2020-2021学年河南省安阳市高一（下）5月豫北联考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省安阳市高一（下）5月豫北联考数学（理）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 集合A=x|10−x≤2，B=x|x=2n+1,n∈Z，则A∩B=（ ）
A.7,9B.7C.9D.9,11

2. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取学生的人数为( )
A.50B.60C.75D.90

3. 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数

4. 河南省某市2020年各月的平均气温​∘C数据的茎叶图如下，则这组数据中的中位数是( )

A.19B.20C.21.5D.23

5. 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2//l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4B.l1 // l4
C.l1，l4既不平行也不垂直D.l1，l4的位置关系不确定

6. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）

A.−10B.6C.14D.18

7. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12, 13)，[13, 14)，[14, 15)，[15, 16)，[16, 17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )

A.6B.8C.12D.18

8. 函数y=xex−e−x的图像大致为（ ）
A.B.
C.D.

9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )

A.16B.13 C.12D.1

10. 已知a=223，b=425，c=lg25，则（ ）
A.b
11. 用秦九韶算法求多项式fx=3x6+5x5+6x4+79x3−8x2+35x+12在x=−4时v4的值（ ）
A.−57B.220C.−845D.3392

12. 设函数fx=csωx+π3，ω>0，fx的一条对称轴是x=π6，则（ ）
A.fx可能是偶函数
B.fx可能是奇函数
C.ω的一个可能取值是2
D.fx的一个对称中心可以是π24,0
二、填空题

已知e1→，e2→ 是互相垂直的单位向量，若3e1→−e2→ 与e1→+λe2→的夹角为60∘，则实数λ的值是________．
三、解答题

已知向量m→=1,1，向量n→与向量m→的夹角为34π，且m→⋅n→=−1.
(1)求向量n→；

(2)若向量n→与向量q→=1,0的夹角为π2，向量p→=(2sinA，4cs2A2），求|2n→+p→|的值．

高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

(1)求分数在[50, 60)的频率及全班人数；

(2)求分数在[80, 90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80, 90)间的矩形的高.

α，β∈0,π2，它们的终边分别与单位圆相交于Aa,2a，Bb,3b
(1)求α+β；

(2)求sinα+3β的值．

如图，在直三棱杜ABC−A1B1C1中，已知AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．

(1)求证：DE//平面AA1C1C；

(2)求A1到平面ACB1的距离．

已知向量m→=sinA,csA，n→=3,−1，m→⋅n→=1，且A为锐角．
(1)求角A的大小；

(2)求函数fx=2sinA−π12+xsinA−π12−x+4csxsinxx∈0,π2的值域．

f(x)=kax−a−x(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数，且f1=32．
(1)求a，k

(2)gx=a2x+a−2x−mfx，求gx在−1,1上的最小值为−2，求m．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省安阳市高一（下）5月豫北联考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：A=x|6≤x≤10，B=x|x=2n+1,n∈Z，
故A∩B=7,9．
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．
【解答】
解：一年级本科生人数所占的比例为44+5+5+6=15，
故应从一年级本科生中抽取的学生数为300×15=60.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的判断
【解析】
由题意可得，|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．
【解答】
解：∵ f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴ |f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．
再根据两个奇函数的积是偶函数，
两个偶函数的积还是偶函数，
一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，
可得 f(x)|g(x)|为奇函数.
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】
解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为20+202=20，
故选B
5.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】

【解答】
解：在如图所示的正方体中，
设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；还可以是AB，B1C1，
这三组直线分别相交，平行，垂直或异面，
所以l1，l4的位置关系不确定．
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
无
【解答】
解：输入S=20，i=1；
i=2×1，S=20−2=18，2>5不成立；
i=2×2=4，S=18−4=14，4>5不成立；
i=2×4=8，S=14−8=6，8>5成立；
输出6，
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
频率分布直方图
【解析】
由频率=频数样本容量以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案．
【解答】
解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，
第三组中没有疗效的有6人，
第三组中有疗效的有12人．
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：函数y=xex−e−x是偶函数，其图像关于y轴对称，所以排除CD选项；
x>0时，ex−e−x>0⇒y>0，
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知中的三视图可知，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积为S=12×1×1=12，高ℎ=1，
故棱锥的体积V=13Sℎ=16.
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
无
【解答】
解：a=223<245=425=b<2=lg24所以a故选B．
11.
【答案】
B
【考点】
秦九韶算法
【解析】
无
【解答】
解：fx=3x6+5x5+6x4+79x3−8x2+35x+12
=((((3x+5)x+6)x+79)x−8)x+35)x+12，
所以v0=a6=3，
v1=v0x+a5=3×−4+5=−7，
v2=v1x+a4=−7×−4+6=34，
v3=v2x+a3=34×−4+79=−57，
v4=v3x+a2=−57×−4+−8=220，
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的图象
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
无
【解答】
解：f0=csπ3=12既不为±1，也不为0，故排除AB，
fx的一条对称轴是x=π6，则ω⋅π6+π3=kπ⇒ω=6k−2,2∉{6k−2}，故C错误；
由ω=6k−2⇒ω=4时，4×π24+π3=π2，
故D正确．
故选D.
二、填空题
【答案】
33
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
【解答】
解：e1→，e2→ 是互相垂直的单位向量，
∴ |e1→|=|e2→|=1，且e1→⋅e2→=0；
又3e1→−e2→ 与e1→+λe2→的夹角为60∘，
∴ (3e1→−e2→)⋅(e1→+λe2→)=|3e1→−e2→|×|e1→+λe2→|×cs60∘，
即3e1→2+(3λ−1)e1→⋅e2→−λe2→2
=3e1→2−23e1→⋅e2→+e2→2×e1→2+2λe1→⋅e2→+λ2e2→2×12，
化简得3−λ=3+1×1+λ2×12，
即3−λ=1+λ2，
解得λ=33．
故答案为：33．
三、解答题
【答案】
解：(1)设n→=x,y，
由m→⋅n→=−1，
有x+y=−1．①
m→⋅n→=|m→|⋅|n→|cs3π4=−1，
∴ |n→|=1⇒x2+y2=1，②
由①②得
x=−1,y=0,
或x=0,y=−1.
即n→=−1,0或n→=0,−1．
(2)由n→与q→垂直，
得n→=0,−1．
∴ 2n→+p→=(2sinA,4cs2A2−2)=(2sinA,2csA)．
∴ |2n→+p→|=4sin2A+4cs2A=2．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设n→=x,y，
由m→⋅n→=−1，
有x+y=−1．①
m→⋅n→=|m→|⋅|n→|cs3π4=−1，
∴ |n→|=1⇒x2+y2=1，②
由①②得
x=−1,y=0,
或x=0,y=−1.
即n→=−1,0或n→=0,−1．
(2)由n→与q→垂直，
得n→=0,−1．
∴ 2n→+p→=(2sinA,4cs2A2−2)=(2sinA,2csA)．
∴ |2n→+p→|=4sin2A+4cs2A=2．
【答案】
解：(1)由茎叶图可知分数在[50,60)的人数为2人．则分数在[50,60)的矩形的面积为0.008×10=0.08，
即分数在[50,60)的频率为0.08．
设全班人数为n人，则2n=0.08，
解得n=25人．
(2)则分数在[80,90)之间的人数为25−21=4人．
则对应的频率为425=0.16，
所以频率组距=0.1610=0.016，
即频率分布直方图中[80,90) 间的矩形的高为0.016．
【考点】
频率分布直方图
茎叶图
【解析】
(1)利用茎叶图和频率分布直方图确定分数在[50,60)的面积，然后求出对应的频率和人数．
(2)利用茎叶图计算出分数在[80,90)之间的人数，以及对应的频率，然后计算出对应矩形的高．
【解答】
解：(1)由茎叶图可知分数在[50,60)的人数为2人．则分数在[50,60)的矩形的面积为0.008×10=0.08，
即分数在[50,60)的频率为0.08．
设全班人数为n人，则2n=0.08，
解得n=25人．
(2)则分数在[80,90)之间的人数为25−21=4人．
则对应的频率为425=0.16，
所以频率组距=0.1610=0.016，
即频率分布直方图中[80,90) 间的矩形的高为0.016．
【答案】
解：(1)由Aa,2a，Bb,3b可得：tanα=2，tanβ=3．
tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，
由α，β∈0,π2得α+β∈0,π，
∴ α+β=34π．
(2)由(1)得tanβ=3，
∵ β∈0,π2，
∴ sinβ=31010，csβ=1010．
sin2β=2sinβ⋅csβ=2⋅31010⋅1010=35．
cs2β=cs2β−sin2β=10102−310102=−45．
故sinα+3β=sin34π+2β
=22⋅cs2β+−22⋅sin2β
=22×−45+−22⋅35=−7210．
【考点】
任意角的概念
两角和与差的正切公式
象限角、轴线角
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由Aa,2a，Bb,3b可得：tanα=2，tanβ=3．
tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，
由α，β∈0,π2得α+β∈0,π，
∴ α+β=34π．
(2)由(1)得tanβ=3，
∵ β∈0,π2，
∴ sinβ=31010，csβ=1010．
sin2β=2sinβ⋅csβ=2⋅31010⋅1010=35．
cs2β=cs2β−sin2β=10102−310102=−45．
故sinα+3β=sin34π+2β
=22⋅cs2β+−22⋅sin2β
=22×−45+−22⋅35=−7210．
【答案】
(1)证明：三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，
∴ 四边形BCC1B1为矩形，
∴ E为B1C中点，
又D为AB1的中点，DE为△ACB1中位线，
故DE//AC，
又AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C，
∴ DE//平面AA1C1C．
(2)解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥CC1，
又AC⊥BC，
∴ AC⊥平面BB1C1C，
∴ AC⊥C1E，
∵ BC=CC1，
∴ 矩形BCC1B1为正方形，
∴ C1E⊥B1C，
又C1E⊥AC，
∴ C1E⊥平面ACB1，
故C1到平面ACB1的距离C1E=2，
又∵ A1C1//AC，
∴ A1C1//平面ACB1，
故A1到平面ACB1的距离等于C1E=2．
【考点】
直线与平面平行的判定
点、线、面间的距离计算
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，
∴ 四边形BCC1B1为矩形，
∴ E为B1C中点，
又D为AB1的中点，DE为△ACB1中位线，
故DE//AC，
又AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C，
∴ DE//平面AA1C1C．
(2)解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥CC1，
又AC⊥BC，
∴ AC⊥平面BB1C1C，
∴ AC⊥C1E，
∵ BC=CC1，
∴ 矩形BCC1B1为正方形，
∴ C1E⊥B1C，
又C1E⊥AC，
∴ C1E⊥平面ACB1，
故C1到平面ACB1的距离C1E=2，
又∵ A1C1//AC，
∴ A1C1//平面ACB1，
故A1到平面ACB1的距离等于C1E=2．
【答案】
解：(1)由题意得m→⋅n→=3sinA−csA=1，
2sinA−π6=1，
得：sinA−π6=12，
由A为锐角可得：A−π6=π6，A=π3．
(2)fx=2sinA−π12+xsinA−π12−x+4csxsinx
=2sinπ4+xsinπ4−x+4csxsinx
=2sinπ4+xcsπ4+x+4csxsinx
=cs2x+2sin2x=5255sin2x+55cs2x
=5sin2x+φ，
φ为锐角，且csφ=255，sinφ=55，
x∈0,π2⇒2x+φ∈φ,π+φ，
故sin2x+φ最小值为sinπ+φ=−55，
最大值为1，故fx值域为−1,5．
【考点】
平面向量数量积的运算
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意得m→⋅n→=3sinA−csA=1，
2sinA−π6=1，
得：sinA−π6=12，
由A为锐角可得：A−π6=π6，A=π3．
(2)fx=2sinA−π12+xsinA−π12−x+
4csxsinx
=2sinπ4+xsinπ4−x+4csxsinx
=2sinπ4+xcsπ4+x+4csxsinx
=cs2x+2sin2x=5255sin2x+55cs2x
=5sin2x+φ，
φ为锐角，且csφ=255，sinφ=55，
x∈0,π2⇒2x+φ∈φ,π+φ，
故sin2x+φ最小值为sinπ+φ=−55，
最大值为1，故fx值域为−1,5．
【答案】
解：(1)由题意，f0=k−1=0⇒k=1，代入验证，符合题意，
f1=a−1a=32⇒a=2或a=−12（舍），
故k=1，a=2．
(2)令t=2x−2−x，
易知t=2x−2−x为增函数，
故由x∈−1,1，
可得：t∈−32,32．
对函数gx=ℎt=t2−mt+2，t∈−32,32，
它的最小值为−2，等价于
m2<−32,ℎ−32=94+32m+2=−2,
或−32≤m2≤32,ℎm2=m22−m⋅m2+2=−2,
或m2>32,ℎ32=94−32m+2=−2,
解得：m=−256或256．
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的最值及其几何意义
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，f0=k−1=0⇒k=1，代入验证，符合题意，
f1=a−1a=32⇒a=2或a=−12（舍），
故k=1，a=2．
(2)令t=2x−2−x，
易知t=2x−2−x为增函数，
故由x∈−1,1，
可得：t∈−32,32．
对函数gx=ℎt=t2−mt+2，t∈−32,32，
它的最小值为−2，等价于
m2<−32,ℎ−32=94+32m+2=−2,
或−32≤m2≤32,ℎm2=m22−m⋅m2+2=−2,
或m2>32,ℎ32=94−32m+2=−2,
解得：m=−256或256．