r(5)，∴DE＝eq \r(5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(10),2)，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴eq \f(GE,AE)＝eq \f(EB,ED)，即GE·ED＝AE·EB，∴eq \f(\r(10),2)·GE＝2，∴GE＝eq \f(2\r(10),5)，则GD＝GE＋ED＝eq \f(9\r(10),10)