2020-2021学年湖南省长沙市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 2−2i 的虚部是（ ）
A.−2B.−2C.2D.2

2. 设a→，b→是两个平面向量，则“a→=b→”是“|a→|=|b→|”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3. 水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=32，那么原△ABC是一个（ ）三角形.

A.等边B.三边互不相等的
C.三边中只有两边相等的等腰D.直角

4. 从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和不大于8”这一事件包含的样本点的个数是（ ）
A.4B.5C.6D.7

5. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人(用样本量比例分配的分层随机抽样方法)，则北面共有多少人( )
A.8000B.8100C.8200D.8300

6. 已知 a→,b→ 是单位向量，且 a→+b→=1,−1，则（ ）
A.a→=b→B.|a→|=|b→|
C.|a→+b→|=2D.a→与 a→+b→ 的夹角为π3

7. 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个白球；都是白球
B.至少有一个白球；至少有一个红球
C.恰有一个白球；一个白球一个黑球
D.至少有一个白球；红、黑球各一个

8. 设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ）
A.m⊥n，m // α⇒n⊥αB.m⊥n，m⊥α⇒n // α
C.m // n，m⊥α⇒n⊥αD.m // n，m // α⇒n // α
二、多选题

已知D，E，F分别为 △ABC 的边BC，CA，AB的中点，且 BC→=a→,CA→=b→，给出下列结论，其中正确的有（ ）
A.AC→=−b→B.BE→=a→−12b→
C.BA→=a→+b→D.EF→=12a→

下列说法正确的有（ ）
A.对任意的事件A，都有PA>0
B.随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D.若事件 A⊆ 事件B，则 PA≤PB

为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，测量了他们的体重(单位：千克)，健身之前他们的体重情况如三维饼图①所示，经过半年的健身后，他们的体重情况如三维饼图②所示，对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是( )

A.他们健身后，体重在区间[90, 100)内的人数不变
B.他们健身后，体重在区间[100, 110)内的人数减少了2
C.他们健身后，体重在区间[110, 120)内的肥胖者体重都有减轻
D.他们健身后，这20名肥胖者的体重的中位数位于区间[90, 100)

如图，在棱长均相等的四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是( )

A.PD // 平面OMN
B.平面PCD // 平面OMN
C.ON⊥PB
D.异面直线PD与MN所成角的大小为90∘
三、填空题

已知复数z满足 z=1+i （i是虚数单位），则z¯=________.

已知球O的半径为2，则球O的表面积为________．

2021年湖南新高考实行“3+1+2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为________.

如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得CD=200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45∘,30∘，又∠CBD=30∘，则塔高AB=________.

四、解答题

若复数z1=1+aia∈R，复数z2=3−4i．
(1)求|z2|；

(2)若z1+z2∈R，求实数a的值；

(3)若a=2，求z1z2．

已知向量a→=−2,1，b→=1,−2，m→=a→+3b→，n→=a→−kb→．
(1)求a→⋅b→；

(2)若m→//n→，求k的值；

(3)当 k=1 时，求m→与n→夹角的余弦值．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=22，b=5，c=13．
(1)求角C的大小；

(2)求sinA的值；

(3)求sinA+π3的值．

某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70),⋯,[90,100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图.

(1)求图中x的值；

(2)求这组数据的平均数和中位数；

(3)已知满意度评分值在[50,60)内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23 ，34．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)若甲、乙两人各射击一次，求均没有击中目标的概率；

(2)若甲连续射击，命中为止，求甲恰好射击3次结束射击的概率；

(3)若乙连续射击，直至命中2次为止，求乙恰好射击3次结束射击的概率．

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1 中，△ABC与△A1B1C1 都为正三角形，且AA1⊥面ABC，F，F1分别是AC，A1C1 的中点．求证：

(1)AF1//FC1；

(2)平面AB1F1//平面C1BF；

(3)平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省长沙市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
【解析】
利用z=a+bi(a,b∈R)的虚部为b进行求解即可.
【解答】
解：2−2i 的虚部是−2.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
相等向量与相反向量
【解析】
由a→=b→，则|a→|=|b→|是成立的；反之，若|a→|=|b→|，而a→=b→不一定成立，即可得到答案.
【解答】
解：由题意a→，b→是两个平面向量，若a→=b→，则|a→|=|b→|是成立的；
反之，若|a→|=|b→|，则向量a→，b→可能是不同的，所以a→=b→不一定成立，
所以a→=b→是|a→|=|b→|成立的充分而不必要条件．
故选A．
3.
【答案】
A
【考点】
平面图形的直观图
斜二测画法画直观图
【解析】
由图形和A′O′=32通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B′C′，AO⊥BC，且AO=3，故三角形为正三角形．
【解答】
解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，
∵ A′O′=32，
∴ AO=3.
∵ B′O′=C′O′=1,∴ BC=2,
∴ AB=AC=2,
∴ 原△ABC为等边三角形．
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
基本事件个数（列举法、列表法、树状图法）
【解析】
利用列举法得到这3个数的和不大于8的基本事件，即可得到答案.
【解答】
解：从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，
那么“这3个数的和不大于8”这一事件包含的样本点有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，共四个.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设北面人数为x，则有xx+7488+6912=108300，
解得x=8100．
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
单位向量
【解析】
由题可判断A错误；根据单位向量的概念可判断B正确；由向量模的求法可得C错误；结合C可得a→⋅b→=0，设a→与a→+b→的夹角为θ，根据csθ=a→⋅(a→+b→)|a→|⋅|a→+b→|得到a→与a→+b→的夹角为π4，可知D错误．
【解答】
解：∵ a→,b→ 是单位向量，且a→+b→=1,−1,
∴ a→≠b→，故A错误；
由题意可知： |a→|=1，|b→|=1，
∴|a→|=|b→|=1，故B正确；
∵a→+b→=1,−1,
∴|a→+b→|=1+1=2，故C错误；
∵|a→|=1，|b→|=1，
∴ |a→+b→|=(a→+b→)(a→+b→)
=a→⋅a→+2a→⋅b→+b→⋅b→
=|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2
=1+2a→⋅b→+1=2，
∴a→⋅b→=0，
设a→与a→+b→的夹角为θ，
则csθ=a→⋅(a→+b→)|a→|⋅|a→+b→|=a→2+a→⋅b→|a→|⋅|a→+b→|=1+01×2=22，
即a→与a→+b→的夹角为π4，故选项D错误．
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
写出从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案
【解答】
解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白，共5类情况，
选项A，“至少有一个白球“说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球“说明两个全为白球，这两个事件可以同时发生，故不互斥；
选项B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球“与“至少有一个红球“均发生，故不互斥；
选项C，“恰有一个白球”，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球“不互斥；
选项D，“至少一个白球“发生时，“红、黑球各一个“不会发生，故互斥不对立.
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
题目中给出的四个选项是对空间中两条直线及一个平面位置关系的判定，说明一个命题不正确，结合实物图形举出反例即可，选项A、B、C均可举出反例，选项D直接利用线面垂直的性质判定．
【解答】
解：选项A不正确，由m⊥n，m // α可得到n // α或n⊂α或n与α相交；
选项B不正确，由m⊥n，m⊥α可得到n // α或n⊂α；
选项C正确，考查线面垂直的性质定理，即两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
选项D不正确，由m // n，m // α可得到n // α或n⊂α.
故选C．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
由向量的加法，减法，数乘的运算结合选项逐一判断即可.
【解答】
解：A，在△ABC中，AC→=−CA→=−b→，故A正确；
B，∵E是 △ABC 的边CA的中点，∴BE→=BC→+CE→=a→+12b→，故B错误；
C， BA→=BC→+CA→=a→+b→，故C正确；
D，∵E，F分别为 △ABC 的边CA，AB的中点，∴EF→=12CB→=−12a→，故D错误.
故选AC．
【答案】
B,C,D
【考点】
概率的基本性质
事件的关系(包含关系、相等关系)
【解析】
根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断故A错误，C正确；根据概率与频率的关系判断B正确；根据事件的包含关系判断D正确．
【解答】
解：∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，
∴任意事件A发生的概率P(A)满足 0≤P(A)≤1，故A错误，C正确；
∵频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率，
∴随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故B正确；
若事件 A⊆ 事件B，则 PA≤PB，故D正确．
故选BCD.
【答案】
A,C,D
【考点】
扇形统计图
众数、中位数、平均数
【解析】
根据三维饼图分别求出20名肥胖者在健身前和健身后在各区间体重的人数，逐项验证，即可得出答案
【解答】
解：图①中体重在区间[90,100),[100,110),[110,120)内的人数分别为8，10，2；
图②中体重在区间[80,90),[90,100),[100,110)内的人数分别为6，8，6；
故ACD正确，B选项体重在区间[100,110)内的人数减少了4，故B错误.
故选ACD.
【答案】
A,B,C
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面平行的判定
异面直线及其所成的角
【解析】
直接利用线面平行和面面平行的判定和性质的应用及相关的运算的应用求出结果．
【解答】
解：在棱长均相等的四棱锥P−ABCD中，设棱长为2a，
作出如图所示的辅助线，
①O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，
所以ON // PD，由于ON⊂平面ONM，PD⊄平面MON，
所以PD // 平面MON，故A正确；
②由于NM // AB // CD，ON // PD，MN∩ON=O，CD∩PD=D，
所以平面PCD // 平面OMN，故B正确；
③锥体的棱长为2a，所以OB=2a，
所以OP=(2a)2−(2a)2=2a，
所以△OBP为等腰直角三角形，
由于点N为PB的中点，所以ON⊥PB，故C正确；
④由于NM // CD，四棱锥P−ABCD是棱长均相等的四棱锥，
所以直线PD与直线MN所成角为∠PDC，
又PD=PC，所以∠PCD=∠PDC，根据三角形的内角和定理易知∠PDC的大小小于90∘，故D错误.
故选ABC．
三、填空题
【答案】
1−i
【考点】
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ z=1+i，
∴ z¯=1−i.
故答案为：1−i.
【答案】
16π
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
利用球的面积公式，直接求解即可．
【解答】
解：因为球的半径为2，
所以球的表面积为：4πr2=16π.
故答案为：16π．
【答案】
13
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
先求出基本事件总数n=C31C31=9 ，他们选课相同的概率为m=C31C11=3 ，由此能求出他们选课相同的概率．
【解答】
解：小明与小芳的选课方式共有9种，其中他们选课相同的方式有3种，
故所求的概率为P=13.
故答案为：13.
【答案】
200米
【考点】
解三角形的实际应用
【解析】
由题意可知：∠ACB=45∘∠ADB=30∘，设AB=x，可以在在△ABC中，求出BC=x，在△ABD中，可以求出
BD=3x，在△BCD中，利用余弦定理可求出CD2的表达式，结合已知CD=200，可以求出AB的长
【解答】
解：由题意得：在△ABC中，∠ACB=45∘，
在△ABD中，∠ADB=30∘，
设AB=x，则BC=x,BD=3x，
在△BCD中
CD=200，∠CBD=30∘,
由余弦定理得：
CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcs∠CBD⇒2002=x2+3x2−2x×3x×32⇒x=200.
故答案为：200米.
四、解答题
【答案】
解：(1)|z2|=|3−4i|=32+−42=5；
(2)因为z1=1+aia∈R，z2=3−4i，
所以z1+z2=4+a−4i，
由z1+z2∈R，
得a−4=0，
即a=4．
(3)由a=2得z1=1+2i．
z1z2=1+2i3−4i=(1+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−15+25i．
【考点】
复数的模
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)|z2|=|3−4i|=32+−42=5；
(2)因为z1=1+aia∈R，z2=3−4i，
所以z1+z2=4+a−4i，
由z1+z2∈R，
得a−4=0，
即a=4．
(3)由a=2得z1=1+2i．
z1z2=1+2i3−4i=(1+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−15+25i．
【答案】
解：(1)a→⋅b→=−2×1+1×(−2)=−4；
(2)由题意，得m→=1,−5，n→=−2−k,1+2k．
因为m→//n→，
所以1×(1+2k)=−5×(−2−k)，
解得k=−3．
(3)当k=1时，n→=−3,3．
设m→与n→的夹角为θ，
则csθ=m→⋅n→|m→||n→|
=1×−3+−5×312+−52⋅−32+32
=−31313．
所以m→与n→夹角的余弦值为−31313．
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)a→⋅b→=−2×1+1×(−2)=−4；
(2)由题意，得m→=1,−5，n→=−2−k,1+2k．
因为m→//n→，
所以1×(1+2k)=−5×(−2−k)，
解得k=−3．
(3)当k=1时，n→=−3,3．
设m→与n→的夹角为θ，
则csθ=m→⋅n→|m→||n→|
=1×−3+−5×312+−52⋅−32+32
=−31313．
所以m→与n→夹角的余弦值为−31313．
【答案】
解：(1)在△ABC中，由余弦定理及a=22，b=5，c=13，
得csC=a2+b2−c22ab=22，
又因为C∈0,π，
所以C=π4．
(2)在△ABC中，由正弦定理及C=π4，a=22，c=13，
可得由sinAa=sinCc，
得：sinA=asinCc=21313．
(3)由a可得csA=1−sin2A=31313，
所以sinA+π3
=sinAcsπ3+csAsinπ3
=21313×12+31313×32
=213+33926．
【考点】
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)在△ABC中，由余弦定理及a=22，b=5，c=13，
得csC=a2+b2−c22ab=22，
又因为C∈0,π，
所以C=π4．
(2)在△ABC中，由正弦定理及C=π4，a=22，c=13，
可得由sinAa=sinCc，
得：sinA=asinCc=21313．
(3)由a可得csA=1−sin2A=31313，
所以sinA+π3
=sinAcsπ3+csAsinπ3
=21313×12+31313×32
=213+33926．
【答案】
解：(1)由0.005+0.010+0.035+0.030+x×10=1，
解得x=0.02.
(2)这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77，
中位数设为m，则0.05+0.2+m−70×0.035=0.5，解得m=5407.
(3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5人，其中男生3人，女生2人．记为A1,A2,A3，B1,B2，
记“满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A,
从5人中抽取2人有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2,A3B1，A3B2，B1B2，
所以总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，
所以PA=310.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（1）由各组的频率和为1，列方程可求出>的值；
（2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为四，则0.05+0.2+m−70×0.035=0.5，从而
可求得m的值；
（3）满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况
，利用概率公式求解即可
【解答】
解：(1)由0.005+0.010+0.035+0.030+x×10=1，
解得x=0.02.
(2)这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77，
中位数设为m，则0.05+0.2+m−70×0.035=0.5，解得m=5407.
(3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5人，其中男生3人，女生2人．记为A1,A2,A3，B1,B2，
记“满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A,
从5人中抽取2人有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2,A3B1，A3B2，B1B2，
所以总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，
所以PA=310.
【答案】
解：(1)记“甲、乙两人各射击一次，均没有击中目标”为事件A1，
则PA1=1−23×1−34=13×14=112 ，
∴甲、乙两人各射击一次，均没有击中目标的概率为112 ．
(2)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A2，
则PA2=13×13×23=227 ，
∴甲恰好射击3次结束射击的概率为227．
(3)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2
则PA2=34×14×34+14×34×34=932，
∴乙恰好射击3次结束射击的概率为932 ．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)记“甲、乙两人各射击一次，均没有击中目标”为事件A1，
则PA1=1−23×1−34=13×14=112 ，
∴甲、乙两人各射击一次，均没有击中目标的概率为112 ．
(2)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A2，
则PA2=13×13×23=227 ，
∴甲恰好射击3次结束射击的概率为227．
(3)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2
则PA2=34×14×34+14×34×34=932，
∴乙恰好射击3次结束射击的概率为932 ．
【答案】
证明：(1)在正三棱柱ABC−A1B1C1中，
因为F，F1分别是AC，A1C1的中点，
则AF//F1C1，且AF=F1C1，
所以四边形C1F1AF为平行四边形，
所以AF1//FC1．
(2)由(1)已证AF1//FC1，
又AF1⊄平面C1BF,C1F⊂平面C1BF,
所以AF1//平面C1BF,
同理可证B1F1//平面C1BF,
又因为B1F1∩AF1=F1，
AF1，B1F1⊂平面AB1F1，
所以平面AB1F1//平面C1BF．
(3)在三棱柱ABC−A1B1C1中，
AA1⊥平面A1B1C1，
B1F1⊂平面A1B1C1，
所以B1F1⊥AA1，
又B1F1⊥A1C1，
A1C1∩AA1=A1，
所以B1F1⊥平面ACC1A1，
而B1F1⊂平面AB1F1，
所以平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
平面与平面平行的判定
平面与平面垂直的判定
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
证明：(1)在正三棱柱ABC−A1B1C1中，
因为F，F1分别是AC，A1C1的中点，
则AF//F1C1，且AF=F1C1，
所以四边形C1F1AF为平行四边形，
所以AF1//FC1．
(2)由(1)已证AF1//FC1，
又AF1⊄平面C1BF,C1F⊂平面C1BF,
所以AF1//平面C1BF,
同理可证B1F1//平面C1BF,
又因为B1F1∩AF1=F1，
AF1，B1F1⊂平面AB1F1，
所以平面AB1F1//平面C1BF．
(3)在三棱柱ABC−A1B1C1中，
AA1⊥平面A1B1C1，
B1F1⊂平面A1B1C1，
所以B1F1⊥AA1，
又B1F1⊥A1C1，
A1C1∩AA1=A1，
所以B1F1⊥平面ACC1A1，
而B1F1⊂平面AB1F1，
所以平面AB1F1⊥平面ACC1A1．