专题24 统计 —— 2022年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件

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2021年中考数学一轮专题复习24 统计
1. 调查方式：（1）普查：为了某一特定目的，而对考察对象进行全面的调查，叫普查．（2）抽样调查：抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况．
2. 统计学中的几个基本概念： （1）总体：所有考察对象的全体叫做总体．（2）个体：总体中每一个考察对象叫做个体．（3）样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．（4）样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量．（5）样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数．（6）总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数．
3. 平均数的概念：（1）平均数：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ，叫做这n个数的平均数， 读作“x拔”．（2）加权平均数：如果n个数中，x1出现 f1次，x2出现 f2次，…，xk出现 fk次（这里 f1+ f2+…+fk=n），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为 ，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权．
4. 平均数的计算方法：（1）定义法：当所给数据x1，x2，…，xn比较分散时，一般选用定义公式： ．（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式： ，其中f1+ f2+…+fk=n ．
4. 平均数的计算方法：（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式： ．其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x′1=x1-a，x′2=x2-a ，…，x′n=xn-a ． 是新数据的平均数（通常把x1，x2，…，xn叫做原数据，x′1，x′2，…，x′n叫做新数据）．
5. 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．6. 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．7. 中位数、众数、平均数都是描述一组数据的 集中程度 的特征数．
【例1】（2020•河南3/23）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）A．中央电视台《开学第一课》的收视率 B．某城市居民6月份人均网上购物的次数 C．即将发射的气象卫星的零部件质量 D．某品牌新能源汽车的最大续航里程
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．故选：C．
【例2】（2020•上海13/25）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　 ．
【解答】解： （名）．答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．
【例3】（2020•新疆兵团19/23）为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的10%进行测试，将这些学生的测试成绩（x）分为四个等级：优秀85≤x≤100；良好75≤x＜85；及格60≤x＜75；不及格0≤x＜60，并绘制成如图两幅统计图．
根据以上信息，解答下列问题：（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是 ；（2）计算所抽取学生测试成绩的平均分；（3）若不及格学生的人数为2人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数．
【解答】解：（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比=1-20%-25%-50%=5%，故答案为5%．（2）所抽取学生测试成绩的平均分= （分）．（3）由题意总人数=2÷5%=40（人），40×50%=20，20÷10%=200（人）答：该校九年级学生中优秀等级的人数约为200人．
【例4】（2020•海南5/22）在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：5，3，6，8，6．这组数据的众数、中位数分别为（ ） A．8，8 B．6，8 C．8，6 D．6，6
【解答】解：这组数据中出现次数最多的是数据6，所以这组数据的众数为6，将数据重新排列为3，5，6，6，8，则这组数据的中位数为6，故选：D．
1. 极差：一组数据中 最大值与最小值 的差．2. 方差的概念：在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“s2”表示，即 ．
3. 方差的计算：（1）基本公式： ．（2）简化计算公式（Ⅰ）： ．也可写成 ．此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
（3）简化计算公式（Ⅱ）： ．当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x′1=x1-a，x′2=x2-a ，…，x′n=xn-a ，那么， ．此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方．（4）新数据法：原数据x1，x2，…，xn的方差与新数据x′1=x1-a，x′2=x2-a ，…，x′n=xn-a的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x′1，x′2，…，x′n的方差就等于原数据的方差．
4. 标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即5. 方差是衡量一组数据 波动大小 的量，方差越大，数据的 波动 越大，方差越小，数据的 波动 越小．
【例5】（2020•山西13/23）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是 ．
【解答】解：甲的平均成绩为： 秒，乙的平均成绩为： 秒；分别计算甲、乙两人的百米赛跑成绩的方差为： ， ， ，∴甲运动员的成绩更为稳定．故答案为：甲．
【例6】（2020•安徽6/23）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
【解答】解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D符合题意； ，即平均数是12，于是选项B不符合题意； ，因此方差为 ，于是选项C不符合题意；故选：D．
1. 统计图：是表示统计数据的图形，是数据及其之间关系的直观表现．常见的统计图有：（1）条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形． 条形图能够显示每组中的具体 数据 ．（2）折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形． 折线图能够显示数据的 变化 趋势．
（3）扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比大小，这样的统计图叫扇形统计图． 扇形图能够显示部分在 总体 中的百分比．（4）频数分布直方图、频数折线图：能显示各组频数分布的情况，显示各组之间频数的差别．
2．频数分布直方图：（1）把每个对象出现的次数叫做频数．（2）每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比)叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．频率＝ ．（3）频数分布表、频数分布直方图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
（4）频数分布直方图的绘制步骤是： ①计算最大值与最小值的差（即：极差）； ②决定组距与组数，一般将组数分为5～12组； ③确定分点，常使分点比数据多一位小数，且把第一组的起点稍微减小一点； ④列频数分布表； ⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
3. 频率分布的意义：在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布．
4. 研究频率分布的一般步骤及有关概念：（1）研究样本的频率分布的一般步骤是： ①计算极差（最大值与最小值的差）； ②决定组距与组数； ③决定分点； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图．
（2）频率分布的有关概念： ①极差：最大值与最小值的差． ②频数：落在各个小组内的数据的个数． ③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率．
【例7】（2020•通辽23/26）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．
【解答】解：（1）40÷40%=100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%=10（名），爱好阅读的学生有：100-40-20-10=30（名），补全的条形统计图如右图所示：（3）800÷40%=2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．
【例8】（2020•赤峰17/26）某校为了解七年级学生的身体素质情况，从七年级各班随机抽取了数量相同的男生和女生，组成一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试．下表是通过整理样本数据，得到的关于每个个体测试成绩的部分统计表：如果该校七年级共有300名学生，根据以上数据，估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为 人．
【解答】解：根据频数分布表可知：9÷15%＝60，∴a＝60×30%＝18，b＝1﹣30%﹣15%﹣5%＝50%，∴300×（30%+50%）＝240（人）．答：估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为240人．故答案为：240．
巩固训练及详细解析见学案．