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2020-2021学年河南省南阳市高一（下）3月月考数学试卷北师大版
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这是一份2020-2021学年河南省南阳市高一（下）3月月考数学试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A.p1=p2
2. 在一组样本数据(x1, y1)，(x2, y2)，⋯，(xn, yn)（n≥2，x1，x2，⋯，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点(xi, yi)(i=1, 2，⋯，n)都在直线y=−15x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A.−1B.1C.−15D.15
3. 一个不透明的口袋中放有形状和大小相同的3个红球和1个白球，若从口袋中随机取出两个小球，则取到两个红球的概率为( )
A.13B.12C.23D.34
4. 某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，⋯，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )
（注：下表为随机数表的第8行和第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 第8行
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 第9行
A.07B.25C.42D.52
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=( )
A.258B.642C.780D.1538
6. 在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为( )
A.1B.2C.3D.4
7. 根据如下样本数据：
得到的线性回归方程为y=bx+a，则( )
A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0
8. 据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级.若要给有巨大贡献的2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为( )
A.15B.25C.35D.45
9. 下列说法中正确的个数有( )个
①在线性回归分析中，相关系数r越大，变量间的相关性越强；
②通过回归直线y=bx+a及回归系数b，可以精确反映变量的取值和变化趋势；
③若一组数据1，a，3的平均数是2，则该组数据的方差是23；
④先把高一年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150，⋯⋯的学生，这样的抽样方法是分层抽样.
A.1B.2C.3D.4
10. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF−BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F−AMCD内的概率为( )
A.34B.23C.13D.12
11. 执行下面的算法框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
A.5B.4C.3D.2
12. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )
A.13B.14C.15D.16
二、填空题
为了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为________.
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，在∠BAC内过点A任作一射线与BC相交于点D，使得∠DAC<30∘的概率为________．
某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，已知他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表：
给出散点图如下：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③由所给的数据及散点图所求得的线性回归直线必过点(77.5, 84.875)；
④从全班随机抽取甲、乙2名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.
其中正确的序号为________.
如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以BC，AB，AC为直径的三个半圆组成，点A在弧BC上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部分的概率是P，则P的最大值是________．
三、解答题
有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：
(1)A,B二人预赛成绩的中位数分别是多少？
(2)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由.
某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：
(1)用分层抽样的方法在35∼50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x，y的值．
从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40, 50)，[50, 60)，⋯，[90, 100]后得到如图所示的频率分布直方图．
1求图中实数a的值；
2若从数学成绩在[40, 50)与[90, 100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子停下所需的距离），无酒状态与酒后状态下的实验数据分别列于表1和表2．
请根据表1、表2回答以下问题：
(1)根据表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程y=bx+a；
(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的“平均停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？
参考公式：b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=i=1nxi⋅yi−n⋅x¯⋅y¯i=1nxi2−n⋅x¯2，
a=y¯−bx¯．
近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
抽样方法的选择与比较
【解析】
根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】
解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，
无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P1=P2=P3.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
相关系数
【解析】
根据样本数据的所有样本点都在一条直线上，得出这组样本数据完全相关，再根据直线的斜率得出是正相关还是负相关即可．
【解答】
解：∵ 这组样本数据的所有样本点(xi, yi)(i=1, 2，⋯，n)都在直线y=−15x+1上，
∴ 这组样本数据完全相关，
即说明这组数据的样本完全负相关，其相关系数是−1．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
基本事件个数（列举法、列表法、树状图法）
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令红球为a，b，c，白球为D，
取出两个小球的所有基本事件有a,b,a,c,a,D,b,c,b,D,c,D，共6个，
其中满足条件的有3个，
故所求概率为12.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
简单随机抽样
【解析】
由题知从随机数表的第9行第5列数字开始，依次选取相应的个体，就可得出答案．
【解答】
解：由题知从随机数表的第9行第5列数字开始，
由表可知依次选取12，34，29，56，07，52，⋯
故选出的第6个个体是52.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：模拟程序框图的运行如下：
输入S=0，k=1，
k=1≤6，S=1×21；
k=2≤6，S=1×21+2×22；
k=3≤6，S=1×21+2×22+3×23；
k=4≤6，S=1×21+2×22+3×23+4×24；
k=5≤6，S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25；
k=6≤6，S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26；
k=7>6，退出循环，输出结果：
S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26
=2+8+24+64+160+384=642．
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
设出被污染的数字为x，根据题意写出中位数与极差，列方程求出x的值即可．
【解答】
解：设被污染的数字为x，
则该组数据的中位数为(30+x)+342=x2+32，
极差为48−20=28，
∴ (x2+32)+28=61，
解得x=2，
则被污染的数字为2．
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．
【解答】
解：由题意可知：由题意可知，变量x，y的关系是负相关，
所以b<0，回归直线方程单调递减，
当x=3时，y=4，
所以当x=0时，a>4>0.
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
根据古典概型的概率公式计算即可．
【解答】
解：由题知，基本事件的总数有5×5=25种情形，
两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、侯、公，共5种情形，
故所求事件的概率为525=15.
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
极差、方差与标准差
回归分析
系统抽样方法
众数、中位数、平均数
相关系数
【解析】
根据回归系数的几何特征，可判断①；
通过回归直线y=bx+a及回归系数b，可估计和预测变量的取值和变化趋势，可判断②；
由一组数据的平均数和方差公式，计算可判断③；
由系统抽样的均匀可判断④．
【解答】
解：①在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，变量间的相关性越强，故①错误；
②通过回归直线y=bx+a及回归系数b，可估计和预测变量的取值和变化趋势，故②错误．
③若一组数据1，a，3的平均数是2，可得a=2，则该组数据的方差是131+0+1=23，故③正确；
④把高一年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150，⋯⋯的学生，这样的抽样方法是系统抽样，故④错误．
综上所述，正确的是③共1个．
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
先根据三棱锥的体积公式求出F−AMCD的体积与三棱锥的体积公式求出ADF−BCE的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．
【解答】
解：由图可知三棱柱的棱长为a，
因为M是AB的中点，
所以AM=12a，
因为VF−AMCD=13×S四边形AMCD×DF
=13×(12a+a)×a2×a
=14a3，
V三棱柱ADF−BCE=12×a×a×a=12a3
所以它飞入几何体F−AMCD内的概率为14a312a3=12，
故选D．
11.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
本题考查程序框图．
【解答】
解：执行该程序框图，
t=1，M=100，S=0，
第一次循环，S=0+100=100，M=−10，t=2；
第二次循环，S=100−10=90，M=1，t=3，
此时S=90<91，
所以t=3不满足t≤N，
则N=2．
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，从而得到这三个人获得第一名是等概率事件，由此给求出结果．
【解答】
解：∵ 甲和乙都不可能是第一名，
∴ 第一名只可能是丙、丁或戊，
又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，
∴ 这三个人获得第一名是等概率事件，
∴ 丙是第一名的概率是13．
故选A.
二、填空题
【答案】
40
【考点】
系统抽样方法
【解析】
试题分析：抽样间隔为120030=40，故填40．
【解答】
解：根据系统抽样的步骤，得到分段的间隔
k=120030=40.
故答案为：40.
【答案】
12
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
利用几何概型的概率计算公式，求出对应角度比即可．
【解答】
解：由于在∠BAC内所作的射线是等可能的，且∠BAC=60∘，
故使得∠DAC<30∘的概率为P=3060=12．
故答案为：12．
【答案】
①③
【考点】
回归分析
线性相关关系的判断
【解析】
观察题中所给的散点图，结合有关概念，对选项逐一分析，得到正确结果
【解答】
解：由散点图知两变量间是相关关系，非函数关系，所以①正确，②错误；
数学成绩平均值=18(60+65+70+75+80+85+90+95)=77.5，
物理成绩平均值=18(72+77+80+84+88+90+93+95)=84.875，
故线性回归直线必过点(77.5, 84.875)，所以③正确；
利用概率知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，所以④错误；
所以正确的命题为①③.
故答案为：①③.
【答案】
2π+2
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
设两个小圆的半径分别是r1，r2，大圆半径为R，根据几何概型结合均值不等式计算得到答案即可．
【解答】
解：设两个小圆的半径分别是r1，r2，
大圆半径为R，则(2R)2=(2r1)2+(2r2)2，
即R2=r12+r22.
根据几何概型：P=12πr12+12πr22+2r1r2−12πR212πr12+12πr22+2r1r2
=4r1r2πr12+πr22+4r1r2≤4r1r22πr1r2+4r1r2=2π+2，
当r1=r2时等号成立．
故答案为：2π+2.
三、解答题
【答案】
解：(1)A的中位数是83+852=84，
B的中位数是：82+842=83.
(2)派B参加比较合适．理由如下：
xB¯=18(78+79+81+82+84+88+93+95)=85，
xA¯=18(75+80+80+83+85+90+92+95)=85，
SB2=18[(78−85)2+(79−85)2+(81−85)2+(82−85)2+
(84−85)2+(88−85)2+(93−85)2+(95−85)2]=35.5，
SA2=18[(75−85)2+(80−85)2+(80−85)2+(83−85)2+
(85−85)2+(90−85)2+(92−85)2+(95−85)2]=41，
∵ xA¯=xB¯，SB2∴ B的成绩较稳定，派B参加比较合适．
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
（1）从小到大排列位置处于中间的数是中位数，中间两个数时，取平均值；
（2）根据所给的数据做出两个人的平均数和方差，把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，然后根据方差是反映稳定程度的，比较方差，越小说明越稳定；
【解答】
解：(1)A的中位数是83+852=84，
B的中位数是：82+842=83.
(2)派B参加比较合适．理由如下：
xB¯=18(78+79+81+82+84+88+93+95)=85，
xA¯=18(75+80+80+83+85+90+92+95)=85，
SB2=18[(78−85)2+(79−85)2+(81−85)2+(82−85)2+
(84−85)2+(88−85)2+(93−85)2+(95−85)2]=35.5，
SA2=18[(75−85)2+(80−85)2+(80−85)2+(83−85)2+
(85−85)2+(90−85)2+(92−85)2+(95−85)2]=41，
∵ xA¯=xB¯，SB2∴ B的成绩较稳定，派B参加比较合适．
【答案】
解：(1)用分层抽样的方法在35∼50岁中抽取一个容量为5的样本.
设抽取学历为本科的人数为m，
∴ 3050=m5，解得m=3，
∴ 抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S1，S2，B1，B2，B3，
从中任取2人的所有基本事件共10个：
(S1, S2)，(S1, B1)，(S1, B2)，(S1, B3)，(S2, B1)，
(S2, B2)，(S2, B3)，(B1, B2)，(B1, B3)，(B2, B3)，
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个，
∴ 从中任取1人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710.
(2)依题意得：10N=539，
解得N=78，
∴ 35∼50岁中被抽取的人数为78−48−10=20，
∴ 4880+x=2050=1020+y，解得x=40，y=5，
∴ x=40，y=5.
【考点】
分层抽样方法
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(1)用分层抽样得到学历为本科的人数，后面的问题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5个人中容易抽取2个，事件数可以列举出，满足条件的事件是至少有1人的学历为研究生，从列举出的事件中看出结果．
(2)根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，表示出年龄为50岁以上的概率，利用解方程思想解出x，y的值．
【解答】
解：(1)用分层抽样的方法在35∼50岁中抽取一个容量为5的样本.
设抽取学历为本科的人数为m，
∴ 3050=m5，解得m=3，
∴ 抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S1，S2，B1，B2，B3，
从中任取2人的所有基本事件共10个：
(S1, S2)，(S1, B1)，(S1, B2)，(S1, B3)，(S2, B1)，
(S2, B2)，(S2, B3)，(B1, B2)，(B1, B3)，(B2, B3)，
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个，
∴ 从中任取1人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710.
(2)依题意得：10N=539，
解得N=78，
∴ 35∼50岁中被抽取的人数为78−48−10=20，
∴ 4880+x=2050=1020+y，解得x=40，y=5，
∴ x=40，y=5.
【答案】
解：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，
其所有可能的结果组成的基本事件为：
Ω={(a1, a2), (a1, b1), (a2, a1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}，
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．
Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，
则A={(a1, b1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}．
事件A由4个基本事件组成，
所以P(A)=46=23．
(2)有放回地连续取出两件，
其所有可能的结果组成的基本事件为：
Ω={(a1,a1)，(a1, a2)，(a1, b1)，(a2, a1)，(a2, a2)，
(a2, b1)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b1, b1)}，由9个基本事件组成．
由于每一件产品被取到的机会均等，
因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．
用B表示“恰有一件次品”这一事件，
则B={(a1, b1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}．
事件B由4个基本事件组成，所以P(B)=49．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（1）列出基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．
（2）列出基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．
【解答】
解：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，
其所有可能的结果组成的基本事件为：
Ω={(a1, a2), (a1, b1), (a2, a1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}，
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．
Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，
则A={(a1, b1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}．
事件A由4个基本事件组成，
所以P(A)=46=23．
(2)有放回地连续取出两件，
其所有可能的结果组成的基本事件为：
Ω={(a1,a1)，(a1, a2)，(a1, b1)，(a2, a1)，(a2, a2)，
(a2, b1)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b1, b1)}，由9个基本事件组成．
由于每一件产品被取到的机会均等，
因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．
用B表示“恰有一件次品”这一事件，
则B={(a1, b1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}．
事件B由4个基本事件组成，所以P(B)=49．
【答案】
解：1由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，得：
(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
解得a=0.030．
2在抽取的40名学生中，数学成绩在[40, 50)和[90, 100]两个分数段内的学生分别有：
0.005×10×40=2人，这两个分别记为A，B，
0.010×10×40=4人，这四个分别记为C，D，E，F，
从中随机选取2名学生，基本事件有：
(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(A, F)，
(B, C)，(B, D)，(B, E)，(B, F)，(C, D)，
(C, E)，(C, F)，(D, E)，(D, F)，(E, F)，共15个，
这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件有：
(A, B)，(C, D)，(C, E)，(C, F)，(D, E)，
(D, F)，(E, F)，共7个，
∴ 这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率p=715．
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
【解析】
（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．
（3）在抽取的40名学生中，数学成绩在[40, 50)和[90, 100]两个分数段内的学生分别有2人，4人，从中随机选取2名学生，基本事件总数n=C62=15，这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10包含的基本事件个数m=C22+C42=7，由此能求出这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
【解答】
解：1由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，得：
(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
解得a=0.030．
2在抽取的40名学生中，数学成绩在[40, 50)和[90, 100]两个分数段内的学生分别有：
0.005×10×40=2人，这两个分别记为A，B，
0.010×10×40=4人，这四个分别记为C，D，E，F，
从中随机选取2名学生，基本事件有：
(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(A, F)，
(B, C)，(B, D)，(B, E)，(B, F)，(C, D)，
(C, E)，(C, F)，(D, E)，(D, F)，(E, F)，共15个，
这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件有：
(A, B)，(C, D)，(C, E)，(C, F)，(D, E)，
(D, F)，(E, F)，共7个，
∴ 这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率p=715．
【答案】
解：(1)依题意，驾驶员无酒状态下停车距离的平均数为
15×26100+25×40100+35×24100+45×8100+55×2100=27．
(2)依题意，可知x¯=50，y¯=60，
b=10×30+30×50+50×60+70×70+90×90−5×50×60102+302+502+702+902−5×502=0.7，
a=60−0.7×50=25，
所以回归直线方程为y=0.7x+25．
(3)由(1)知当y>27×3=81时认定驾驶员是“醉驾”．
令y>81，得0.7x+25>81，
解得x>80，
当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．
【考点】
众数、中位数、平均数
求解线性回归方程
【解析】
(1)根据已知数据，代入平均数公式，可得答案；
(2)根据最小二乘法，计算回归系数，可得y关于x的回归方程；
(3)令y>81，求出x的范围，可得结论．
【解答】
解：(1)依题意，驾驶员无酒状态下停车距离的平均数为
15×26100+25×40100+35×24100+45×8100+55×2100=27．
(2)依题意，可知x¯=50，y¯=60，
b=10×30+30×50+50×60+70×70+90×90−5×50×60102+302+502+702+902−5×502=0.7，
a=60−0.7×50=25，
所以回归直线方程为y=0.7x+25．
(3)由(1)知当y>27×3=81时认定驾驶员是“醉驾”．
令y>81，得0.7x+25>81，
解得x>80，
当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．
【答案】
解：(1)根据题意，在抽取的100人中，
仅使用A支付方式的有27+3=30人，
仅使用B支付方式的有24+1=25人,
A，B两种支付方式都不使用的有5人，
则A，B两种支付方式都使用的有：100−30−25−5=40人.
则该校学生中，A，B两种支付方式都使用的人数为1000×40100=400人.
(2)设事件A：在样本仅使用B的学生中随机抽取1人，
该学生月支付金额大于2000元.
已知样本中仅使用B的学生有25人，
在样本中仅使用B的学生中，月支付金额大于2000元的有1人，
则P(A)=125.
(3)无法确定有没有变化.根据(2)的结果，在仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，
月支付金额大于2000元的概率为4%.
概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取情况为随机事件，
仅抽取1次无法确定样本中仅使用B的学生中月支付金额大于2000元的人数有没有变化.
【考点】
概率的应用
统计表
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)根据题意，在抽取的100人中，
仅使用A支付方式的有27+3=30人，
仅使用B支付方式的有24+1=25人,
A，B两种支付方式都不使用的有5人，
则A，B两种支付方式都使用的有：100−30−25−5=40人.
则该校学生中，A，B两种支付方式都使用的人数为1000×40100=400人.
(2)设事件A：在样本仅使用B的学生中随机抽取1人，
该学生月支付金额大于2000元.
已知样本中仅使用B的学生有25人，
在样本中仅使用B的学生中，月支付金额大于2000元的有1人，
则P(A)=125.
(3)无法确定有没有变化.根据(2)的结果，在仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，
月支付金额大于2000元的概率为4%.
概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取情况为随机事件，
仅抽取1次无法确定样本中仅使用B的学生中月支付金额大于2000元的人数有没有变化.x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5
0.5
0.4
0.1
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成绩
72
77
80
84
88
90
93
95
学历
35岁以下
35∼50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
1. 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A.p1=p2
2. 在一组样本数据(x1, y1)，(x2, y2)，⋯，(xn, yn)（n≥2，x1，x2，⋯，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点(xi, yi)(i=1, 2，⋯，n)都在直线y=−15x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A.−1B.1C.−15D.15
3. 一个不透明的口袋中放有形状和大小相同的3个红球和1个白球，若从口袋中随机取出两个小球，则取到两个红球的概率为( )
A.13B.12C.23D.34
4. 某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，⋯，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )
（注：下表为随机数表的第8行和第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 第8行
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 第9行
A.07B.25C.42D.52
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=( )
A.258B.642C.780D.1538
6. 在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为( )
A.1B.2C.3D.4
7. 根据如下样本数据：
得到的线性回归方程为y=bx+a，则( )
A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0
8. 据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级.若要给有巨大贡献的2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为( )
A.15B.25C.35D.45
9. 下列说法中正确的个数有( )个
①在线性回归分析中，相关系数r越大，变量间的相关性越强；
②通过回归直线y=bx+a及回归系数b，可以精确反映变量的取值和变化趋势；
③若一组数据1，a，3的平均数是2，则该组数据的方差是23；
④先把高一年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150，⋯⋯的学生，这样的抽样方法是分层抽样.
A.1B.2C.3D.4
10. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF−BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F−AMCD内的概率为( )
A.34B.23C.13D.12
11. 执行下面的算法框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
A.5B.4C.3D.2
12. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )
A.13B.14C.15D.16
二、填空题
为了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为________.
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，在∠BAC内过点A任作一射线与BC相交于点D，使得∠DAC<30∘的概率为________．
某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，已知他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表：
给出散点图如下：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③由所给的数据及散点图所求得的线性回归直线必过点(77.5, 84.875)；
④从全班随机抽取甲、乙2名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.
其中正确的序号为________.
如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以BC，AB，AC为直径的三个半圆组成，点A在弧BC上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部分的概率是P，则P的最大值是________．
三、解答题
有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：
(1)A,B二人预赛成绩的中位数分别是多少？
(2)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由.
某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：
(1)用分层抽样的方法在35∼50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x，y的值．
从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40, 50)，[50, 60)，⋯，[90, 100]后得到如图所示的频率分布直方图．
1求图中实数a的值；
2若从数学成绩在[40, 50)与[90, 100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子停下所需的距离），无酒状态与酒后状态下的实验数据分别列于表1和表2．
请根据表1、表2回答以下问题：
(1)根据表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程y=bx+a；
(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的“平均停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？
参考公式：b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=i=1nxi⋅yi−n⋅x¯⋅y¯i=1nxi2−n⋅x¯2，
a=y¯−bx¯．
近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
抽样方法的选择与比较
【解析】
根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】
解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，
无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P1=P2=P3.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
相关系数
【解析】
根据样本数据的所有样本点都在一条直线上，得出这组样本数据完全相关，再根据直线的斜率得出是正相关还是负相关即可．
【解答】
解：∵ 这组样本数据的所有样本点(xi, yi)(i=1, 2，⋯，n)都在直线y=−15x+1上，
∴ 这组样本数据完全相关，
即说明这组数据的样本完全负相关，其相关系数是−1．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
基本事件个数（列举法、列表法、树状图法）
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令红球为a，b，c，白球为D，
取出两个小球的所有基本事件有a,b,a,c,a,D,b,c,b,D,c,D，共6个，
其中满足条件的有3个，
故所求概率为12.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
简单随机抽样
【解析】
由题知从随机数表的第9行第5列数字开始，依次选取相应的个体，就可得出答案．
【解答】
解：由题知从随机数表的第9行第5列数字开始，
由表可知依次选取12，34，29，56，07，52，⋯
故选出的第6个个体是52.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：模拟程序框图的运行如下：
输入S=0，k=1，
k=1≤6，S=1×21；
k=2≤6，S=1×21+2×22；
k=3≤6，S=1×21+2×22+3×23；
k=4≤6，S=1×21+2×22+3×23+4×24；
k=5≤6，S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25；
k=6≤6，S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26；
k=7>6，退出循环，输出结果：
S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26
=2+8+24+64+160+384=642．
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
设出被污染的数字为x，根据题意写出中位数与极差，列方程求出x的值即可．
【解答】
解：设被污染的数字为x，
则该组数据的中位数为(30+x)+342=x2+32，
极差为48−20=28，
∴ (x2+32)+28=61，
解得x=2，
则被污染的数字为2．
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．
【解答】
解：由题意可知：由题意可知，变量x，y的关系是负相关，
所以b<0，回归直线方程单调递减，
当x=3时，y=4，
所以当x=0时，a>4>0.
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
根据古典概型的概率公式计算即可．
【解答】
解：由题知，基本事件的总数有5×5=25种情形，
两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、侯、公，共5种情形，
故所求事件的概率为525=15.
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
极差、方差与标准差
回归分析
系统抽样方法
众数、中位数、平均数
相关系数
【解析】
根据回归系数的几何特征，可判断①；
通过回归直线y=bx+a及回归系数b，可估计和预测变量的取值和变化趋势，可判断②；
由一组数据的平均数和方差公式，计算可判断③；
由系统抽样的均匀可判断④．
【解答】
解：①在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，变量间的相关性越强，故①错误；
②通过回归直线y=bx+a及回归系数b，可估计和预测变量的取值和变化趋势，故②错误．
③若一组数据1，a，3的平均数是2，可得a=2，则该组数据的方差是131+0+1=23，故③正确；
④把高一年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150，⋯⋯的学生，这样的抽样方法是系统抽样，故④错误．
综上所述，正确的是③共1个．
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
先根据三棱锥的体积公式求出F−AMCD的体积与三棱锥的体积公式求出ADF−BCE的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．
【解答】
解：由图可知三棱柱的棱长为a，
因为M是AB的中点，
所以AM=12a，
因为VF−AMCD=13×S四边形AMCD×DF
=13×(12a+a)×a2×a
=14a3，
V三棱柱ADF−BCE=12×a×a×a=12a3
所以它飞入几何体F−AMCD内的概率为14a312a3=12，
故选D．
11.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
本题考查程序框图．
【解答】
解：执行该程序框图，
t=1，M=100，S=0，
第一次循环，S=0+100=100，M=−10，t=2；
第二次循环，S=100−10=90，M=1，t=3，
此时S=90<91，
所以t=3不满足t≤N，
则N=2．
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，从而得到这三个人获得第一名是等概率事件，由此给求出结果．
【解答】
解：∵ 甲和乙都不可能是第一名，
∴ 第一名只可能是丙、丁或戊，
又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，
∴ 这三个人获得第一名是等概率事件，
∴ 丙是第一名的概率是13．
故选A.
二、填空题
【答案】
40
【考点】
系统抽样方法
【解析】
试题分析：抽样间隔为120030=40，故填40．
【解答】
解：根据系统抽样的步骤，得到分段的间隔
k=120030=40.
故答案为：40.
【答案】
12
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
利用几何概型的概率计算公式，求出对应角度比即可．
【解答】
解：由于在∠BAC内所作的射线是等可能的，且∠BAC=60∘，
故使得∠DAC<30∘的概率为P=3060=12．
故答案为：12．
【答案】
①③
【考点】
回归分析
线性相关关系的判断
【解析】
观察题中所给的散点图，结合有关概念，对选项逐一分析，得到正确结果
【解答】
解：由散点图知两变量间是相关关系，非函数关系，所以①正确，②错误；
数学成绩平均值=18(60+65+70+75+80+85+90+95)=77.5，
物理成绩平均值=18(72+77+80+84+88+90+93+95)=84.875，
故线性回归直线必过点(77.5, 84.875)，所以③正确；
利用概率知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，所以④错误；
所以正确的命题为①③.
故答案为：①③.
【答案】
2π+2
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
设两个小圆的半径分别是r1，r2，大圆半径为R，根据几何概型结合均值不等式计算得到答案即可．
【解答】
解：设两个小圆的半径分别是r1，r2，
大圆半径为R，则(2R)2=(2r1)2+(2r2)2，
即R2=r12+r22.
根据几何概型：P=12πr12+12πr22+2r1r2−12πR212πr12+12πr22+2r1r2
=4r1r2πr12+πr22+4r1r2≤4r1r22πr1r2+4r1r2=2π+2，
当r1=r2时等号成立．
故答案为：2π+2.
三、解答题
【答案】
解：(1)A的中位数是83+852=84，
B的中位数是：82+842=83.
(2)派B参加比较合适．理由如下：
xB¯=18(78+79+81+82+84+88+93+95)=85，
xA¯=18(75+80+80+83+85+90+92+95)=85，
SB2=18[(78−85)2+(79−85)2+(81−85)2+(82−85)2+
(84−85)2+(88−85)2+(93−85)2+(95−85)2]=35.5，
SA2=18[(75−85)2+(80−85)2+(80−85)2+(83−85)2+
(85−85)2+(90−85)2+(92−85)2+(95−85)2]=41，
∵ xA¯=xB¯，SB2
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
（1）从小到大排列位置处于中间的数是中位数，中间两个数时，取平均值；
（2）根据所给的数据做出两个人的平均数和方差，把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，然后根据方差是反映稳定程度的，比较方差，越小说明越稳定；
【解答】
解：(1)A的中位数是83+852=84，
B的中位数是：82+842=83.
(2)派B参加比较合适．理由如下：
xB¯=18(78+79+81+82+84+88+93+95)=85，
xA¯=18(75+80+80+83+85+90+92+95)=85，
SB2=18[(78−85)2+(79−85)2+(81−85)2+(82−85)2+
(84−85)2+(88−85)2+(93−85)2+(95−85)2]=35.5，
SA2=18[(75−85)2+(80−85)2+(80−85)2+(83−85)2+
(85−85)2+(90−85)2+(92−85)2+(95−85)2]=41，
∵ xA¯=xB¯，SB2
【答案】
解：(1)用分层抽样的方法在35∼50岁中抽取一个容量为5的样本.
设抽取学历为本科的人数为m，
∴ 3050=m5，解得m=3，
∴ 抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S1，S2，B1，B2，B3，
从中任取2人的所有基本事件共10个：
(S1, S2)，(S1, B1)，(S1, B2)，(S1, B3)，(S2, B1)，
(S2, B2)，(S2, B3)，(B1, B2)，(B1, B3)，(B2, B3)，
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个，
∴ 从中任取1人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710.
(2)依题意得：10N=539，
解得N=78，
∴ 35∼50岁中被抽取的人数为78−48−10=20，
∴ 4880+x=2050=1020+y，解得x=40，y=5，
∴ x=40，y=5.
【考点】
分层抽样方法
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(1)用分层抽样得到学历为本科的人数，后面的问题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5个人中容易抽取2个，事件数可以列举出，满足条件的事件是至少有1人的学历为研究生，从列举出的事件中看出结果．
(2)根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，表示出年龄为50岁以上的概率，利用解方程思想解出x，y的值．
【解答】
解：(1)用分层抽样的方法在35∼50岁中抽取一个容量为5的样本.
设抽取学历为本科的人数为m，
∴ 3050=m5，解得m=3，
∴ 抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S1，S2，B1，B2，B3，
从中任取2人的所有基本事件共10个：
(S1, S2)，(S1, B1)，(S1, B2)，(S1, B3)，(S2, B1)，
(S2, B2)，(S2, B3)，(B1, B2)，(B1, B3)，(B2, B3)，
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个，
∴ 从中任取1人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710.
(2)依题意得：10N=539，
解得N=78，
∴ 35∼50岁中被抽取的人数为78−48−10=20，
∴ 4880+x=2050=1020+y，解得x=40，y=5，
∴ x=40，y=5.
【答案】
解：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，
其所有可能的结果组成的基本事件为：
Ω={(a1, a2), (a1, b1), (a2, a1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}，
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．
Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，
则A={(a1, b1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}．
事件A由4个基本事件组成，
所以P(A)=46=23．
(2)有放回地连续取出两件，
其所有可能的结果组成的基本事件为：
Ω={(a1,a1)，(a1, a2)，(a1, b1)，(a2, a1)，(a2, a2)，
(a2, b1)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b1, b1)}，由9个基本事件组成．
由于每一件产品被取到的机会均等，
因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．
用B表示“恰有一件次品”这一事件，
则B={(a1, b1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}．
事件B由4个基本事件组成，所以P(B)=49．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（1）列出基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．
（2）列出基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．
【解答】
解：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，
其所有可能的结果组成的基本事件为：
Ω={(a1, a2), (a1, b1), (a2, a1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}，
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．
Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，
则A={(a1, b1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}．
事件A由4个基本事件组成，
所以P(A)=46=23．
(2)有放回地连续取出两件，
其所有可能的结果组成的基本事件为：
Ω={(a1,a1)，(a1, a2)，(a1, b1)，(a2, a1)，(a2, a2)，
(a2, b1)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b1, b1)}，由9个基本事件组成．
由于每一件产品被取到的机会均等，
因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．
用B表示“恰有一件次品”这一事件，
则B={(a1, b1), (a2, b1), (b1, a1), (b1, a2)}．
事件B由4个基本事件组成，所以P(B)=49．
【答案】
解：1由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，得：
(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
解得a=0.030．
2在抽取的40名学生中，数学成绩在[40, 50)和[90, 100]两个分数段内的学生分别有：
0.005×10×40=2人，这两个分别记为A，B，
0.010×10×40=4人，这四个分别记为C，D，E，F，
从中随机选取2名学生，基本事件有：
(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(A, F)，
(B, C)，(B, D)，(B, E)，(B, F)，(C, D)，
(C, E)，(C, F)，(D, E)，(D, F)，(E, F)，共15个，
这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件有：
(A, B)，(C, D)，(C, E)，(C, F)，(D, E)，
(D, F)，(E, F)，共7个，
∴ 这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率p=715．
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
【解析】
（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．
（3）在抽取的40名学生中，数学成绩在[40, 50)和[90, 100]两个分数段内的学生分别有2人，4人，从中随机选取2名学生，基本事件总数n=C62=15，这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10包含的基本事件个数m=C22+C42=7，由此能求出这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
【解答】
解：1由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，得：
(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
解得a=0.030．
2在抽取的40名学生中，数学成绩在[40, 50)和[90, 100]两个分数段内的学生分别有：
0.005×10×40=2人，这两个分别记为A，B，
0.010×10×40=4人，这四个分别记为C，D，E，F，
从中随机选取2名学生，基本事件有：
(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(A, F)，
(B, C)，(B, D)，(B, E)，(B, F)，(C, D)，
(C, E)，(C, F)，(D, E)，(D, F)，(E, F)，共15个，
这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件有：
(A, B)，(C, D)，(C, E)，(C, F)，(D, E)，
(D, F)，(E, F)，共7个，
∴ 这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率p=715．
【答案】
解：(1)依题意，驾驶员无酒状态下停车距离的平均数为
15×26100+25×40100+35×24100+45×8100+55×2100=27．
(2)依题意，可知x¯=50，y¯=60，
b=10×30+30×50+50×60+70×70+90×90−5×50×60102+302+502+702+902−5×502=0.7，
a=60−0.7×50=25，
所以回归直线方程为y=0.7x+25．
(3)由(1)知当y>27×3=81时认定驾驶员是“醉驾”．
令y>81，得0.7x+25>81，
解得x>80，
当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．
【考点】
众数、中位数、平均数
求解线性回归方程
【解析】
(1)根据已知数据，代入平均数公式，可得答案；
(2)根据最小二乘法，计算回归系数，可得y关于x的回归方程；
(3)令y>81，求出x的范围，可得结论．
【解答】
解：(1)依题意，驾驶员无酒状态下停车距离的平均数为
15×26100+25×40100+35×24100+45×8100+55×2100=27．
(2)依题意，可知x¯=50，y¯=60，
b=10×30+30×50+50×60+70×70+90×90−5×50×60102+302+502+702+902−5×502=0.7，
a=60−0.7×50=25，
所以回归直线方程为y=0.7x+25．
(3)由(1)知当y>27×3=81时认定驾驶员是“醉驾”．
令y>81，得0.7x+25>81，
解得x>80，
当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．
【答案】
解：(1)根据题意，在抽取的100人中，
仅使用A支付方式的有27+3=30人，
仅使用B支付方式的有24+1=25人,
A，B两种支付方式都不使用的有5人，
则A，B两种支付方式都使用的有：100−30−25−5=40人.
则该校学生中，A，B两种支付方式都使用的人数为1000×40100=400人.
(2)设事件A：在样本仅使用B的学生中随机抽取1人，
该学生月支付金额大于2000元.
已知样本中仅使用B的学生有25人，
在样本中仅使用B的学生中，月支付金额大于2000元的有1人，
则P(A)=125.
(3)无法确定有没有变化.根据(2)的结果，在仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，
月支付金额大于2000元的概率为4%.
概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取情况为随机事件，
仅抽取1次无法确定样本中仅使用B的学生中月支付金额大于2000元的人数有没有变化.
【考点】
概率的应用
统计表
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
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【解答】
解：(1)根据题意，在抽取的100人中，
仅使用A支付方式的有27+3=30人，
仅使用B支付方式的有24+1=25人,
A，B两种支付方式都不使用的有5人，
则A，B两种支付方式都使用的有：100−30−25−5=40人.
则该校学生中，A，B两种支付方式都使用的人数为1000×40100=400人.
(2)设事件A：在样本仅使用B的学生中随机抽取1人，
该学生月支付金额大于2000元.
已知样本中仅使用B的学生有25人，
在样本中仅使用B的学生中，月支付金额大于2000元的有1人，
则P(A)=125.
(3)无法确定有没有变化.根据(2)的结果，在仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，
月支付金额大于2000元的概率为4%.
概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取情况为随机事件，
仅抽取1次无法确定样本中仅使用B的学生中月支付金额大于2000元的人数有没有变化.x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5
0.5
0.4
0.1
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成绩
72
77
80
84
88
90
93
95
学历
35岁以下
35∼50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
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