北师大版八年级下册2 提公因式法随堂练习题

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1．4x2y和6xy3的公因式是（ ）
A．2xyB．3xyC．2x2yD．3xy3
【答案】A
【解析】
提取各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积即可．和的公因式是，
故选：A．
【点睛】
本题考查公因式的定义，掌握确定公因式的方法是解题关键．
2．多项式中，各项的公因式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
分别对系数、字母a、字母b、字母c逐个分析即可得到答案．解：由题意可得：
系数的公因式为4，字母a的公因式为，字母b的公因式为b，, 字母c无公因式，
所以各项的公因式是．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求多项式的公因式，解题的关键是掌握求多项式公因式的方法．
3．如果多项式的一个因式是，那么另一个因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
该多项式是有公因式的，提取公因式即可得．解：原式=
故选A
【点睛】
本题考查了提取多项式公因式；关键在于能够找到公因式并正确的提取公因式．
4．多项式的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．解：多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c中，
系数的最大公约数是6，
相同字母的最低指数次幂是ab2，
因此公因式是6ab2，
故选择：C.
【点睛】
本题主要考查公因式的确定，解题的关键是准确掌握公因式的定义以及公因式的确定方法．
5．多项式的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据多项式的公因式定义，多项式各项都含有的公共的因式是公因式即可得出答案．解：，
多项式的公因式为．
故选择：B．
【点睛】
本题考查多项式的公因式问题，掌握多项式的公因式定义是解题关键．
6．计算所得的结果是（ ）．
A．B．C．D．-2
【答案】A
【解析】
直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．(−2)2020+(−2)2021=(−2)2020×(1−2) =−22020 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．
7．下列各组多项式中没有公因式的是（ ）．
A．3x－2与 6x2－4xB．与
C．mx—my与 ny—nxD．ab—ac与 ab—bc
【答案】D
【解析】
根据公因式的定义可直接进行排除选项．A、由，所以与有公因式，故不符合题意；
B、由可得公因式为，故不符合题意；
C、由可得公因式为，故不符合题意；
D、由可得没有公因式，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查提取公因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．解：A、12abc-9a2b2c2=3abc（4-3abc），故本选项错误；
B、3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本选项错误；
C、-a2+ab-ac=-a（a-b+c），正确；
D、x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项．
9．下列因式分解中，正确的是（ ）
①； ②； ③； ④
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】D
【解析】
根据因式分解的方法逐项分析即可．解：①，错误；
②，正确；
③，错误；
④，正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
10．下列用提公因式法因式分解正确的是（ ）
A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c）D．x2y+5xy-y=y（x2+5x）
【答案】C试题分析：根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，确定公因式，再提取公因式即可．
A．12abc-9a2b2=3ab（4c-3ab），故本选项错误；
B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本选项错误；
C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c），本选项正确；
D．x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本选项错误；
故选C.
考点：本题考查的是提公因式法因式分解
点评：解题的关键是准确掌握公因式的定义以及公因式的确定方法，同时注意一个多项式有公因式首先提取公因式，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
二、填空题
11．因式分解：______.
【答案】
【解析】
先确定公因式为a，然后利用提取公因式法进行因式分解即可．解：
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．因式分解：x2+3xy＝_____．
【答案】．
【解析】
直接提公因式，即可得到答案．解：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握提公因式法进行因式分解．
13．因式分解：________．
【答案】3x(x+2)
【解析】
利用提取公因式即可解答．解：原式=3x2+6x
=3x(x+2)．
故答案为：3x(x+2)．
【点睛】
此题考查了提公因式法进行因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．分解因式： ＝______
【答案】
【解析】
直接运用提公因式法分解即可．解：．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键．
15．单项式与的公因式是_________．
【答案】4m2n2
【解析】
找到系数的公共部分，再找到因式的公共部分即可．解：由于4和12的公因数是4，m2n2和m3n2的公共部分为m2n2，
所以4m2n2与12m3n2的公因式是4m2n2．
故答案为4m2n2．
【点睛】
本题主要考查公因式的确定，找到两式的公共部分是解题的关键．
16．多项式因式分解后有一个因式是，则_______．
【答案】
【解析】
由于x的多项式y2+2y+m分解因式后有一个因式是(y-1)，所以当y=1时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．解：∵多项式y2+2y+m因式分解后有一个因式为（y-1），
∵当y=1时多项式的值为0，
即1+2+m=0，
解得m=-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
17．将整式分解因式，则提取的公因式为____________．
【答案】
【解析】
根据确定公因式的方法即可解答．解：整式的公因式为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解—提公因式法，确定公因式的一般步骤为：（1）如果多项式的第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取；（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数；（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式．
18．的公因式是______．
【答案】
【解析】
由公因式的定义进行计算，即可得到答案．解：
∴公因式是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了公因式的定义，解题的关键是掌握公因式的定义进行解题．
19．把2（a﹣3）+a（3﹣a）提取公因式（a﹣3）后，另一个因式为____．
【答案】（2﹣a）
【解析】
直接提取公因式（a−3），进而得出答案．2（a−3）＋a（3−a）＝2（a−3）−a（a−3）＝（a−3）（2−a）．
故答案为：（2−a）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
20．若a, b, c 满足，则________
【答案】
【解析】
关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.因为
所以 ，即
因为
所以
因为
所以
因为
所以
即


因为
即


故答案为：
【点睛】
本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键.三、解答题
21．将下列各式因式分解：
（1）；
（2）（x﹣y）+6xy（y﹣x）+9（x﹣y）．
【答案】（1）x（x+2y）（x-2y）；（2）（x﹣y）．
【解析】
（1）先提取公因式x，后变形成为，用平方差公式分解即可；
（2）先将6xy（y﹣x）变形为－6xy（ｘ﹣ｙ），后提取公因式，再用完全平方公式分解即可．（1）
=
=
=x（x+2y）（x-2y）；
（2）（x﹣y）+6xy（y﹣x）+9（x﹣y）
=（x﹣y）－6xy（x﹣y）+9（x﹣y）
=（x﹣y）（－6xy+9）
=（x﹣y）．
【点睛】
本题考查了提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法分解因式，熟练掌握先提后套用公式分解因式是解题的关键．
22．（1）因式分解：；
（2）利用因式分解进行计算：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）提取公因式2a，后用十字相乘法分解即可；
（2）反复使用提取公因式法化简即可．（1）
=
=；
（2）
=
=
=
=．
【点睛】
本题考查了提取公因式法，十字相乘法分解因式，熟练掌握因式分解的基本方法，并灵活选择方法是解题的关键．
23．分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
【答案】2m（m﹣n）（5m﹣n）
【解析】
直接找出公因式，进而提取公因式得出答案．解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]
＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
24．已知、满足，，求下列各式的值
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）由，，可得：再利用：，从而可得答案；
（2）由，结合的值，利用平方根的含义可得答案．解：（1），

，




（2）由


【点睛】
本题考查的是利用因式分解，完全平方公式的变形，求解代数式的值，同时考查利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．
25．（1）分解因式；
（2）化解求值
，其中，；
【答案】（1）；（2），-6
【解析】
（1）利用提公因式法分解；
（2）根据整式的混合运算化简，再将x和y值代入计算．解：（1）
=
=；
（2）
=
=
将，代入，
原式==-6．
【点睛】
本题考查了因式分解和整式的混合运算，解题的关键是掌握提公因式法和整式的运算法则．
26．因式分解：．
【答案】
【解析】
先根据整式的混合运算法则进行化简，然后利用提公因式法即可求解．解：原式
【点睛】
此题主要考查提公因式法分解因式，解题的关键是先进行化简．
27．阅读下列材料：
已知a2+a-3=0，求a2 (a+4)的值．
解：∵ a2=3-a，
∴a2 (a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=- a2-a+12=-(3-a)-a+12=9，
∴a2 (a+4)=9．
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）若a2-a-10=0，则2(a+4) (a-5)的值为____________．
（2）若x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．
【答案】（1）﹣20；（2）﹣1
【解析】
（1）仿照材料中的解法过程，利用整体代入方法求解即可；
（2）根据因式分解和整式的混合运算化简，再整体代入求解即可．解：（1）∵a2﹣a﹣10=0，
∴a2﹣a=10，
∴2(a+4) (a-5)=2（a2﹣a﹣20）=2×（10﹣20）=﹣20，
故答案为：﹣20；
（2）∵x2+4x﹣1=0，
∴x2+4x=1，x2=1﹣4x，
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
=2x2(x2+4x﹣2)﹣8x+1
=2(1﹣4x)(1﹣2)﹣8x+1
=﹣2+8x﹣8x+1
=﹣1．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用、整式的混合运算、代数式的求值，运用类比和整体代入思想是解答的关键．
28．观察等式，回答问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
（2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，则需应用上述方法 次，结果是 ；
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n．
【答案】（1）提取公因式法，3；（2）2016，（1+x）2016；（3）（1+x）n+1．
【解析】
（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；
（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．解：（1）1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3，
上述分解因式的方法是提取公因式法，共应用了3次；
故答案为：提取公因式法，3；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，
=（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014]
=（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2013]
……
=（1+x）2016
则需应用上述方法2016次，结果是（1+x）2016；
故答案为：2016，（1+x）2016；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n
=(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]
=(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]
=(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]
……
=(1＋x)n(1＋x)
=(1＋x)n＋1．
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
29．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法
例如： ..
试用上述方法分解因式
（2）利用分解因式说明：能被12整除.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）a2+2ab+ac+bc+b2可以进行分组变成（a2+2ab+b2）+（ac+bc），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．
（2）先利用平方差公式将进行因式分解，之后即可得出答案.（1）原式=
=
=
（2）
=
=
=
∴ 能被12整除.
【点睛】
本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.