专题22 锐角三角函数 —— 2022年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件

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2021年中考数学一轮专题复习22 锐角三角函数
1. 锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦：余弦：余切：
2. 几个重要公式：设α是一个锐角，则sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)，sin2α＋cos2α＝1．3. 特殊角的三角函数值：
4. 锐角三角函数值的变化规律：①当0°＜α＜90°时，sinα（tanα）随着角度的增大（减小）而 增大（减小） ．②当0°＜α＜90°时，cosα随着角度的增大（减小）而 减小（增大） ．
【例1】（2020•包头20/26）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为 ．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，
∵AE⊥BD，∴∠ADB＝∠BAE＝30°，∴AE＝CF＝ ，BE＝FD＝1，∵∠BAE＝∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝4，∴EF＝4﹣2×1＝2，∴tan∠DEC＝ ＝ ，故答案为： ．
【例2】（2020•天津2/25）2sin45°的值等于（ ） A．1 B． C． D．2
【解答】解： ．故选：B．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
【例3】（2020•北京17/28）计算： ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝ ＝ ＝5．
1. 解直角三角形：在直角三角形中，由 已知元素 求 未知元素 的过程，叫做解直角三角形．2. 解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则：（1）三边关系：a2＋b2＝c2．（2）两锐角关系：∠A＋∠B＝90°．（3）边与角关系： ， ， ．（4）sin2A＋cos2A＝1．
3. 解直角三角形的应用常用知识：（1）仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．（2）坡度和坡角坡度（坡比）：坡面的 铅直高度h 与 水平宽度l 的比 ，叫做坡度或坡比，一般用i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα．坡度越大，α角越大，坡面 越陡 ．
（3）方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
【例4】（2020•安徽8/23）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4， ，则BD的长度为（ ） A． B． C． D．4
【解答】解：∵∠C=90°，AC=4， ，∴ ，∴ ，∵∠DBC=∠A．∴ ，∴ ，故选：C．
【例5】（2020•吉林20/26）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35 m的C处，用高1.5 m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1 m）．（参考数据：sin36°=0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73）
【解答】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BE=CD=1.5 cm，DF=BC=35 cm，在Rt△ADF中，∠AFD=90°， ，∴AF=DF×tan36°≈35×0.73=25.55（m），∴AB=AF+BF=25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27 m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
【例6】（2020•重庆A卷9/26）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i=1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45 m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）A．76.9 m B．82.1 m C．94.8 m D．112.6 m
【解答】解：如图，由题意得，∠ADF=28°，CD=45，BC=60，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i=1：0.75，∴ ，设DE=4x，则EC=3x，由勾股定理可得CD=5x，又CD=45，即5x=45，∴x=9，∴EC=3x=27，DE=4x=36=FB，∴BE=BC+EC=60+27=87=DF，在Rt△ADF中，AF=tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，∴AB=AF+FB=46.11+36≈82.1，故选：B．
【例7】（2020•兴安盟•呼伦贝尔20/26）A，B两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100 km．某时发生的地震对地面上以点C为圆心，30 km为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从A，B两地处测得点C的方位角如图所示，tanα=1.776，tanβ=1.224．高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∴∠ACD=α，∠BCD=β，∴ ， ，∴AD=CD·tanα，BD=CD·tanβ，由AD+BD=AB，得CD·tanα+CD·tanβ=AB=100，则 ，∴高速公路不会受到地震影响．
巩固训练及详细解析见学案．