2022年中考数学专题复习类型三 与圆有关的计算（扇形、圆锥、圆与正多边形）（解析版）

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【答案】eq \f(π,3)
【解析】设这个扇形的半径为r cm，则eq \f(60πr2,360)＝eq \f(π,6)，解得r＝1(负值舍去)，∴这个扇形的弧长为eq \f(60π×1,180)＝eq \f(π,3).
【典例2】小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得eq \(ACB,\s\up8(︵))的长为36 cm，则eq \(ADB,\s\up8(︵))的长为________cm.
【答案】12
【解析】设⊙O的半径为r，则可列方程：eq \f(（360－90）πr,180)＝36，解得r＝eq \f(24,π)，∴eq \(ADB,\s\up8(︵))的长为eq \f(90π·\f(24,π),180)＝12 cm.
【典例3】如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝eq \r(2)，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是( )
A. 1－eq \f(π,4) B. eq \f(π－1,4) C. 2－eq \f(π,4) D. 1＋eq \f(π,4)
【答案】A
【解析】如解图，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CD＝eq \f(1,2)AB，∵∠ACB＝90°，AC＝eq \r(2)，AC＝BC，∴AB＝2，∴CD＝1，∴S阴影＝S△ABC－S扇形ECF＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)－eq \f(90π×12,360)＝1－eq \f(π,4).
【典例4】如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆．则图中阴影部分的面积为( )
A. 24eq \r(3)－4π B. 12eq \r(3)＋4π
C. 24eq \r(3)＋8π D. 24eq \r(3)＋4π
【答案】A
【解析】正六边形的面积为eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)×6＝24eq \r(3)，六个小半圆的面积为π·22×3＝12π，中间大圆的面积为π·42＝16π，所以阴影部分的面积为24eq \r(3)＋12π－16π＝24eq \r(3)－4π.
【典例5】如图，已知点C, D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为eq \f(1,3)π，则图中阴影部分的面积为( )
A. eq \f(1,6)π B. eq \f(3,16)π
C. eq \f(1,24)π D. eq \f(1,12)π＋eq \f(\r(3),4)
【答案】A
【解析】如解图，连接OC、OD、CD，∵点C、D是半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝60°，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△ACD，∴S阴影＝S扇形COD，∵eq \(CD,\s\up8(︵))的长为eq \f(1,3)π，∴eq \f(60πr,180)＝eq \f(1,3)π，解得r＝1，∴S阴影＝S扇形COD＝eq \f(60π×12,360)＝eq \f(1,6)π.
【典例6】如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为( )
A. 4π B. 6 C. 4eq \r(3) D. eq \f(8,3)π
【答案】D
【解析】由题意知AC＝4，BC＝4－2＝2，∠A1BC＝90°.由旋转的性质，得A1C＝AC＝4.在Rt△A1BC中，cs∠ACA1＝eq \f(BC,A1C)＝eq \f(1,2).∴∠ACA1＝60°.∴扇形ACA1的面积为eq \f(60×π×42,360)＝eq \f(8,3)π.即线段CA扫过的图形的面积为eq \f(8,3)π.
【典例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝2.以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则eq \(DE,\s\up8(︵))的长为( )
A. eq \f(4π,3) B. π C. eq \f(2π,3) D. eq \f(π,3)
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，且AD＝AE，∴AD＝BC＝AE＝2，∵AB＝eq \r(3)，∠ABE＝90°，∴cs∠BAE＝eq \f(AB,AE)＝eq \f(\r(3),2)，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，∴eq \(DE,\s\up8(︵))的长为eq \f(60×π×2,180)＝eq \f(2,3)π.
【典例8】如图，公路弯道标志eq \x(R＝m)表示圆弧道路所在圆的半径为m(米)，某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝________米．
【答案】300
【解析】如解图，连接AO、BO，∵100π＝eq \f(nπR,180)＝eq \f(nπ·300,180)，∴n＝60°，又∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300米．
【典例9】如图，已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，eq \(AB,\s\up8(︵))的长是eq \f(2,3)π，则阴影部分的面积是________．
【答案】eq \f(2π,3)－eq \r(3)
【解析】由题可得，∠AOB＝60°，设⊙O的半径为r，则eq \f(60πr,180)＝eq \f(2π,3)，解得r＝2，则S阴影＝S扇形OAB－S△OAB＝eq \f(60×22π,360)－eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \f(2π,3)－eq \r(3).
【典例10】如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则eq \(BC,\s\up8(︵))的长等于________．

【答案】eq \f(\r(5)π,2)
【解析】如解图，连接OC，∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB＝2eq \r(5)，AC＝eq \r(10)，BC＝eq \r(10)，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴∠COB＝90°，∵OB＝eq \r(5).∴eq \(BC,\s\up8(︵))的长为eq \f(90×π×\r(5),180)＝eq \f(\r(5)π,2).
【典例11】如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】2eq \r(3)－π
【解析】如解图，连接OD，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，在菱形OABC中，AB＝OA＝OB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠A＝60°，∴OD＝2×sin60°＝eq \r(3)，∴S△AOB＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)，∴扇形的面积为eq \f(60°×π×（\r(3)）2,360°)＝eq \f(π,2)，∴阴影部分的面积为2×(eq \r(3)－eq \f(π,2))＝2eq \r(3)－π.
【典例12】如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】 eq \f(1,4)π－eq \f(1,2)
【解析】如解图，连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝1，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∵∠ADG＋∠CDG＝∠CDG＋∠CDH＝∠CDH＋∠BDH，∴∠ADG＝∠CDH，∠CDG＝∠BDH，∴△ADG≌△CDH(ASA)，△CDG≌△BDH(ASA)，∴S四边形CGDH＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×2×1＝eq \f(1,2)，∴S阴影＝S扇形FDE－S四边形CGDH＝eq \f(90π×12,360)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)π－eq \f(1,2).
【典例13】如图，在半径为eq \r(2)的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为________；若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头)，则圆锥底面半径为________．
【答案】π；eq \f(1,2)
【解析】∵S扇形＝eq \f(nπR2,360)＝eq \f(90πR2,360)，∴当扇形半径越大时，S扇形越大，如解图，连接AB，当AB为圆的直径时，扇形半径最大．∵圆的半径为eq \r(2)，∴AB＝2eq \r(2).∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形．∴AC＝eq \f(\r(2),2)AB＝2.∴S扇形ACB＝eq \f(90π×22,360)＝π；设这个圆锥底面半径为r，根据题意可得l＝2πr，又∵l＝eq \f(90π×2,180)＝π，∴2πr＝π，解得r＝eq \f(1,2).则圆锥底面半径为eq \f(1,2).
【典例14】如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，连接AE，AC，过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D.
(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB＝4，CD＝eq \r(3)，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：(1)直线DC与⊙O相切．
理由：如解图①，连接OC，
∵eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，∴∠EAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠ACO＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线DC与⊙O相切；
(2)如解图②，连接OC、OE、EC，过点C作CH⊥AB于点H，
②
∵CH⊥AB，CD⊥AE，
∴∠ADC＝∠AHC＝90°，
∵∠EAC＝∠OAC，AC＝AC，
∴△ADC≌△AHC(AAS)，
∴CH＝CD＝eq \r(3)，AH＝AD，
∵AB＝4，且AB为直径，
∴OC＝OB＝2，
又∵CH⊥OB，
∴sin∠COH＝eq \f(CH,CO)＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠COH＝60°，
∴∠EOC＝∠COH＝60°，
∴∠OED＝120°，
∵OE＝OC，
∴△OEC为等边三角形，
∴∠EOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
又∵DAC＝30°，
又∵CD＝eq \r(3)，∴AD＝3，
∵eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，
∴∠BOC＝∠OCE＝60°，
∴EC∥BA，∴S△AEC＝S△OEC.
∴S阴影＝S△ADC－S扇形OEC＝eq \f(1,2)×3×eq \r(3)－eq \f(60π×22,360)＝eq \f(3,2)eq \r(3)－eq \f(2π,3).
【典例15】如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若，求圆的半径．
【答案】（1）的度数为；（2）圆O的半径为2．
【解析】
【分析】
（1）如图（见解析），设，先根据等腰三角形的性质得出，再根据圆的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得的度数，最后根据圆周角定理即可得；
（2）如图（见解析），设圆O的半径为，先根据圆周角定理得出，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
（1）如图，连接OA
设
，
AE是圆O的切线
，即
在中，由三角形的内角和定理得：
即
解得
则由圆周角定理得：
故的度数为；
（2）如图，连接AD
设圆O的半径为，则
BD是圆O的直径
由（1）可知，
则在中，
在中，由勾股定理得：，即
解得或（不符题意，舍去）
则圆O的半径为2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．
【典例16】已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM，BN于D，C两点．
(1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC；
(2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF.若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明：图1中，连接OC，OD.
∵AM和BN是⊙O的两条切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB.∴AM∥BN.
∴∠ADE＋∠BCE＝180°.
∵DC与⊙O相切于点E，
∴∠ODE＝ eq \f(1,2) ∠ADE，∠OCE＝ eq \f(1,2) ∠BCE.
∴∠ODE＋∠OCE＝90°.∴∠DOC＝90°.
∴∠AOD＋∠BOC＝90°.
∵∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠BOC.
∵∠DAO＝∠OBC＝90°，
∴△AOD∽△BCO.∴ eq \f(AD,BO) ＝ eq \f(OA,BC) .
∵OA＝OB＝ eq \f(1,2) AB，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB)) eq \s\up12(2) ＝AD·BC.
∴AB2＝4AD·BC；
(2)解：图2中，连接OD，OC.
∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC.
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，
∴∠OFC＝∠FOC.
∴CF＝OC.∴CD垂直平分OF.∴OD＝DF.
∴∠CDO＝∠CDF.
∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°，
∴∠ODA＝∠BOC＝60°.∴∠BOE＝120°.
在Rt△DAO中，AD＝ eq \f(\r(3),3) OA.
在Rt△BOC中，BC＝ eq \r(3) OB.
∴AD∶BC＝1∶3.
∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝ eq \r(3) .
∴图中阴影部分的面积为2S△BOC－S扇形BOE＝2× eq \f(1,2) × eq \r(3) ×3－ eq \f(120π×（\r(3)）2,360) ＝3 eq \r(3) －π.
【典例17】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.
(1)求证：∠BAD＝∠CBD；
(2)若∠AEB＝125°，求 eq \x\t(BD) 的长(结果保留π).
【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD.
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD；
(2)解：连接OD.
∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°.
∴∠CAE＝35°.∴∠BAD＝∠CAE＝35°.
∴∠BOD＝2∠BAD＝70°.
∴ eq \x\t(BD) 的长为 eq \f(70π×3,180) ＝ eq \f(7π,6) .