专题18 三角形 —— 2022年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件

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2021年中考数学一轮专题复习18 三角形
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次相接 所组成的图形，叫做三角形．2.三角形中的主要线段：（1）三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边 中点 所得到的线段，叫做三角形这边上的中线．（2）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，连接这个顶点和 垂足 的线段，叫做三角形这边上的高线（简称三角形的高）．（3）三角形的角平分线：连接三角形的一个顶点和这个 角的平分线 与对边交点的线段，叫做三角形的角平分线．（4）三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
3.三角形的边之间关系：（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形．②当已知两边时，可确定第三边的范围．③证明线段不等关系．【温馨提示】三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．
4.三角形的角之间关系：（1）三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余．②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和．③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．（2）三角形的外角和等于 360° ；5.三角形的边与角之间的关系：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．
6.三角形的分类：按边分：按角分：
【例1】（2020•北京15/28）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．【解答】解：∵S△ABC＝ ×2×4＝4，S△ABD＝2×5﹣ ×5×1﹣ ×1×3﹣ ×2×2＝4，∴S△ABC＝S△ABD，故答案为：＝．
【例2】（2020•广东6/25）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（ ） A．8 B． C．16 D．4
【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，∴ ， ， ，故△DEF的周长 ．故选：A．
【例3】（2020•宁夏4/26）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F=30°，∠C=45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（ ）A．135° B．120° C．115° D．105°
解：过点G作HG∥BC，∵EF∥BC，∴GH∥BC∥EF，∴∠HGB =∠B，∠HGE=∠E，∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F=30°，∠C=45°，∴∠E=60°，∠B =45°∴∠HGB =∠B =45°，∠HGE=∠E=60°∴∠EGB =∠HGE +∠HGB =60°+45°=105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．
【例4】（2020•包头5/26）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（　　）A．50° B．55° C．70° D．75°
【解答】解：∵∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝55°，∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝55°，故选：B．
1.全等三角形：能够完全 重合 的两个三角形叫全等三角形．2.三角形全等的判定：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）．（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）．（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） ．3.全等三角形的性质：全等三角形的 对应边 相等， 对应角 相等．
【例5】（2020•吉林18/26）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE∥AC，并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．
【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB=∠A．在△DEB与△ABC中，∴△DEB≌△ABC（SAS）．
【例6】（2020•江西11/23）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC =49°，则∠BAE的度数为 ．
【解答】解：∵AC平分∠DCB，∴∠BCA =∠DCA，又∵CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC （SAS），∴∠B =∠D，∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD，∵∠CAE =∠D +∠ACD =49°，∴∠B+∠ACB=49°，∴∠BAE=180°-∠B -∠ACB -∠CAE=82°，故答案为：82°．
1.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 ． ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= ．
2.等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3.等边三角形：（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
【例7】（2020•青海14/28）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ） A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【解答】解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角=(180°-70°)÷2= 55°；（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°．故选：D．
【例8】（2020•广东20/25）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵∠ABE=∠ACD，∴∠DBF=∠ECF，在△BDF和△CEF中， ，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BF=CF，DF=EF，∴BF+EF=CF+DF，即BE=CD，
在△ABE和△ACD中， ，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
1. 直角三角形定义:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形．2. 直角三角形的性质:（1）直角三角形两锐角互余．（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
3. 直角三角形的判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4. 勾股定理及逆定理：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
【例9】（2020•陕西6/25）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ） A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：由勾股定理得： ， ， ， ， ，故选：D．
【例10】（2020•河北16/26）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是 ，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是 ，当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形，当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是 ，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．
巩固训练及详细解析见学案．