人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组一课一练

8.3实际问题与二元一次方程组同步练习人教版初中数学七年级下册

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 九章算术中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为

A. 160钱 B. 155钱 C. 150钱 D. 145钱

2. 我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则的值为

A.
B.
C. 1
D. 5

4. 九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示的是由一个小矩形与52个边长为1的小正方形组成的大矩形，小矩形的长与宽之比是7：5，若设小矩形的长为x，宽为y，则根据题意可列方程组

A.
B.
C.
D.
 

6. 我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？米尺如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为   

A.  B.  C.  D.

7. 如图，，的度数比的度数的2倍少，设与的度数别为，，根据题意，下列的方程组正确的是

A.
B.
C.
D.

8. 在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案

A. 12种 B. 15种 C. 16种 D. 14种

9. 把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法．

A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种

10. 我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是   

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 如下图3个天平左盘中“”“”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为____．
     

12. 笔记本5元本，钢笔7元支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔______支．
13. 我国古代数学名著九章算术上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒优质酒斗，价值50钱；行酒劣质酒斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组为______．
14. 我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100匹马恰好了拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为______．
15. 如图，三个一样大小的小长方形沿“横竖横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于____．
    
     

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

16. 用长32米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉2厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
    
    
    
    
    
    
     
17. 某自行车厂计划一年生产安装24000辆自行车．若1名熟练工和2名新工人每月一共可安装800辆自行车，2名熟练工和3名新工人每月一共可安装1400辆自行车．
    每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆自行车？
    如果工厂招聘名新工人，使得新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
    在的条件下，每名熟练工每月工资为8000元，每名新工人每月工资为5000元，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额最少？最少是多少？不需过程，直接写结果
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．
    根据以上信息，解答下列问题：
    辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
    请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？
    若A型车每辆需租金100元次，B型车每辆需租金120元次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
    
    
    
    
    
    
     
19. 某商场购进一批LED灯泡与普通白炽灯泡，其进价与标价如下表．该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡按标价打九折销售，销售完这批灯泡后可以获利3200元．
    求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？
    由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡120个，并在不打折的情况下销售完．若销售完这两批灯泡的获利不超过总进货价的，则最多再次购进LED灯泡多少个？

四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）

20. 亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
    计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
    若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
    
    
    
    
    
    
     
21. 体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．
    每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
    现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
    
    
    
    
    
    
     
22. 为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元，如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，
依题意，得：，
解得：．
故选：C．
设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：根据题意可得：，
故选：C．
根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

3.【答案】B
 

【解析】略
 

4.【答案】C
 

【解析】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意，
可列方程组：，
故选：C．
设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：人数物品价值，物品价值人数，据此可列方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：设小矩形的长为x，宽为y，可得：
，
故选A
设小矩形的长为x，宽为y，根据题意列方程组解答即可．
本题主要考查根据实际问题列方程组的能力，将未知量根据相等关系转化为方程是解题的关键．
 

6.【答案】A
 

【解析】略
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查二元一次方程组的运用，注意此题的等量关系：第一个等量关系从垂直定义可得，第二个是的度数的度数倍因为，所以，则；的度数比的度数的2倍少，则；由此联立得出方程组即可．
【解答】

解：设与的度数分别为x，y，根据题意得
．
故选B．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，
当C种奖品个数为1个时，
根据题意得，
整理得，
、n都是正整数，，
，2，3，4，5，6，7，8；
当C种奖品个数为2个时，
根据题意得，
整理得，
、n都是正整数，，
，2，3，4，5，6；
有种购买方案．
故选：D．
有两个等量关系：购买A种奖品钱数购买B种奖品钱数购买C种奖品钱数；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．
本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，得出x，y的值是解本题的关键，注意x，y只能取正整数．截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长20米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管x根，3米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果． 
【解答】
解：截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长20米时，不造成浪费，
设截成2米长的钢管x根，3米长的y根，
由题意得，，
 因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：
，
则有三种不同的截法．
故选C．  

10.【答案】C
 

【解析】略
 

11.【答案】10
 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；设出未知数，根据题意列出方程组是解题的关键．设“”的质量为x，“”的质量为y，由题意列出方程：，解得：，得出第三个天平右盘中砝码的质量．
【解答】

解：设“”的质量为x，“”的质量为y，
由题意得：
解得：
第三个天平右盘中砝码的质量；
故答案为：10．

12.【答案】10
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系．
首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费购买笔记本的花费元，即可求解．
【解答】
解：设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，由题意得：
，
与y为整数，
如果，那么，不是正整数，舍去
如果，那么，不是正整数，舍去
如果，那么，不是正整数，舍去
如果，那么不是正整数，舍去
如果，那么，
如果，那么，不是正整数，舍去
如果，那么，不是正整数，舍去
如果，那么，不是正整数，舍去
如果，那么不是正整数，舍去
如果，那么，
如果，那么不是正整数，舍去
如果，那么，不是正整数，舍去
如果，那么，不是正整数，舍去
的最大值为10，
故答案为10．  

13.【答案】
 

【解析】解：依题意，得：．
故答案为：．
根据“现用30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故答案为：．
设大马有x匹，小马有y匹，由题意得等量关系：共有马100匹；大马拉瓦数小马拉瓦数，根据等量关系，列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
 

15.【答案】8
 

【解析】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：
解得：，
．
故答案为8．
设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长及宽，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

16.【答案】解：设矩形的长边为x，短边为y，
由题意得，，
解得：，
则可得矩形的面积为：平方厘米；正方形的面积为：平方厘米；
所以正方形的面积比矩形面积大4平方厘米．
 

【解析】设矩形的长边为x，短边为y，则可得，再由矩形的周长为32，可得出，联立方程组求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到隐含的等量关系，有一定难度．
 

17.【答案】解：设每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装x辆，y辆自行车，
则，
解得，
答：每名熟练工每月可以安装400辆自行车，每名新工人每月可以安装200辆自行车；

设抽调的熟练工有b人，
则，即，，
因为，且a，b均为自然数，
则有，，三种方案．

方案一支出：，
方案二支出：，

招聘4名新工人、抽调3名熟练工，工厂每月支出的工资总额最少，最少是44000元．
 

【解析】设每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装x辆，y辆自行车，根据“1名熟练工和2名新工人每月一共可安装800辆自行车，2名熟练工和3名新工人每月一共可安装1400辆自行车”列方程组求解可得；
设抽调的熟练工有b人，根据“刚好能完成一年的安装任务”得，即，依据且a，b均为自然数可得答案；
分别计算出中三种方案的费用，比较大小即可得．
本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值．
 

18.【答案】解：设1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货x吨，y吨，
根据题意得：，
解得：，
则1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货3吨，4吨；

某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，
，
则有，
解得：，
为整数，
，1，2，，10，
为整数，
，5，9，
，；，；，，
满足条件的租车方案一共有3种，，；，；，；

型车每辆需租金100元次，B型车每辆需租金120元次，
当，，租车费用为：元；当，，租车费用为：元；
当，，租车费用为：元，
当租用A型车1辆，B型车7辆时，租车费最少为940元．
 

【解析】此题考查了二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键．
设1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货x吨，y吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出所求；
根据某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，列出方程，确定出a的范围，根据a、b为整数，确定出a的值即可确定出具体租车方案．
 

19.【答案】解：设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡y个．
根据题意，得：，
解得，
答：该商场购进LED灯泡200个，普通白炽灯泡100个．

设再次购进LED灯泡m个．

解得：，
取正整数，
的最大值为59
则最多再次购进LED灯泡59个．
 

【解析】设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，利用该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可；
设该商场购进LED灯泡m个，则购进普通白炽灯泡个，根据“销售完这两批灯泡的获利不超过总进货价的”列不等式求解可得．
本题主要考查一元一次不等式和二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系和不等关系，并据此列出方程和不等式．
 

20.【答案】解：设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，
依题意，得：，
解得：．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，
依题意，得：，
．
又，n均为正整数，
．
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
 

【解析】设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，根据志愿者人数调配36座客车的数量及志愿者人数调配22座客车的数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，根据志愿者人数调配36座客车的数量调配22座客车的数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

21.【答案】解：设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克，根据题意可得：
，
解得：，
答：每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克；

现有A型球、B型球的质量共17千克，
设A型球1个，设B型球a个，则，
解得：不合题意舍去，
设A型球2个，设B型球b个，则，
解得：不合题意舍去，
设A型球3个，设B型球c个，则，
解得：，
设A型球4个，设B型球d个，则，
解得：不合题意舍去，
设A型球5个，设B型球e个，则，
解得：不合题意舍去，
综上所述：A型球、B型球各有3只、2只．
 

【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键．
直接利用1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克得出方程求出答案；
利用分类讨论得出方程的解即可．
 

22.【答案】解：设每盒羊角春牌绿茶需要x元，每盒九孔牌藕粉需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每盒羊角春牌绿茶需要120元，每盒九孔牌藕粉需要60元．
 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设每盒羊角春牌绿茶需要x元，每盒九孔牌藕粉需要y元，根据“如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元，如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．