2022年中考数学专题复习类型四 与旋转有关的探究题（原卷版）

类型四 与旋转有关的探究题

【典例1】如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．

（1）当时，求证：；

（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；

（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．

【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.

(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；

(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．

【典例3】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．

(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；

(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．

【典例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．  

（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

【典例5】如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结

QE并延长交射线BC于点F.

（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　　°，猜想∠QFC=   °；

（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；

（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．

【典例6】将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．

（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为　　，连接BD，可求出的值为　　；

（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

【典例7】如图1，已知，，点D在上，连接并延长交于点F．

（1）猜想：线段与的数量关系为_____；

（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，，直接写出的长．