2020-2021学年江西省赣州市高二（下）3月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市高二（下）3月月考数学（理）试卷北师大版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 某校高一年级某班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早操与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，⋯，60，选取的这6名学生的编号可能是( )
A.1，2，3，4，5，6B.6，16，26，36，46，56
C.1，2，4，8，16，32D.3，9，13，27，36，54

2. 抛物线4x2+3y=0的焦点坐标为( )
A.0,38B.316,0C.0,−38D.0,−316

3. 下列说法错误的是( )
A.“a>1”是1a0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A.(2,5)B.(53,52)C.(54,52)D.(5,2+1)
二、填空题

设函数fx可导，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=________.

将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________cm．

已知直线m过抛物线y2=2pxp>0的焦点F，且交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C．若|AF|=6，CB→=2BF→，则p=________.

“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(1, 2)，解关于x的不等式cx2+bx+a>0．”给出如下的一种解法：
解：由ax2+bx+c>0的解集为(1, 2)，得a(1x)2+b(1x)+c>0的解集为(12，1)，即关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为(12，1)．
参考上述解法：若关于x的不等式bx+a+x+bx+c0的解集为________．
三、解答题

已知命题p:2x2−3x+1≤0和命题q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0.
(1)若a=12，且p和q都是真命题，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

函数y=x3+mx2+2在点1,f1处的切线为l.
(1)若l与直线y=5x平行，求实数m的值；

(2)若直线l的倾斜角α的取值范围为0,π4，求实数m的取值范围.

近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20, 25)，第2组[25, 30)，第3组[30, 35)，第4组[35, 40)，第5组[40, 45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．

(1)求该组织的人数；

(2)若在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

(3)在(2)的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．

数列{an}满足Sn=2n−an(n∈N∗)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．

(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A−PB−C为90∘，求PD与平面PBC所成角的大小．

已知椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，离心率为32且过点A−2,0，直线l与椭圆交于P，Q两点且不过原点．
(1)求椭圆方程；

(2)若AP⊥AQ，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标；

(3)若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高二（下）3月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
系统抽样方法
【解析】
根据系统抽样的定义，从60名学生中抽取6名学生，编号的间隔为606=10，依次判断可得答案．
【解答】
解：根据系统抽样的定义，从60名学生中抽取6名学生，编号的间隔为606=10，
∴ 编号组成的数列应是公差为10的等差数列.
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
抛物线的定义
【解析】
将抛物线的方程化为标准方程，由此可求得该抛物线的焦点坐标.
【解答】
解：抛物线4x2+3y=0的标准方程为x2=−34y，
则−2p=−34，
可得p=38，
因此，抛物线4x2+3y=0的焦点坐标为(0,−316).
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
四种命题间的逆否关系
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
全称命题与特称命题
【解析】
利用充要条件判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；存在量词命题的否定判断C的正误；直接利用复合命题的真假判断D的正误．
【解答】
解：A，若a>1，则1a1”是“1a0)的一条渐近线的距离为1，
∴ 圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4，
由对称性不妨取双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=bax，即bx−ay=0，
∴ 2