2022年中考数学专题复习类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题（解析版）

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(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：(1)根据题意得，－eq \f(b,2a)＝3，
即b＝－6a，
则抛物线的解析式为y＝ax2－6ax＋4，将B(8，0)代入得，
0＝64a－48a＋4，
解得a＝－eq \f(1,4)，则b＝eq \f(3,2)，
∴抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4；
(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋d，
由抛物线解析式可知：当x＝0时，y＝4，即点C(0，4)，
将B(8，0)，C(0，4)代入得：
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2),d＝4))，
∴直线BC的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋4，
设点M的横坐标为x(0＜x＜8)，
则点M的纵坐标为－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4，点N的纵坐标为－eq \f(1,2)x＋4，
∵点M在抛物线上，点N在线段BC上，MN∥y轴，
∴MN＝－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4－(－eq \f(1,2)x＋4)＝－eq \f(1,4)x2＋2x＝－eq \f(1,4)(x－4)2＋4，
∴当x＝4时，MN的值最大，最大值为4；
（3）存在．
令－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4＝0，
解得x1＝－2，x2＝8，
∴A(－2，0)，
又∵C(0，4)，
由勾股定理得，AC＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，
如解图，过点C作CD⊥对称轴于点D，连接AC.
∵抛物线对称轴为直线x＝3，
∴CD＝3，D(3，4)．
①当AC＝CQ时，
DQ＝eq \r(CQ2－CD2)＝eq \r(（2\r(5)）2－32)＝eq \r(11)，
当点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4＋eq \r(11)，
此时，点Q1(3，4＋eq \r(11))，
当点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4－eq \r(11)，
此时点Q2(3，4－eq \r(11))；
②当AQ＝CQ时，设Q（3，t），则AQ2=（3+2）2+t2，CQ=9+（4-t）2，
则（3+2）2+t2=9+（4-t）2，解得t=0，
此时，点Q3(3，0)；
③当AC＝AQ时，
∵AC＝2eq \r(5)，点A到对称轴的距离为5，2eq \r(5)AC2，
∴△ABC为锐角三角形．
(3)存在满足条件的点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形
理由：如解图，过线段AC的中点M，作AC的垂线交抛物线于点P，
直线MP与抛物线必有两个满足条件的交点P，
∵A(0，－6)，C(6，0)，
∴点M的坐标为(3，－3)，且OA=OC，
∴直线MP过点O，
设直线MP的解析式为y＝kx，
将点M(3，－3)代入得，k＝－1，
即直线MP的解析式为y＝－x，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x,y＝x2－5x－6))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝2－\r(10),y1＝\r(10)－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝2＋\r(10),y2＝－2－\r(10)))，
∴点P的坐标为(2－eq \r(10)，eq \r(10)－2)或(2＋eq \r(10)，－2－eq \r(10))．
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC.
(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，PA＝QA?
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：(1)∵直线y＝－2x＋10与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴A(5，0)，B(0，10)，
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx(a≠0)，
把点A(5，0)和C(8，4)代入可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(25a＋5b＝0,64a＋8b＝4))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,6),b＝－\f(5,6)))，
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(1,6)x2－eq \f(5,6)x；
∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，
∴AB2＝125，AC2＝25，BC2＝100，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)如解图，连接AP，AQ，当P，Q运动t秒，即OP＝2t，CQ＝10－t，
在Rt△AOP和Rt△ACQ中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝OA,PA＝QA))，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，
∴OP＝CQ，
∴2t＝10－t，
∴t＝eq \f(10,3)，
∵t