2020-2021学年广西河池市高一（下）5月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广西河池市高一（下）5月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 459和357的最大公约数为( )
A.3B.9C.17D.51

2. 已知向量a→=4,−2，向量b→=x,5，且a→//b→，那么x的值等于( )
A.10B.−10C.−52D.5

3. 若函数fx=cs2x+φ是奇函数，则φ可取一个值为( )
A.−π2B.−πC.π4D.2π

4. P是△ABC所在平面内一点，若CB→=λPA→+PB→，其中λ∈R，则P点一定在( )
A.△ABC的内部B.AC边所在直线上
C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上

5. 已知向量a→与b→的夹角为120∘，|a→|=3，|a→+b→|=13，则|b→|等于( )
A.5B.4C.3D.1

6. 直线l1:x−2y+1=0的倾斜角为α，直线l2:x+3y−1=0的倾斜角为β，则β−α=( )
A.π4B.−π4C.3π4D.−3π4

7. 已知|AB→|=9，|BC→|=7，则|AC→|的取值范围是( )
A.2,16B.[2,16)C.3,10D.(3,10]

8. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=π3对称的是（ ）
A.y=sin(2x−π3)B.y=sin(2x−π6)C.y=sin(2x+π6)D.y=sin(x2+π6)

9. 如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC→=λAM→+μBN→，则λ+μ=( )

A.2B.45C.65D.85

10. 若a→，b→是非零向量且满足(a→−2b→)⊥a→，(b→−2a→)⊥b→，则a→与b→的夹角是（ ）
A.π3B.π6C.2π3D.5π6

11. 已知2sin2x+cs2y=1，则sin2x+cs2y的取值范围为（ ）
A.[0,1]B.[12,1]C.[22,1]D.[12,22]

12. 定义mina,b=a，a≤b，b，a≥b，若函数fx=min{sin2x+π6,cs2x}，且fx在区间s,t上的值域为−1,12，则区间s,t长度的最大值为（ ）
A.π3B.π2C.5π6D.π
二、填空题

用秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x−8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=−4时的值时，V3的值为________．

把“五进制”数1234(5)转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数为________.

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=________．


已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0， |φ|<π2) 的图象与直线y=1的交点中，相邻两个交点距离的最小值为π3，且fx≤fπ12对任意实数x恒成立，则φ=_____.
三、解答题

已知|a→|=2，|b→|=3，a→与|b→|的夹角为60∘．
(1)求|a→+b→|的值；

(2)当实数x为何值时，xa→−b→与a→+3b→垂直？

已知a→=(1, 2)，b→=(−3, 2)，当k为何值时.
(1)ka→+b→与a→−3b→垂直；

(2)ka→+b→与a→−3b→平行．

已知函数fx=Asin2x−π3，且fπ2=3．求函数fx的最大值以及单调递减区间．

已知向量a→=(csx,sinx)，b→=(3,−3)，x∈[0,π]．
(1)若a→//b→，求x的值；

(2)记f(x)=a→⋅b→，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．

已知ω>0，平面向量m→=(2sinωx, 3)，n→=(2cs(ωx+π3),1)，函数f(x)=m→⋅n→的最小正周期是π．
(1)求f(x)的解析式和对称轴方程；

(2)求f(x)在[−π4,π6]上的值域．

已知函数fx=2sin2π4+x−3cs2x．
(1)求fx的最小正周期；

(2)求fx在x∈π4,π2上的最大值及取得最大值时x的集合；

(3)若不等式−2+m参考答案与试题解析
2020-2021学年广西河池市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
用辗转相除计算最大公约数
【解析】
用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．
【解答】
解：∵ 459÷357=1⋯⋯102，
357÷102=3⋯⋯51，
102÷51=2，
∴ 459和357的最大公约数是51.
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若a→//b→，则−2x=4×5，
则x=−10.
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
余弦函数的奇偶性
【解析】
利用诱导公式，三角函数的奇偶性，求得φ的值．
【解答】
解：∵ 函数fx=cs2x+φ是奇函数，
∴ φ=kπ+π2，k∈Z，
当k=−1时，φ=−π2.
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
平面向量的综合题
【解析】

【解答】
解：∵ CB→=PB→−PC→，CB→=λPA→+PB→，
∴ PB→−PC→=λPA→+PB→，则−PC→=λPA→，
∴ PC→//PA→，即PC→与PA→共线，
∴ 点P一定在AC边所在直线上.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
平面向量数量积的运算
【解析】
本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，再根据和的模两边平方，联立解题，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．
【解答】
解：∵ 向量a→与b→的夹角为120∘，|a→|=3，|a→+b→|=13，
∴ a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cs120∘=−32|b→| .
∵ |a→+b→|2=|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2，
∴ 13=9−3|b→|+|b→|2，
∴ |b→|=−1（舍去）或|b→|=4，
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
先求出两条直线的斜率，得到k1=12，k2=−13，再用两条直线的到角公式，求出直线l1:x−2y+1=0到直线l2:x+3y−1=0的角的正切值，最后根据正切函数在[0, π)上取值的情况，得到β−α的角．
【解答】
解：由题意得，直线l1的斜率为k1=12，
直线l2的斜率为k2=−13，
直线l1与直线l2之间的夹角为β−α，
则tan(β−α)=k2−k11+k1k2=−13−121−13×12=−1，
∵ β−α∈[0, π)
∴ β−α=3π4.
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
向量的模
三角函数的最值
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】

【解答】
解：设AB→与BC→之间的夹角为θ，
∵ AC→=AB→+BC→，
∴ |AC→|=|AB→+BC→|=|AB→+BC→|2
=|AB→|2+|BC→|2+2AB→⋅BC→
=130+126csθ，
∵ −1≤csθ≤1，
∴ 2≤|AC→|≤16.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的对称性
【解析】
将x=π3代入各个关系式，看看能否取到最值即可．
【解答】
解：∵ y=f(x)的最小正周期为π，可排除D；
其图象关于直线x=π3对称，
∴ A中，f(π3)=sinπ3=32≠±1，故A不满足；
对于B，f(π3)=sin(2π3−π6)=sinπ2=1，故B满足题意；
对于C，f(π3)=sin(2π3+π6)=sin5π6=12≠±1，故C不满足；
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量数乘的运算及其几何意义
平面向量的坐标运算
向量在几何中的应用
【解析】
本题考查向量的运算．
【解答】
解：根据题意建立如图所示直角坐标系，
设正方形的边长为2，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，N(1,2)，
所以AC→=(2,2)，AM→=(2,1)，BN→=(−1,2)．
由AC→=λAM→+μBN→，
得(2,2)=λ(2,1)+μ(−1,2)，
即(2,2)=(2λ−μ,λ+2μ)，
所以2λ−μ=2，λ+2μ=2，
解得λ=65，μ=25，
所以λ+μ=85．
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
利用两个向量垂直，数量积等于0，得到 a→2=b→2=2 a→⋅b→，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．
【解答】
解：∵ ( a→−2b→)⊥a→，( b→−2a→)⊥b→，
∴ ( a→−2b→)⋅a→=a→2−2 a→⋅b→=0，
( b→−2a→)⋅b→=b→2−2 a→⋅b→=0，
∴ a→2=b→2=2 a→⋅b→
设 a→与 b→的夹角为θ，
则csθ=a→⋅b→|a→||b→|=12 ，则θ=π3.
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数间的基本关系
正弦函数的定义域和值域
【解析】
利用平方关系化简，结合三角函数值的范围，即可得到结论．
【解答】
解：∵ 2sin2x+cs2y=1，
∴ cs2y=1−2sin2x，
∴ 0≤1−2sin2x≤1，
∴ 0≤sin2x≤12，
又sin2x+cs2y=sin2x+1−2sin2x=1−sin2x，
∴ sin2x+cs2y的取值范围为[12,1].
故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的图象
【解析】
利用题意首先画出函数图象，然后结合新定义的内容整理计算即可求得最终结果．
【解答】
解：在同一平面直角坐标系中绘制出函数y=sin2x+π6和函数y=cs2x的图象如图所示：
则函数fx的图象为两函数图象自变量相同时函数在下方的部分，
由图可知，[s,t]的最长区间为|MN|，
sin(2π+π6)=12，cs(2⋅π6)=12，
则xM=π6，xN=π，
故|AB|=5π6，则区间[s,t]长度的最大值为5π6.
故选C.
二、填空题
【答案】
−57
【考点】
秦九韶算法
【解析】
首先把一个n次多项式f(x)写成(…（(a[n]x+a[n−1])x+a[n−2]）x+...+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V3的值．
【解答】
解：∵ f(x)=12+35x−8x2+79x3+6x4+5x5+3x6
=(((((3x+5)x+6)x+79)x−8)x+35)x+12，
∴ v0=a6=3，
v1=v0x+a5=3×(−4)+5=−7，
v2=v1x+a4=−7×(−4)+6=34，
v3=v2x+a3=34×(−4)+79=−57，
∴ V3的值为−57.
故答案为：−57.
【答案】
302(8)
【考点】
进位制
【解析】

【解答】
解：1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194，
194÷8=24⋯⋯2，
24÷8=3⋯⋯0，
3÷8=0⋯⋯3，
∴ 194=302(8).
故答案为：302(8).
【答案】
5
【考点】
程序框图
【解析】
框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a＝3a+1，否执行路径a=a2，再执行i＝i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i的值．
【解答】
解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1．
判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，
执行a=102=5，i=1+1=2；
判断5=4不成立，判断5是奇数成立，
执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；
判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，
执行a=162=8，i=3+1=4；
判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，
执行a=82=4，i=4+1=5；
判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5．
故答案为：5．
【答案】
π3
【考点】
正弦函数的图象
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
三角函数的最值
【解析】
由题意，函数fx图象与直线y=1的交点中，相邻两个交点距离的最小值为π3，即|x2−x1|=π3 ，可得ω=2此时fx=2sin2x+φ，因为fx≤fπ12对任意实数x恒成立，可得x=π12时，可得最大值，进而即可得到答案.
【解答】
解：由题意，函数fx图象与直线y=1的交点中，
相邻两个交点距离的最小值为π3，
联立y=2sinωx+φ，y=1，
可得sinωx+φ=12，
不妨令ωx1+φ=π6+2kπ，
ωx2+φ=5π6+2kπ，k∈Z，
则|x2−x1|=π3，
可得ω=2，则f(x)=2sin(2x+φ)，
因为fx≤fπ12对任意实数x恒成立，
则当x=π12时，f(x)取得最大值，
即2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，
所以φ=π3.
故答案为：π3.
三、解答题
【答案】
解：(1)由已知得a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cs60∘=3，
∴ |a→+b→|=a→+b→2
=a→2+b→2+2a→⋅b→=19．
(2)因为xa→−b→与a→+3b→垂直，
所以(xa→−b→)⋅a→+3b→=0，
所以xa→2+3x−1a→⋅b→−3b→2=13x−30=0，
解得x=3013．
【考点】
向量的模
平面向量数量积的运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cs60∘=3，
∴ |a→+b→|=a→+b→2
=a→2+b→2+2a→⋅b→=19．
(2)因为xa→−b→与a→+3b→垂直，
所以(xa→−b→)⋅a→+3b→=0，
所以xa→2+3x−1a→⋅b→−3b→2=13x−30=0，
解得x=3013．
【答案】
解：(1)∵ a→=(1, 2)，b→=(−3, 2)，
∴ ka→+b→=(k−3, 2k+2)，a→−3b→=(10, −4)，
∵ ka→+b→与a→−3b→垂直，
∴ 10(k−3)−4(2k+2)=0，
解得k=19.
(2)由(1)得，ka→+b→=(k−3, 2k+2)，
a→−3b→=(10, −4)，
∵ ka→+b→与a→−3b→平行，
∴ −4(k−3)−10(2k+2)=0，
解得k=−13.
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平行向量的性质
【解析】
由已知可先表示ka→+b→，a¯−3b→，然后分别根据向量垂直及平行的坐标表示即可求解k
【解答】
解：(1)∵ a→=(1, 2)，b→=(−3, 2)，
∴ ka→+b→=(k−3, 2k+2)，a→−3b→=(10, −4)，
∵ ka→+b→与a→−3b→垂直，
∴ 10(k−3)−4(2k+2)=0，
解得k=19
(2)由(1)得，ka→+b→=(k−3, 2k+2)，
a→−3b→=(10, −4)，
∵ ka→+b→与a→−3b→平行，
∴ −4(k−3)−10(2k+2)=0，
解得k=−13.
【答案】
解：∵ 函数fx=Asin2x−π3，且fπ2=3，
∴ fπ2=Asin2π3=A×32=3 ，则A=2，
∴ 函数fx=2sin2x−π3，
∴ 函数fx=Asin2x−π3的最大值为2.
由2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z，
得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，k∈Z，
即fx的单调减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12]，k∈Z．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
三角函数的最值
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 函数fx=Asin2x−π3，且fπ2=3，
∴ fπ2=Asin2π3=A×32=3 ，则A=2，
∴ 函数fx=2sin2x−π3，
∴ 函数fx=Asin2x−π3的最大值为2.
由2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z，
得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，k∈Z，
即fx的单调减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12]，k∈Z．
【答案】
解：(1)∵ 向量a→=(csx,sinx)，b→=(3,−3)，x∈[0,π]．
由a→//b→，
可得−3csx=3sinx，
即tanx=−33，
∴ x=5π6．
(2)由f(x)=a→⋅b→=3csx−3sinx=23sin(x+2π3).
∵ x∈[0, π]，
∴ x+2π3∈[2π3,5π3]，
∴ 当x+2π3=2π3时，即x=0时f(x)max=3；
当x+2π3=3π2，即x=5π6时f(x)min=−23．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
同角三角函数间的基本关系
数量积的坐标表达式
正弦函数的单调性
三角函数的最值
【解析】
（1）根据a→∥b→，利用向量的坐标关系建立等式即可求x的值．
（2）根据f(x)=a→⋅b→求解求函数y＝f(x)解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．
【解答】
解：(1)∵ 向量a→=(csx,sinx)，b→=(3,−3)，x∈[0,π]．
由a→//b→，
可得−3csx=3sinx，
即tanx=−33，
∴ x=5π6．
(2)由f(x)=a→⋅b→=3csx−3sinx=23sin(x+2π3).
∵ x∈[0, π]，
∴ x+2π3∈[2π3,5π3]，
∴ 当x+2π3=2π3时，即x=0时f(x)max=3；
当x+2π3=3π2，即x=5π6时f(x)min=−23．
【答案】
解：(1)f(x)=m→⋅n→
=4sinωxcs(ωx+π3)+3
=4sinωx(12csωx−32sinωx)+3
=2sinωxcsωx−23sin2ωx+3
=sin2ωx+3cs2ωx
=2sin(2ωx+π3)，
∵ ω>0，T=2π2ω=π，
解得ω=1，
∴ 函数f(x)=2sin(2x+π3).
由2x+π3=π2+kπ，k∈Z，
得f(x)的对称轴方程为x=π12+kπ2，k∈Z．
(2)∵ x∈[−π4,π6]，
∴ 2x+π3∈[−π6,2π3]，
∴ sin(2x+π3)∈[−12, 1]，
∴ 2sin(2x+π3)∈[−1, 2]，
∴ f(x)在[−π4,π6]上的值域是[−1, 2]．
【考点】
平面向量数量积的运算
正弦函数的对称性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
( I)根据平面向量数量积的运算和三角恒等变换，化简函数f(x)为正弦型函数，
利用f(x)的最小正周期求出ω的值，写出函数f(x)的解析式，求出f(x)的对称轴方程；
( II)根据x的范围求出sin(2x+π3)的取值范围，即可得出f(x)的值域．
【解答】
解：(1)f(x)=m→⋅n→
=4sinωxcs(ωx+π3)+3
=4sinωx(12csωx−32sinωx)+3
=2sinωxcsωx−23sin2ωx+3
=sin2ωx+3cs2ωx
=2sin(2ωx+π3)，
∵ ω>0，T=2π2ω=π，
解得ω=1，
∴ 函数f(x)=2sin(2x+π3).
由2x+π3=π2+kπ，k∈Z，
得f(x)的对称轴方程为x=π12+kπ2，k∈Z．
(2)∵ x∈[−π4,π6]，
∴ 2x+π3∈[−π6,2π3]，
∴ sin(2x+π3)∈[−12, 1]，
∴ 2sin(2x+π3)∈[−1, 2]，
∴ f(x)在[−π4,π6]上的值域是[−1, 2]．
【答案】
解：(1)由题意知，函数fx=2sin2π4+x−3cs2x，
化简得，fx=1−csπ2+2x−3cs2x
=1+sin2x−3cs2x=2sin2x−π3+1，
故fx=2sin2x−π3+1，
则f(x)的最小正周期为T=2π2=π．
(2)由(1)可得fx=2sin2x−π3+1，
∵ x∈π4,π2，
∴2x−π3∈π6,2π3，
当2x−π3=π2，且x=5π12时，
sin2x−π3=1，则fxmax=3，此时x∈5π12．
(3)若不等式−2+m由(2)可知函数fx在x∈π4,π2上，fxmax=3，fxmin=2，
∴2+m>3,−2+m<2,
解得：1故实数m的取值范围为1,4．
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
正弦函数的周期性
三角函数的最值
【解析】
(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可．
(Ⅱ)求出相位的范围，利用正弦函数的最值求解即可．
(Ⅲ)求出函数的最值，然后转化求解m的范围即可．
【解答】
解：(1)由题意知，函数fx=2sin2π4+x−3cs2x，
化简得，fx=1−csπ2+2x−3cs2x
=1+sin2x−3cs2x=2sin2x−π3+1，
故fx=2sin2x−π3+1，
则f(x)的最小正周期为T=2π2=π．
(2)由(1)可得fx=2sin2x−π3+1，
∵ x∈π4,π2，
∴2x−π3∈π6,2π3，
当2x−π3=π2，且x=5π12时，
sin2x−π3=1，则fxmax=3，此时x∈5π12．
(3)若不等式−2+m由(2)可知函数fx在x∈π4,π2上，fxmax=3，fxmin=2，
∴2+m>3,−2+m<2,
解得：1故实数m的取值范围为1,4．