2020-2021学年四川省成都市高一（下）5月月考数学试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年四川省成都市高一（下）5月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若aA.1a>1bB.ac
2. 如果a→，b→是两个单位向量，则a→与b→一定( )
A.相等B.平行C.方向相同D.长度相等

3. 设数列an的前n项和为Sn=n2−n ，则a8的值为( )
A.14B.15C.48D.63

4. 已知a→=cs75∘,sin15∘，b→=cs15∘,sin75∘ ，则a→⋅b→的值为( )
A.22B.12C.32D.1

5. 在等差数列an中，a8=12a10+1，则数列an的前11项和为( )
A.8B.16C.22D.44

6. 已知a→,b→均为单位向量，它们的夹角为120∘ ，则|a→−3b→|的值为( )
A.7B.10C.13D.4

7. 下列关于函数y=sin2x+cs2x的说法正确的是( )
A.周期为π的偶函数B.周期为π的奇函数
C.周期为2π的增函数D.周期为2π的减函数

8. 测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45∘，在D点测得塔顶的仰角是30∘，并测得水平面上的∠BCD=120∘， CD=40m，则电视塔的高度是( )

A.30mB.40mC.403mD.402m

9. 已知α∈−π2,π2，csα+π6=15，则sin2α+π3的值为( )
A.65B.265C.4625D.−4625

10. 设函数fx=sin2x+cs2x，给出下列结论：
①fx的最小正周期为π； ②fx在区间−π8,π8内单调递增；
③将函数y=fx的图象向左平移π4个单位长度，可得到函数y=cs2x的图象．
其中所有正确结论的序号是（）
A.①②B.①③C.②③D.①②③

11. 已知fx=3sinxcsx+sin2x−12x∈0,π2，则fx的值域是（）
A.−12,12B.−1,12C.−12,1D.−1,1

12. 已知定义域为R的函数满足fx=4fx+2，当x∈[0,2)时，f(x)=−x2+x+1,x∈[0,1)(12)|x−32|,x∈[1,2) ，设fx在[2n−2,2n)上的最大值为ann∈N∗，且an的前n项和为Sn，若SnA.53,+∞B.[53,+∞)C.43,+∞D.[43,+∞)
二、填空题

已知向量m→=1,−1,n→=a,1，若m→//n→，则a=________ .

若α∈0,π2，且sinα−csα=15，则sinα+csα=________ .

已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1，且数列an的前n项和为Sn，则an+1−Sn=________ .

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccsB−bcsC=35a ，则关于tanB−C的最小值为________ .
三、解答题

在等差数列an中，已知a3=5,a5=3 .
(1)求数列an的通项公式；

(2)数列an的前n项和为Sn，求Sn的最大值．

已知向量a→=1,−1，|b→|=2，且2a→+b→⋅b→=4，
(1)求向量a→与b→的夹角；

(2)求|a→+b→|的值．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsA=2c−acsB.
(1)求角B的值；

(2)若a=4， △ABC的面积为3，求△ABC的周长.

已知等比数列an的公比q>1 ，且a1,a3的等差中项为5，a2=4 .
(1)求数列an的通项公式；

(2)设bn=nan，求数列bn的前n项和Sn .

在△ABC中，角A，B，C所对边为a，b，c满足sinC−sinAsinB−sinA=ba+c．
(1)求角C的大小；

(2)若c=3，求a+b的取值范围．

已知函数fx=cs4x−2sinxcsx−sin4x．
(1)当x∈0,π2时，求fx的值域；

(2)若将函数fx向右平移φφ>0个单位得到函数gx ，且gx为奇函数．
(i)求φ的最小值；
(ii)当φ取最小值时，若y=mm>0与函数gx在y轴右侧的交点横坐标依次为x1，x2，⋯，求x1+x2+⋯+x20的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省成都市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用不等式的性质，即可得出答案.
【解答】
解：A，当a=−1，b=1时，1a<1b，故A错误；
B，当c=0时，ac=bc，故B错误；
C，当aD，当c=0时，ac2=bc2，故D错误.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
单位向量
【解析】
无
【解答】
解：因为a→，b→是两个单位向量，所以其模长相等，方向不定.
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
数列递推式
【解析】
利用数列的递推式，即可得出答案.
【解答】
解：∵ Sn=n2−n，
∴ a8=S8−S7=82−8−72−7=14.
故选A.
4.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积
两角和与差的余弦公式
【解析】

【解答】
解：由a→=(cs75∘,sin15∘)，b→=(cs15∘,sin75∘) ，
可得：a→⋅b→=cs75∘cs15∘+sin15∘sin75∘
=cs75∘−15∘=cs60∘=12 .
故选B .
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由等差数列通项公式及已知可得a1+7d=12a1+9d+1，
解得a1+5d=a6=2，
再利用S11=a1+a112×11，及a6=a1+a112，
可得S11=11a6=22．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知可得：|a→|=|b→|=1，a→⋅b→=|a→||b→|cs120∘=−12，
而(a→−3b→)2=a→2−6a→⋅b→+9b→2=1+3+9=13
⇒|a→−3b→|=13.
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
余弦函数的奇偶性
余弦函数的周期性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因y=1−cs2x2+cs2x=12+12cs2x．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
解三角形的实际应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，设AB=x，则BD=3x，BC=x，
在△DBC中，∠BCD=120∘，CD=40，
根据余弦定理得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cs∠DCB
即3x2=402+x2−2×40⋅x⋅cs120∘，
整理得x2−20x−800=0，解得x=40或x=−20 （舍），
即所求电视塔的高度为40m．
故选B．
9.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的正弦公式
【解析】

【解答】
解：由α∈−π2,π2，可得α+π6∈−π3,2π3.
又csα+π6=15<12=csπ3，∴ α+π6∈π3,2π3，
∴ sinα+π6=1−152=265，
∴ sin2α+π3=2sinα+π6csα+π6=4625 .
故选C .
10.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
命题的真假判断与应用
三角函数的周期性及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由f(x)=sin2x+cs2x=2sin(2x+π4)，
所以f(x)的最小正周期为2π2=π，故①正确；
要求f(x)的单调增区间，即
−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ⇒−3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z)，
而−π8,π8⊆[−3π8+kπ,π8+kπ](k∈Z)，故②正确；
将y=f(x)=sin2x+cs2x=2sin(2x+π4)=2sin[2(x+π8)]的图象向左平移π4个单位长度，得到y=2sin[2(x+π8+π4)]=2sin(2x+π4+π2)=2cs(2x+π4)≠cs2x，故③错误．
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的定义域和值域
两角和与差的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
根据二倍角公式、辅助角公式化简fx=sin2x−π6,由已知可得2x−π6∈−π6,5π6,利用正弦函数的性质求解值域.
【解答】
解：fx=3sinxcsx+sin2x−12
=32sin2x+1−cs2x2−12
=32sin2x−12cs2x=sin2x−π6,
因为x∈0,π2,所以2x−π6∈−π6,5π6,
当2x−π6=−π6即x=0时,函数fx取最小值−12,
当2x−π6=π2即x=π3时,函数fx取最大值1,
所以函数fx的值域为−12,1.
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
数列与函数最值问题
数列与不等式的综合
【解析】
运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得x∈[0,2)时fx的最大值，由递推式可得an是首项为54，公比为14的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范围．
【解答】
解：当x∈[0,2)时，f(x)=−x2+x+1,x∈[0,1)12|x−32|,x∈[1,2),
=−x−122+54,x∈[0,1),2x−32,x∈1,32,12x−32,x∈32,2,
所以函数fx在0,12上单调递增，在12,1上单调递减，在1,32上单调递增，在32,2上单调递减，
可得当0≤x<1时，fx的最大值为f12=54；
当1≤x<2时，fx的最大值为f32=1．
因此，当0≤x<2时，fx的最大值为54，即首项a1=54.
由fx=4fx+2可得a2=14a1=542，a3=543，⋯，an=54n，
可得an是首项为54，公比为14的等比数列，
可得Sn=541−14n1−14=531−14n<53，
由Sn可得k≥53 .
故选B．
二、填空题
【答案】
−1
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
无
【解答】
解：由m→//n→知，1×a−−1×1=0⇒a=−1．
故答案为：−1．
【答案】
75
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
无
【解答】
解：由sinα−csα=15可得：sinα−csα2=125，
即2sinαcsα=2425，
所以sinα+csα2=1+2sinαcsα=4925.
又α∈0,π2，sinα>0，csα>0，
故sinα+csα=75．
故答案为：75．
【答案】
n+1
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】

【解答】
解：由an+1=2an+1，可得an+1+1=2an+1 ，
所以数列an+1+1是首项为a1+1=2，公比q=2的等比数列，
由等比数列的通项公式可得an+1=a1+1⋅2n−1=2n⇒an=2n−1，
所以Sn=21−1+22−1+⋯+2n−1
=2(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2，
从而an+1−Sn=2n+1−1−2n+1−n−2=n+1 .
故答案为：n+1.
【答案】
−34
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：由正弦定理及ccsB−bcsC=35a可得，
sinCcsB−sinBcsC=35sinA.
又sinA=sinB+C=sinBcsC+sinCcsB，
代入上式可得sinCcsB−sinBcsC=35sinBcsC+sinCcsB，
移项化简可得tanC=4tanB ，且tanB>0，
而tanB−C=tanB−tanC1+tanB⋅tanC
=−3tanB1+4tan2B=−31tanB+4tanB．
由基本不等式可知1tanB+4tanB≥21tanB×4tanB=4，
当且仅当1tanB=4tanB且tanB>0时取等号，
此时tanB=12，
所以−31tanB+4tanB≥−3×14=−34，
即tanB−C的最小值−34．
故答案为：−34．
三、解答题
【答案】
解：(1)设数列an的公差为d，
则a1+2d=5,a1+4d=3,⇒a1=7,d=−1,⇒an=−n+8．
(2)由(1)知Sn=na1+nn−12d=7n−nn−12
=−12n2+152n=−12n−1522+2258，
故当n=7或n=8时，Sn取得最大值为28．
【考点】
等差数列的通项公式
数列的函数特性
等差数列的前n项和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设数列an的公差为d，
则a1+2d=5,a1+4d=3,⇒a1=7,d=−1,⇒an=−n+8．
(2)由(1)知Sn=na1+nn−12d=7n−nn−12
=−12n2+152n=−12n−1522+2258，
故当n=7或n=8时，Sn取得最大值为28．
【答案】
解：(1)由a→=(1,−1)得|a→|=2，
∵ |b→|=2，
(2a→+b→)⋅b→=2a→⋅b→+b→2
=2|a→||b→|cs+2
=4cs+2=4，
∴cs=12，
∴向量a→与b→的夹角为60∘.
(2)|a→+b→|=(a→+b→)2
=a→2+2a→⋅b→+b→2
=|a→|2+2|a→||b→|cs+|b→|2=6.
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由a→=(1,−1)得|a→|=2，
∵ |b→|=2，
(2a→+b→)⋅b→=2a→⋅b→+b→2
=2|a→||b→|cs+2
=4cs+2=4，
∴cs=12，
∴向量a→与b→的夹角为60∘.
(2)|a→+b→|=(a→+b→)2
=a→2+2a→⋅b→+b→2
=|a→|2+2|a→||b→|cs+|b→|2=6.
【答案】
解：(1)由已知bcsA=2c−acsB及余弦定理可得：
b⋅b2+c2−a22bc=2c−a⋅a2+c2−b22ac，
化简得a2+c2−b2=ac，
余弦定理可得2accsB=ac.
因为ac≠0，
所以csB=12.
因为0所以B=π3.
(2)由S△ABC=12acsinB
得3=12×4×c×32，所以c=1.
又由余弦定理：b2=a2+c2−2accsB，
b2=42+12−2×4×1×12=13，
得b=13，
故△ABC的周长为5+13.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由已知bcsA=2c−acsB及余弦定理可得：
b⋅b2+c2−a22bc=2c−a⋅a2+c2−b22ac，
化简得a2+c2−b2=ac，
余弦定理可得2accsB=ac.
因为ac≠0，
所以csB=12.
因为0所以B=π3.
(2)由S△ABC=12acsinB
得3=12×4×c×32，所以c=1.
又由余弦定理：b2=a2+c2−2accsB，
b2=42+12−2×4×1×12=13，
得b=13，
故△ABC的周长为5+13.
【答案】
解：(1)由题意可得：a11+q2=10,a1q=4,
∴ 2q2−5q+2=0．
∵ q>1，
∴ a1=2,q=2,
∴ 数列an的通项公式为an=2nn∈N∗．
(2)bn=n2n，
∴ Sn=12+222+323+⋯+n2n，
12Sn=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，
上述两式相减可得12Sn=12+122+123+124+⋯12n−n2n+1．
∴ Sn=1+121+122+123+⋯12n−1−n2n=1−12n1−12−n2n
=2−n+22n．
【考点】
等比数列的通项公式
等差中项
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意可得：a11+q2=10,a1q=4,
∴ 2q2−5q+2=0．
∵ q>1，
∴ a1=2,q=2,
∴ 数列an的通项公式为an=2nn∈N∗．
(2)bn=n2n，
∴ Sn=12+222+323+⋯+n2n，
12Sn=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，
上述两式相减可得12Sn=12+122+123+124+⋯12n−n2n+1．
∴ Sn=1+121+122+123+⋯12n−1−n2n=1−12n1−12−n2n
=2−n+22n．
【答案】
解：(1)由sinC−sinAsinB−sinA=ba+c得c−ab−a=ba+c，
∴ a2+b2−c2=ab，
故csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12⇒C=π3．
(2)由正弦定理：asinA=bsinB=csinC可得，
a=3sinπ3sinA=23sinA，
同理：b=23sinB.
又A+B+C=π⇒A+B=2π3⇒sinB=sin2π3−A，
故a+b=23sinA+23sin2π3−A，其中A∈0,2π3，
从而a+b=23sinA+23sin2π3csA−cs2π3sinA
=23sinA+2332csA+12sinA=33sinA+3csA
=6sinA⋅32+csA⋅12=6sinA+π6.
由A∈0,2π3可得A+π6∈π6,5π6 ，
故sinA+π6∈12,1
（当sinA+π6=1时，有A=π3⇒B=π3，不符合题意），
因此a+b的取值范围是3,6．
【考点】
余弦定理
正弦定理
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由sinC−sinAsinB−sinA=ba+c得c−ab−a=ba+c，
∴ a2+b2−c2=ab，
故csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12⇒C=π3．
(2)由正弦定理：asinA=bsinB=csinC可得，
a=3sinπ3sinA=23sinA，
同理：b=23sinB.
又A+B+C=π⇒A+B=2π3⇒sinB=sin2π3−A，
故a+b=23sinA+23sin2π3−A，其中A∈0,2π3，
从而a+b=23sinA+23sin2π3csA−cs2π3sinA
=23sinA+2332csA+12sinA=33sinA+3csA
=6sinA⋅32+csA⋅12=6sinA+π6.
由A∈0,2π3可得A+π6∈π6,5π6 ，
故sinA+π6∈12,1
（当sinA+π6=1时，有A=π3⇒B=π3，不符合题意），
因此a+b的取值范围是3,6．
【答案】
解：(1)fx=cs4x−2sinxcsx−sin4x
=cs2x−sin2x−sin2x
=cs2x−sin2x=2cs2x+π4．
∵ x∈0,π2，2x+π4∈π4,5π4，cs2x+π4∈−1,22，
∴ fx∈−2,1．
(2)(ⅰ)g(x)=f(x−φ)=2cs2x−2φ+π4，
由gx为奇函数，故−2φ+π4=kπ+π2⇒φ=−kπ2−π8，k∈Z .
由φ>0，故φ的最小值为3π8．
(ⅱ)此时gx=2cs2x−π2=2sin2x，
故m∈(0,2]时，y=mm>0与函数gx在y轴右侧的存在交点．
当m=2时，2xn=2n−1π+π2⇒xn=nπ−3π4n∈N∗，
故xn是以π4为首项，π为公差的等差数列，
x1+x2+⋯+x20=20x1+x202=195π．
当m∈0,2时，由对称性，2xn+xn+1=2×π2+n−1π
⇒xn+xn+1=nπ−π2，其中n为奇数，
故xn+xn+1（n为奇数）是以π2为首项，2π为公差的等差数列．
故x1+x2+⋯+x20
=x1+x2+x3+x4+⋯+x19+x20=95π．
综上：当m=2时，x1+x2+⋯+x20=195π，
当m∈0,2时，x1+x2+⋯+x20=95π．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
余弦函数的定义域和值域
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的奇偶性
函数的零点与方程根的关系
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)fx=cs4x−2sinxcsx−sin4x
=cs2x−sin2x−sin2x
=cs2x−sin2x=2cs2x+π4．
∵ x∈0,π2，2x+π4∈π4,5π4，cs2x+π4∈−1,22，
∴ fx∈−2,1．
(2)(ⅰ)g(x)=f(x−φ)=2cs2x−2φ+π4，
由gx为奇函数，故−2φ+π4=kπ+π2⇒φ=−kπ2−π8，k∈Z .
由φ>0，故φ的最小值为3π8．
(ⅱ)此时gx=2cs2x−π2=2sin2x，
故m∈(0,2]时，y=mm>0与函数gx在y轴右侧的存在交点．
当m=2时，2xn=2n−1π+π2⇒xn=nπ−3π4n∈N∗，
故xn是以π4为首项，π为公差的等差数列，
x1+x2+⋯+x20=20x1+x202=195π．
当m∈0,2时，由对称性，2xn+xn+1=2×π2+n−1π
⇒xn+xn+1=nπ−π2，其中n为奇数，
故xn+xn+1（n为奇数）是以π2为首项，2π为公差的等差数列．
故x1+x2+⋯+x20
=x1+x2+x3+x4+⋯+x19+x20=95π．
综上：当m=2时，x1+x2+⋯+x20=195π，
当m∈0,2时，x1+x2+⋯+x20=95π．

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