初中数学苏科版七年级上册第2章 有理数综合与测试知识点教案及反思

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课程类型：新授课年级：新初一学科：数学课程主题第2单元   第7节：数轴上的动点【知识梳理】1.数轴上两点之间的距离如何表示？可用绝对值来表示，即两点所表示的数差的绝对值．如，数轴上点A，B所表示的数是a,b，则AB=|a-b|或|b-a|．2.数轴上一个动点如何字母来表示？用有理数的加法或减法即可解决，就是起点所表示的数加上或减去动点运动的距离，向正方向用加，负方向用减．如，数轴上点A对应的数为-1，点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间是t，则点P所表示的数是-1+2t．3.怎样求数轴上任意两点间的线段的中点？两点所表示的数相加的和除以2，如数轴上的点所表示的数是a,b，则线段AB的中点所表示的数是(a+b)/2.【题型精讲】类型1 数轴上的规律探究问题1、（2020七上·东台期中）如图，数轴上点M、N表示的数是m、n，点M在表示-3，-2的两点（包括这两点）之间移动，点N在表示-1，0的两点（包括这两点之间）移动，则以下对四个代数式的值判断正确的是（   ）  A. 的值一定小于3    B. 的值一定小于-7
C. 值可能比2018大    D. 的值可能比2018大【答案】 D   2、（2020七上·江都期末）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上由左至右第1个数是1，第2个数是13，第3个数是41，…，依此规律，第5个数是________.  【答案】 145   3、（2019七上·大丰月考）如图，圆的周长为4个单位长度.在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上.则数轴上表示数﹣2018的点与圆周上表示数字________的点重合.  【答案】 3   4、（2020七上·江都月考）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q  ， 如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2018的点与圆周上重合的点对应的字母是________．  【答案】 p   类型2 数轴上的距离问题1、（2020七上·东台月考）如图：在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，点 表示数 是最大的负整数，且 满足 .  （1）a=________，b=________，c=________.    （2）若将数轴折叠，使得点 与点 重合，则点 与数________表示的点重合；    （3）点 开始在数轴上运动，若点 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设 秒钟过后，若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，则 ________， ________.（用含 的代数式表示）    （4） 的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值。    【答案】 （1）-3；-1；5
（2）3
（3）3t+2；t+6
（4）解：∵ ， ，   ∴   .∴ 的值为定值16.2、（2021七上·兴化期末）两个完全相同的长方形 、 ，如图所示放置在数轴上． （1）长方形 的面积是________．    （2）若点 在线段 上，且 ，求点 在数轴上表示的数．    （3）若长方形 、 分别以每秒1个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动．设两个长方形重叠部分的面积为 ，移动时间为 ． ①整个运动过程中， 的最大值是            ， 持续时间是             ． ②当 是长方形 面积一半时，求 的值．【答案】 （1）48
（2）解：设点 在数轴上表示的数是 ， 则 ， ，∵ ，∴ ，解得 ，答：点 在数轴上表示的数是-2；
（3）解：①36；1
②由题意知移动 秒后， 点 、 、 、 在数轴上分别表示的数是 、 、 、 ，
情况一：当点 在 、 之间时， ，
由题意知 ，
所以 ，
解得 ；
情况二：当点 在 、 之间时， ，
由题意知 ，
所以 ，
解得 ，
综上所述，当 是长方形 面积一半时， 或8．   3、（2020七上·泰兴期中）我们知道：在数轴上，点M表示实数为x，点N表示实数为y，当 时，点M、N之间的距离记作：MN = ；当 时，点M、N之间的距离记作：MN =  ，例如： ， 则MN =  .  如图，点 是数轴上从左向右依次排列的三点，且 ， ，点B表示的数是-3.（1）点A表示的数是________，点C表示的数是________；    （2）动点M，N分别从A，C同时出发，点M沿数轴向右运动，速度为1个单位长度∕秒，点N沿数轴向左运动，速度为2个单位长度∕秒，运动t秒后：  ①点M表示的数 ▲   ， 点N表示的数 ▲ ；(用含t的代数式表示)②求当t为何值时，点M、C之间的距离等于4；③若MB=NB，请直接写出t的值.【答案】 （1）-9；6
（2）解：由题意得：点M运动路程为t，点N运动路程为2t，则有：  ① ， ②由①及题意可得： ，解得： 或 ∴当 或 时，点M、C之间的距离等于4；③t=5或t=3，理由如下：由题意得： ， ，∵MB=NB，∴ ，解得：t=5或t=3.4、（2020七上·兴化月考）如图①，在数轴上有一条线段AB，点A，B表示的数分别是﹣2和-11.  （1）线段AB＝________.    （2）若M是线段AB的中点，则点M在数轴上对应的数为________.    （3）若点P到点A，B的距离之和为13，求点P数轴上对应的数是多少？    （4）若C为线段AB上一点，如图②，以点C为折点，将此数轴向右对折；如图③，点B落在点A的右边点B′处，若AB′＝ B′C，求点C在数轴上对应的数是多少？    【答案】 （1）9
（2）－6.5
（3）解：当P点在B点左侧时，  ，解得 ，此时P点表示的数是-13，当P点在AB中间时，  ，不符合题意舍去，当P点在A点右侧时， ，解得 ，此时P点表示的数是0，综上所述，P点表示的数是0或-13.
（4）解：设 AB′=x，因为AB′= B′C，则B′C=5x.   所以由题意BC=B′C=5x，所以AC=B′C-AB′=4x，所以AB=AC+BC=AC+B′C=9x，即9x=9，所以x=1，所以由题意AC=4，又因为点A表示的数为-2，-2-4=-6，所以点C在数轴上对应的数为-6.类型3 数轴上行程问题1、（2019七上·新吴期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动.设运动的时间为t秒.问：  （1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离；    （2）P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？    （3）是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等时？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由.    【答案】 （1）解：设动点P在运动过程中距O点的距离为S，当P从A运动到O时,所需时间为： （秒）， 当0≤t≤5时，S＝10﹣2t， 当P从O运动到B时,所需时间为： （秒） ∴P从A运动到B时,所需时间为：15秒 当5＜t≤15时，S＝t﹣5，即动点P在运动过程中距O点的距离S＝ ；
（2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇，则点P运动的距离为10+（a-5），点Q运动的距离为a, 10+（a-5）+a=28 解得，a＝ ， 则点M所对应的数是：18﹣ ＝ ， 即点M所对应的数是 ；
（3）解：存在，t＝2或t＝ ， 理由：当0≤t≤5时，10﹣2t＝（18﹣10﹣t）×1，解得，t＝2当5＜t≤8时，（t﹣10÷2）×1＝（18﹣10﹣t）×1，解得，t＝ ，当8＜t≤15时，（t﹣10÷2）×1＝[t﹣（18﹣10）÷1]×1 该方程无解， 故存在，t＝2或t＝ . 2、（2018七上·江阴期中）如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3.   （1）数轴上点A表示的数为________．    （2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分(如图2中阴影部分)的面积记为S.  ①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数是多少？②设点A的移动距离AA′＝x.（ⅰ)当S＝4时，求x的值；（ⅱ)D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE＝ OO′，当点D，E所表示的数互为相反数时，求x的值．【答案】 （1）4
（2）解：①因为S恰好等于原长方形OABC面积的一半，所以S＝6，所以O′A＝6÷3＝2，当长方形OABC向左运动时，如图3，A′表示的数为2；当长方形OABC向右运动时，如图4，因为O′A′＝AO＝4，所以OA′＝4＋4－2＝6，所以A′表示的数为6.故数轴上点A′表示的数是6或2.  ②（i)如图3，由题意得CO·OA′＝4，因为CO＝3，所以OA′＝ ，所以x＝4－ ＝    （ii)如图3，当原长方形OABC向左移动时，点D表示的数为4－ x，点E表示的数为－ x，由题意可得方程：4－ x－ x＝0，解得x＝ ，如图4，当原长方形OABC向右移动时，点D，E表示的数都是正数，不符合题意，故舍去．所以综上所述x＝ .   3、（2021七上·江都期末）如图，已知 、 是数轴上的两个点，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 秒. （1） ________，点 表示的数________（分别用含 的代数式表示）；    （2）点 运动多少秒时， ？    （3）若 为 的中点， 为 的中点，点 在运动的过程中，线段 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 的长.    【答案】 （1）5t；-5+5t
（2）解：∵BP ， 由题意： ，即 或 ，解得t=3或6；
（3）解：线段MN的长度不变， 理由：①当点P在线段AB上时， ，②当点P在线段BA的延长线上时， ，故MN的长度不变.4、（2020七上·盐都月考）数轴上有 、 、 三点，分别表示有理数 、 、 ，动点 、Q开始时都在A处，P以每秒 个单位的速度向右移动，当 点运动到 点时运动停止.设点 移动时间为 秒.
（1）用含 的代数式表示 点对应的数：________.    （2）当 点运动到 点时，点 从 点出发，以每秒 个单位的速度向 点运动， 点到达 点后，再立即以同样的速度返回 点. ①动点 、 到达同一位置（即相遇）时，求t的值. ②当 =  ▲ 时， .    【答案】 （1）-26
（2）解：①当点Q到达C点之前 、 相遇时，有-26+t=2t-58， 解得：t=32；当点Q到达C之后 、 相遇时，有-26+t=20-2（t-39），解得：t= .故答案为32或 ；
②t=3或29或35或 或 秒   类型4 数轴上新定义问题1、（2020七上·赣榆期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点且点C在A、B之间，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，点A表示的数为-2，点B表示的数为2.表示1的点C到A的距离是3，到B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示-1的点D到A的距离是1，到B的距离是3，那么点D就不是（A，B）的好点，但是点D是（B，A）的好点. 知识运用：（1）若M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-6，点N所表示的数为2.数________所表示的点是（M，N）的好点；数________所表示的点是（N，M）的好点；    （2）若点A表示的数a，点B表示的数b，点B在点A的右边，且点B在A、C之间，点B是（C，A）的好点，求点C所表示的数（用含a、b的代数式表示）；    （3）若A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-11，点B所表示的数为9，现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒.如果P、A、B中恰有一个点为其余两点的好点，求t的值.    【答案】 （1）0；-4
（2）解：设点C表示的数是m， ∵点B是（C，A）的好点，∴ ，∴ ，即 ，∴点C表示的数是 ；
（3）解：①点P在AB之间时， ， ， ， 点P是（A，B）的好点，则 ， ，解得 ，点P是（B，A）的好点，则 ， ，解得 ，②点P在点B右边时， ， ， ，点B是（A，P）的好点，则 ， ，解得 ，点B是（P，A）的好点，则 ， ，解得 ，综上：t的值是 或 或 或 .2、（2020七上·江阴月考）阅读理解：  若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点.知识运用：（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4.  在点M和点N中间，数________所表示的点是（M，N）的好点；（2）在数轴上，数________和数________所表示的点都是（N，M）的好点；    （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止.当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？  【答案】 （1）2
（2）0；－8
（3）解：设点P表示的数为y，分四种情况： ①P为【A，B】的好点.由题意，得 ，解得y＝20，t＝ ÷2＝10（秒）；②A为【B，P】的好点.由题意，得 ＝2[y－（－20）]，解得y＝10，t＝ ÷2＝15（秒）；③P为【B，A】的好点.由题意，得40－y＝2[y－（－20）]，解得y＝0，t＝ ÷2＝20（秒）；④A为【P，B】的好点由题意得 ＝2[40－（－20）]解得y＝100（舍）.⑤B为【A，P】的好点；30＝2t，t＝15.综上可知，当t为10秒、15秒或20秒，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点.【课堂演练】1．（2020·长春市第四十七中学初一月考）如图，在数轴上，点A表示的数是-1，点B表示的数是2.5，解答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是       ．（2）观察数轴，与点A的距离为10的点表示的数为              ．（3）若将数轴折叠，使点A恰好与表示3的点重合，则点B与表示     的点重合．（4）若数轴上P、Q两点之间的距离为2016，点P在点Q的左侧，且P、Q两点按（3）中的方式折叠后互相重合，则P、Q两点表示的数分别是        、         ．【答案】解：（1）A、B之间的距离是|2.5-（-1）|=3.5；（2）与点A的距离为10的点表示的数是：-1-10=-11或-1+10=9；（3）则A点与3重合，则中点是1，则数B关于1的对称点是：-0.5，即点B与表示-0.5的点重合；（4）由中点对应点为1，且P、Q两点之间的距离为2016（P在Q的左侧）可知，P点表示数1-2016÷2=-1007，Q点表示数1+2016÷2=1009．故答案为：3.5；-11或9；-0.5；-1007，1009．2．（2020·苏州市工业园区第一中学初一月考）如图，在数轴上点A表示的数是-3,点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍.（1）点B表示的数是____________；点C表示的数是_________；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB=4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.                      【答案】（1）由题意可得：AB＝18, A0＝3(0为原点),∴B0＝AB－A0＝15,∵BC＝2AC,∴B0-0C＝2(A0＋0C),∴0C=3.故答案为15,  3（2）由题意可得：存在2种情况点P与点Q之间的距离为6，①点P与点Q相遇前，18－6＝(4＋2)t ，则t＝2秒；②点P与点Q相遇后，18＋6＝(4＋2)t ，则t＝4秒.故答案为t＝2或4.（3）由题意可得：AC＝6,PC＝│6－4t│,QB＝2t,若PC＋QB＝4,则│6－4t│＋2t＝4，解得t＝1或故答案为点表示的数是1或【课后巩固】1、（2016七上·丹徒期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：（1）已知点A，B，C表示的数分别为1，﹣ ，﹣3观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是________，B，C两点之间的距离为________；    （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是________；若此数轴上M，N两点之间的距离为2015（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则M，N两点表示的数分别是：M________，N________；    （3）若数轴上P，Q两点间的距离为m（P在Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，P，Q两点表示的数分别为：P________，Q________（用含m，n的式子表示这两个数）．    【答案】 （1）4或﹣2；
（2）；﹣1008.5；1006.5
（3）n﹣ ；n+    2、（2016七上·江阴期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，  AB是圆片的直径．（注：结果保留π ） （1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是________数（填“无理”或“有理”），这个数是________；    （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3  ①第________次滚动后，A点距离原点最远；②当圆片结束运动时，此时点A所表示的数是________．【答案】 （1）无理；π
（2）3；﹣6π   3、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．  （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为________ cm．    （2）由题（1）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：  问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？【答案】 （1）5
（2）解：借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，  类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为﹣40，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为125，∴可知爷爷比小红大[125﹣（﹣40）]÷3=55，可知爷爷的年龄为125﹣55=70．答：爷爷的年龄是70岁4、（2020七上·京口月考）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示 ，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒.问：  （1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？    （2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；    （3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等.    【答案】 （1）解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC， AO段时间为 ，OB段时间为 ，BC段时间为 ，∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19（秒）；
（2）解：点Q经过8秒后从点C运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，此时P在OB段走过3个单位， 依题意得：3+y+2y=10，解得：y= ，∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+ （秒），此时相遇点M对应的数是为 ；
（3）解：  当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得： 10-2t=8-t，解得：t=2，当点P、Q两点都在OB上运动时，t-5=2（t-8）解得：t=11，当P在OB上，Q在BC上运动时，8-t=t-5，解得：t= ；当P在BC上，Q在OA上运动时，t-8-5+10=2（t-5-10）+10，解得：t=17；即PO=QB时，运动的时间为2秒或 秒或11秒或17秒.5、（2020七上·泰兴期中）对于数轴上的点A，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动a个单位长度（a是正数）后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动2a个单位长度（a是正数）后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的a关联数”，记作G（A，a）＝{x，y}，其中x y.  例如：原点O表示0，原点O的1关联数是G（0，1）＝{－1，+2}（1）若点A表示－3，a＝3，直接写出点A的3关联数.    （2）①若点A表示－1，G（A，a）＝{－5，y}，求y的值.  ②若G（A，a）＝{－2，7}，求a的值和点A表示的数.（3）已知G（A，3）＝{x，y}，G（B，2）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时同向出发，且点A的速度是点B速度的3倍.当|y－m|＝6时，直接写出点A表示的数.    【答案】 （1）解：∵点A表示－3，a＝3，  ，∴点A的3关联数G（-3，3）＝{－6，+3}；
（2）解：①点A表示－1，G（A，a）＝{－5，y}，   解得 ， ；②∵G（A，a）＝{－2，7}，  解得 ；
（3）解：∵G（A，3）＝{x，y}，G（B，2）＝{m，n}，  ， .∵点A的速度是点B速度的3倍， ， . ， ，即 ，解得 或 .6、（2020七上·江都期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，点A表示的数a，点B表示的数是b，且 .  （1）a=________，b=________；    （2）在数轴上是否存在一点P，使 ，若有，请求出点P表示的数，若没有，请说明理由？    （3）点M从点A出发，沿 的路径运动，在路径 的速度是每秒2个单位，在路径 上的速度是每秒4个单位，同时点N从点B出发以每秒3个单位长向终点A运动，当点M第一次回到点A时整个运动停止.几秒后MN=1？    【答案】 （1）-8；4
（2）解：根据题意，若要满足 ，则点P在线段AB中点右侧，线段AB的中点表示的数为-2，设点P表示的数为x，分三种情况讨论：   ①当-2≤x<0时，则x+8-（4-x）=2（-x），解得：x=-1；②当0≤x<4时，则x+8-（4-x）=2x，方程无解③当x≥4时，则x+8-（x-4）=2x，解得：x=6.综上：存在点P，表示的数为-1或6
（3）解：设运动时间为t，根据运动情况，可知MN=1的情况有三种：  ①M在A→O上，且M在N左侧，则2t+3t+1=12，解得t= .②M在A→O上，且M在N右侧，则2t+3t-1=12，解得t= .③M在O→A上，且N到达点A，此时，M在A→O上所用时间为8÷2=4（s），M在O→A上速度为4个单位每秒，∵MN=1，∴（8-1）÷4= ，∴此时时间t=4+ = ，综上：当MN=1时，时间为 秒， 秒或 秒