2020-2021年四川省高一（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年四川省高一（下）期中考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x|x>−1，B=x|x2+2x−3<0，则A∩B=( )
A.−1,3B.−1,1C.−1,+∞D.−3,1

2. AB→+AC→−BC→+BA→化简后等于( )
A.3AB→B.AB→C.BA→D.CA→

3. 已知a>b，c>d，且cd≠0，则( )
A.a+c>b+dB.ac>bdC.a−c>b−dD.ad>bc

4. 在△ABC中，A=30∘，C=15∘， a=5，则b=( )
A.102B.53C.52D.103

5. 不等式x−12x+1≤0的解集为( )
A.−12,1B.−12,1
C.−∞,−12∪[1,+∞)D.−∞,−12∪1,+∞

6. 已知a>0，b>0，且2是2a与b的等差中项，则ab的最大值为( )
A.14B.12C.2D.4

7. △ABC是边长为4的等边三角形，AD→=13DC→，则BD→⋅BC→=( )
A.−2B.10C.12D.14

8. 某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为x米和3千米，测得灯塔A在观察站C的正西方向，灯塔B在观察站C西偏南30∘，若两灯塔A，B之间的距离恰好为3千米，则x的值为( )
A.3B.3C.23D.3或23

9. 在△ABC中，A=30∘，AB=2，且△ABC的面积为3，则△ABC外接圆的半径为( )
A.233B.433C.2D.4

10. 已知函数fx=sinω2x+φ(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=fx的图象( )
A.关于点π12,0对称B.关于直线x=π12对称
C.关于直线x=5π12对称D.关于点5π12,0对称

11. 在△ABC 中，若sinCsinA=3，b2−a2=52ac，则csB的值为( )
A.15B.14C.13D.12

12. 若不等式lg1+1−m2x+4x+1≥2xlg2在x∈[0,+∞)上恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.(−∞,2]B.(−∞,2]C.(−∞,4]D.(−∞,5]
二、填空题

已知向量a→=1,2，b→=−3,4，则a→⋅b→=________.

已知α∈0,π，且sinα+csα=12，则sin2α的值为________.

数列an中，a1=1，an=1an−1+1（n≥2，n∈N∗），则a4=________.

已知定义在R上的单调函数fx满足对任意的x1，x2，都有fx1+x2=fx1+fx2成立，若正实数a，b满足fa+f2b−1=0，则1a+2b的最小值为________.
三、解答题

已知a→=(1, 2)，b→=(−3, 2)．
(1)求a→−b→及|a→−b→|；

(2)若ka→+b→与a→−b→垂直，求实数k的值.


(1)在等差数列an中，已知a5=10，a12=31，求数列an的通项公式；

(2)已知数列an的通项公式为an=−3n2+10n，当n为何值时，an有最大值？并求出最大值.

已知函数fx=ax2+bx−a+2．
(1)若关于x的不等式fx>0的解集是−1,3，求实数a的值；

(2)若b=2，a>0，解关于x的不等式fx>0．

已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x−π6)+cs2x+1．
(1)求函数f(x)的最小正周期和函数的单调递增区间；

(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=3，B=π4，a=3，求AB．

某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)=13x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，C(x)=51x+10000x−1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量 m→= (sinA, sinB−sinC)，n→= (a − 3b, b+c)，且m→⊥n→.
(1)求角C的值；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求3a−b的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021年四川省高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
先求出集合B，再利用集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：∵ 集合A=x|x>−1 ，
B=x|x2+2x−3<0={x|−3∴ A∩B=−1,1.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
向量的三角形法则
向量的加法及其几何意义
【解析】
利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．
【解答】
解：AB→+AC→−BC→+BA→
=AB→+BA→+AC→+CB→
=AB→.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
不等式性质的应用
不等式的基本性质
【解析】
由题意，结合题目所给信息，分别列出a，b，c，d的值，再对选项进行逐一分析，进而即可求解.
【解答】
解：∵ a>b，c>d，cd≠0，
∴ a+c>b+d，故A正确；
令a=−2，b=−1，c=3，d=2，
此时ac=−2×3=−6，bd=−1×2=−2，
则aca−c=−2−3=−5，b−d=−1−2=−3，
则a−cad=−2×2=−4，bc=−1×3=−3，
则ad故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
解三角形
【解析】
由题意，根据三角形内角和求出B的大小，再利用正弦定理进行求解即可.
【解答】
解：因为A=30​∘，C=15​∘，
所以B=180​∘−A−C=180​∘−30​∘−15​∘=135​∘，
由正弦定理，得asinA=bsinB，
所以b=asinBsinA=5×2212=52 .
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
其他不等式的解法
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由x−12x+1≤0可得，
x−12x+1≤0且2x+1≠0，
解得−12≤x≤1或x≠−12，
所以不等式x−12x+1≤0的解集为−12故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】
由题意，得2是2a与b的等差中项，可得2a+b=4．再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：因为2是2a与b的等差中项，
所以2a+b=4，
因为a，b均为正数，
所以4≥22ab，
整理，得ab≤2，
当且仅当2a=b=2时，等号成立，
即ab的最大值为2.
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】
根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与数量积的定义，计算即可．
【解答】
解：如图所示，
△ABC是边长为4的等边三角形，
AD→=13DC→，
所以CD→=34CA→=34(BA→−BC→)，
所以BD→⋅BC→=(BC→+CD→)⋅BC→
=BC→2+34(BA→−BC→)⋅BC→
=34BA→⋅BC→+14BC→2
=34×4×4×cs60∘+14×16
=10．
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
解三角形的实际应用
余弦定理的应用
【解析】
在△ABC中，利用余弦定理即可得出．
【解答】
解：如图，
在△ABC中，∠ACB=60∘，AC=x，BC=3，AB=3，
由余弦定理，得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC，
即(3)2=x2+32−2×3×x×cs30∘，
整理，得x2−33x+6=0，
解得x=3或23．
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
由已知利用三角形面积公式可求b，进而利用余弦定理解得a，根据正弦定理即可求得外接圆半径R的值．
【解答】
解：在△ABC中，A=30∘，c=AB=2，
由正弦定理，得S△ABC = 12bcsinA = 12b×2 × 12 = 3，
解得b=23.
由余弦定理，得a2=12+4−2×23×2×32=4，
解得a=2.
由正弦定理，得asinA = 2R（R为外接圆半径），
则R = 22×12=2．
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的对称性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由题意，先求出函数的最小正周期，再由函数的变换求出函数的解析式，根据函数在对称轴处取得最值，结合选项进行分析即可.
【解答】
解：由题意可得2πω2=π，解得ω=4
∴ 函数fx=sin2x+φ.
∵ fx的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的函数为
y=sin2x−π3+φ=sin2x−2π3+φ是奇函数，
∴ f(0)=0，即−2π3+φ=kπ(k∈Z)，
∴ φ=2π3+kπ(k∈Z).
∵ |φ|<π2，
∴ φ=−π3，
∴ 函数f(x)=sin(2x−π3)，
可知x=5π12 时，函数 fx=sinπ2=1 ，
∴ 该函数关于直线x=5π12对称.
故选C.
11.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
由题意，利用正弦定理得ca=3，结合余弦定理进行求解即可.
【解答】
解：∵ sinCsinA=3，
由正弦定理，得ca=3，
由余弦定理，得csB=a2+c2−b22ac=c2−52ac2ac
=12⋅ca−54=32−54=14.
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
函数恒成立问题
对数的运算性质
不等式恒成立问题
【解析】
由对数函数的单调性，可得m≤2−x+4⋅2x在x∈[0,+∞）上恒成立，运用换元法和对勾函数的单调性，求得最小值，可得所求范围．
【解答】
解：∵ 不等式lg1+1−m2x+4x+1≥2xlg2在x∈[0,+∞)上恒成立，
∴ 1+1−m2x+4x+1≥22x=2x，
即m≤2−x+4⋅2x在x∈[0,+∞)上恒成立.
设2x=t，t≥1，
∴ ft=4t+t−1在[1,+∞)上递增，
∴ ft的最小值为f1=5，
∴ m≤5，即实数m的取值范围为(−∞,5].
故选D.
二、填空题
【答案】
5
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
（1）根据题目所给信息进行解题即可.
【解答】
解：已知向量a→=(1,2)，b→=(−3,4)，
则a→⋅b→=1×(−3)+2×4=5.
故答案为：5.
【答案】
−34
【考点】
二倍角的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由题意，对sinα+csα=12，两边同时进行平方，结合同角三角函数的基本关系以及二倍角公式进行求解即可.
【解答】
解：∵ sinα+csα=12，
∴ 两边同时平方得sin2α+2sinαcsα+cs2α=14，
解得2sinαcsα=sin2α=−34.
故答案为：−34.
【答案】
53
【考点】
数列递推式
【解析】
由题意，已知数列表达式，可将n=2，3，4分别代入，进而即可求解.
【解答】
解：∵ 当n≥2时，an=1an−1+1，
∴ 当n=2时，a2=1+1=2；
当n=3时，a3=12+1=32；
当n=4时，a4=23+1=53.
故答案为：53.
【答案】
9
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
抽象函数及其应用
奇偶性与单调性的综合
【解析】
首先判定函数是奇函数，由所给的等式可得f(x)=f(1−2b)，再由fx单调递增可得a=1−2b，从而得到a+2b=1，再利用基本不等式得出结论．
【解答】
解：不妨令x1=0，x2=0，则有f0+0=f0+f0，
解得f0=0，
当x1=x，x2=−x时，有f0=fx+f−x=0，
则函数fx是奇函数.
∵ 单调奇函数满足对任意实数a，b满足fa+f2b−1=0，
∴ fa=f1−2b，
∴ a+2b=1，
∴ 1a+2b=1a+2ba+2b=5+2ba+2ab
≥5+22ba⋅2ab=9，
当且仅当2ba=2ab，a+2b=1，即a=b=13时，等号成立.
∴ 1a+2b的最小值为9.
故答案为：9.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a→=(1, 2)，b→=(−3, 2)，
∴ a→−b→=（4，0），
∴ |a→−b→|=42+0=4.
(2)∵ a→=(1, 2)，b→=(−3, 2)，
∴ ka→+b→=k(1, 2)+(−3, 2)=(k−3, 2k+2).
∵ (ka→+b→)⊥(a→−b→)，a→−b→=（4,0），
∴ (ka→+b→)⋅(a→−b→)=4(k−3)+0=0，
解得k=3.
【考点】
向量的模
平面向量的坐标运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积的坐标表达式
【解析】
（1）利用向量的坐标运算法则和模的计算公式即可得出．
(2)(ka→+b→)⊥(a→−b→)⇔(ka→+b→)⋅(a→−b→)=0，即可得出．
【解答】
解：(1)∵ a→=(1, 2)，b→=(−3, 2)，
∴ a→−b→=（4，0），
∴ |a→−b→|=42+0=4.
(2)∵ a→=(1, 2)，b→=(−3, 2)，
∴ ka→+b→=k(1, 2)+(−3, 2)=(k−3, 2k+2).
∵ (ka→+b→)⊥(a→−b→)，a→−b→=（4,0），
∴ (ka→+b→)⋅(a→−b→)=4(k−3)+0=0，
解得k=3.
【答案】
解：(1)由题意，设等差数列an的公差为d .
∵a5=10 ，a12=31，
∴a5=a1+4d=10，a12=a1+11d=31，
解得a1=−2，d=3，
∴an=a1+n−1d=−2+3n−1=3n−5n∈N∗.
(2)由题意，得an=−3n2+10n=−3n−532+253 ，
又n∈N∗，
则当n=2时，an有最大值，且最大值为a2=−3×4+10×2=8.
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的性质
数列的应用
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，设等差数列an的公差为d .
∵a5=10 ，a12=31，
∴a5=a1+4d=10，a12=a1+11d=31，
解得a1=−2，d=3，
∴an=a1+n−1d=−2+3n−1=3n−5n∈N∗.
(2)由题意，得an=−3n2+10n=−3n−532+253 ，
又n∈N∗，
则当n=2时，an有最大值，且最大值为a2=−3×4+10×2=8.
【答案】
解：(1)∵fx=ax2+bx−a+2>0的解集为−1,3，
∴方程ax2+bx−a+2=0的两根为−1和3，且a<0，
∴−1+3=−ba,−1×3=−a+2a,
解得a=−1,b=2,
∴a的值为−1.
(2)∵b=2，a>0，
∴fx=ax2+2x−a+2=(x+1)(ax−a+2)>0，
∴方程fx=0的两根为−1和a−2a，
∴当−1>a−2a即a<1时，x−1；
当−1=a−2a即a=1时，x≠−1；
当−11时，x<−1或x>a−2a，
∴综上，当0−1；
当a=1时，原不等式解集为x|x≠−1；
当a>1时，原不等式解集为x|x<−1或x>a−2a.
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)∵fx=ax2+bx−a+2>0的解集为−1,3，
∴方程ax2+bx−a+2=0的两根为−1和3，且a<0，
∴−1+3=−ba,−1×3=−a+2a,
解得a=−1,b=2,
∴a的值为−1．
(2)∵b=2，a>0，
∴fx=ax2+2x−a+2=(x+1)(ax−a+2)>0，
∴方程fx=0的两根为−1和a−2a，
∴当−1>a−2a即a<1时，x−1；
当−1=a−2a即a=1时，x≠−1；
当−11时，x<−1或x>a−2a，
∴综上，当0−1；
当a=1时，原不等式解集为x|x≠−1；
当a>1时，原不等式解集为x|x<−1或x>a−2a.
【答案】
解：(1)∵ 函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x−π6)+cs2x+1
=(32sin2x+12cs2x)+(32sin2x−12cs2x)+cs2x+1
=3sin2x+cs2x+1
=2sin(2x+π6)+1，
∴ 函数f(x)的最小正周期T=2πω=2π2=π，
由正弦函数的单调性，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，
解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，其中k∈Z，
∴ 函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z.
(2)由(1)可知，f(x)=2sin(2x+π6)+1，
则f(A)=2sin(2A+π6)+1=3，
解得sin(2A+π6)=1，
又△ABC中，B=π4，
∴ 0∴ π6<2A+π6<5π3，
∴ 2A+π6=π2，
∴ A=π6，
∴ sinC=sin(π−A−B)=sin(A+B)=sin(π6+π4)
=sinπ6csπ4+csπ6sinπ4
=2+64；
由正弦定理，得asinA=csinC，
∴ c=asinCsinA=3×2+6412=32+62．
【考点】
两角和与差的正弦公式
复合三角函数的单调性
正弦函数的周期性
正弦定理
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
（1）化函数f(x)为正弦型函数，求出f(x)的最小正周期和单调递增区间；
（2）由f(A)求出A的值，再利用三角恒等变换求出sinC的值，利用正弦定理求出c的值．
【解答】
解：(1)∵ 函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x−π6)+cs2x+1
=(32sin2x+12cs2x)+(32sin2x−12cs2x)+cs2x+1
=3sin2x+cs2x+1
=2sin(2x+π6)+1，
∴ 函数f(x)的最小正周期T=2πω=2π2=π，
由正弦函数的单调性，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，
解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，其中k∈Z，
∴ 函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z.
(2)由(1)可知，f(x)=2sin(2x+π6)+1，
则f(A)=2sin(2A+π6)+1=3，
解得sin(2A+π6)=1，
又△ABC中，B=π4，
∴ 0∴ π6<2A+π6<5π3，
∴ 2A+π6=π2，
∴ A=π6，
∴ sinC=sin(π−A−B)=sin(A+B)=sin(π6+π4)
=sinπ6csπ4+csπ6sinπ4
=2+64；
由正弦定理，得asinA=csinC，
∴ c=asinCsinA=3×2+6412=32+62．
【答案】
解：(1)∵ 每件商品售价为0.05万元，
∴ x千件商品销售额为0.05×1000x万元，
①当0∴ L(x)=(0.05×1000x)−13x2−10x−250
=−13x2+40x−250;
②当x≥80时，根据年利润=销售收入−成本，
∴ L(x)=(0.05×1000x)−51x−10000x+1450−250
=1200−(x+10000x)．
综合①②可得，L(x)=−13x2+40x−250，0(2)由(1)可知，−13x2+40x−250，0①当0∴ 当x=60时，L(x)取得最大值L(60)=950万元；
②当x≥80时，L(x)=1200−(x+10000x)
≤1200−2x⋅10000x=1200−200=1000，
当且仅当x=10000x，即x=100时，
L(x)取得最大值L(100)=1000万元．
综合①②，由于950<1000，
∴ 当产量为100千件时，该厂在这种商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
函数最值的应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）分两种情况进行研究，当0（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0【解答】
解：(1)∵ 每件商品售价为0.05万元，
∴ x千件商品销售额为0.05×1000x万元，
①当0∴ L(x)=(0.05×1000x)−13x2−10x−250
=−13x2+40x−250;
②当x≥80时，根据年利润=销售收入−成本，
∴ L(x)=(0.05×1000x)−51x−10000x+1450−250
=1200−(x+10000x)．
综合①②可得，L(x)=−13x2+40x−250，0(2)由(1)可知，−13x2+40x−250，0①当0∴ 当x=60时，L(x)取得最大值L(60)=950万元；
②当x≥80时，L(x)=1200−(x+10000x)
≤1200−2x⋅10000x=1200−200=1000，
当且仅当x=10000x，即x=100时，
L(x)取得最大值L(100)=1000万元．
综合①②，由于950<1000，
∴ 当产量为100千件时，该厂在这种商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．
【答案】
解：(1)∵ m→=(sinA,sinB−sinC)，
n→=(a−3b,,b+c)，且m→⊥n→，
∴ sinA(a−3b)+(sinB−sinC)(b+c)=0，
由正弦定理得
a(a−3b)+(b−c)(b+c)=0，
即a2+b2−c2 = 3ab，
∴ csC=a2+b2−c22ab=32.
∵ C∈(0, π)，
∴ C=π6.
(2)由(1)得A+B = 5π6，即B = 5π6 − A.
∵ △ABC为锐角三角形，
∴ 0<5π6−A<π2,0解得π3< A< π2.
∵ c=1，C=π6，
∴ 由正弦定理得
asinA=bsinB=csinC=1sinπ6=2，
∴ a=2sinA，b=2sinB，
∴ 3a−b=23sinA−2sinB
=23sinA−2sin(π6+A)
=23sinA−2sinπ6csA−2csπ6sinA
=3sinA−csA=2sin(A−π6).
∵ π3< A< π2，
∴ π6∴ 12即1<2sin(A−π6)<3，
∴ 3a−b的取值范围为(1, 3).
【考点】
正弦定理
余弦定理
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
运用诱导公式化简求值
【解析】
（1）由两向量的坐标及两向量垂直，得到数量积为0，列出关系式，利用正弦定理化简后整理得到关系式，再利用余弦定理表示出csC，将得出关系式代入求出csC的值，即可确定出C的度数；
（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用正弦定理化简表示出a与b，代入所求式子，整理为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．
（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用正弦定理化简表示出a与b，代入所求式子，整理为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．
【解答】
解：(1)∵ m→=(sinA,sinB−sinC)，
n→=(a−3b,,b+c)，且m→⊥n→，
∴ sinA(a−3b)+(sinB−sinC)(b+c)=0，
由正弦定理得
a(a−3b)+(b−c)(b+c)=0，
即a2+b2−c2 = 3ab，
∴ csC=a2+b2−c22ab=32.
∵ C∈(0, π)，
∴ C=π6.
(2)由(1)得A+B = 5π6，即B = 5π6 − A.
∵ △ABC为锐角三角形，
∴ 0<5π6−A<π2,0解得π3< A< π2.
∵ c=1，C=π6，
∴ 由正弦定理得
asinA=bsinB=csinC=1sinπ6=2，
∴ a=2sinA，b=2sinB，
∴ 3a−b=23sinA−2sinB
=23sinA−2sin(π6+A)
=23sinA−2sinπ6csA−2csπ6sinA
=3sinA−csA=2sin(A−π6).
∵ π3< A< π2，
∴ π6∴ 12即1<2sin(A−π6)<3，
∴ 3a−b的取值范围为(1, 3).