2020-2021年河南省濮阳市高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021年河南省濮阳市高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知函数fx=f′π4csx+sinx，则fπ4等于( )
A.2B.2−1C.1D.0

2. 下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180∘，归纳出所有三角形的内角和都是180∘；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180∘，四边形内角和是360∘，五边形内角和是540∘，由此得凸多边形内角和是(n−2)·180∘.
A.①②B.①③C.①②④D.②④

3. 已知x>0，y>0，4x⋅32y=2，则12x+15y的最小值是( )
A.2B.8C.4D.6

4. 有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b//平面α，则直线b//直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

5. 设x∈R，则“|x−1|<1”是“x2−5x<0”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
算得K2≈7.8
以下正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

7. 类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ；④垂直于同一平面的两个平面互相平行. 其中正确的结论是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④

8. 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=( )
A.28B.76C.123D.199

9. 如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB→⊥AB→时，其离心率为5−12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( )

A.5+12B.5−12C.5+1D.5−1

10. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

11. 用反证法证明命题：“已知a，b∈N∗，如果ab能被11整除，那么a，b中至少有一个能被11整除”，则应假设( )
A.a，b都不能被11整除
B.a，b中至多有一个能被11整除
C.a，b中至多有一个不能被11整除
D.a，b都能被11整除

12. 某班主任对全班50名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表所示，则认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为( )
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
A.99%B.95%C.90%D.97.5%
二、填空题

如表是某厂2020年1−4月份用水量（单位：百吨）的一组数据 ：
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系，其线性回归方程是y=bx+1.75，预测2020年6月份该厂的用水量为________百吨.
三、解答题

某地区2015年至2021年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

(1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入．
回归直线方程：y=bx+a，a=y¯−bx¯，
b=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2=i=1nxiyi−nx¯ y¯i=1nxi2−nx¯2.

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”．估计A的概率；

(2)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．

某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度（满分按100计），随机对20名六十岁以上的老人和20名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：
表1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表
表2：十八岁以上六十岁以下的中青年对环境治理情况的满意度与频数分布表

(1)根据满意度是否小于80作2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？

(2)从六十岁以上的“满意度小于80”和“满意度不小于80”的老人中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取3人，求至少有两人满意度小于80的概率．
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PCD，AD // BC，AB=BC=12AD，点E，F分别为线段AD，PC的中点．

(1)求证：AP // 平面BEF；

(2)求证：BE⊥平面PAC．

求函数f(x)=x3−3x2+x的图像上过原点的切线方程．

已知a>0，fx=ex+a1−x，若fx≥0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年河南省濮阳市高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，f′x=f′π4−sinx+csx，
令x=π4， 则f′π4=f′π4−sinπ4+csπ4，
解得f′π4=2−1，
即fx=2−1csx+sinx，
所以fπ4=2−1csπ4+sinπ4
=2−1×22+22=1．
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
类比推理
归纳推理
合情推理的作用
【解析】
①是类比推理；①④是归纳推理，．．①②④都是合情推理．
故答案为：C．
【解答】
解：①是类比推理；②④是归纳推理，
则①②④都是合情推理．
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
对数的运算性质
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为4x⋅32y=22x+5y，
所以2x+5y=1，
所以12x+15y=12x+15y2x+5y
=5y2x+2x5y+2≥25y2x⋅2x5y+2=2+2=4，
当5y2x=2x5y，且2x+5y=1时，即x=14，y=110时等号成立，
所以12x+15y的最小值是4.
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
演绎推理的基本方法
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
试题分析：直线平行于平面，则这条直线与平面内的直线可能平行或异面，所以“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线”为假命题，即三段论中的大前提错误．
【解答】
解：直线平行于平面，则这条直线与平面内的直线可能平行或异面，
所以“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线”为假命题，
即三段论中的大前提错误．
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次不等式的解法
【解析】
先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可求出．
【解答】
解：由|x−1|<1，得0由x2−5x<0，得0所以“|x−1|<1”是“x2−5x<0”的充分不必要条件．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
独立性检验的应用
【解析】
由k2的值结合附表可得选项．
【解答】
解：∵ K2≈7.8>6.635，
∴ 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
根据空间中两条直线的位置关系进行解答即可.
【解答】
解：因为类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，
可推出下列空间结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故②③正确.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
归纳推理
【解析】
观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．
【解答】
解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123．
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
双曲线的离心率
【解析】
类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，当FB→⊥AB→时，|BF|2+|AB|2=|AF|2，由此可知b2+c2+c2=a2+c2+2ac，整理得c2=a2+ac，即e2−e−1=0，解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率e．
【解答】
解：类比“黄金椭圆”，
在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，
当FB→⊥AB→时，|BF|2+|AB|2=|AF|2，
∴ b2+c2+c2=a2+c2+2ac，
∵ b2=c2−a2，整理得c2=a2+ac，
∴ e2−e−1=0，解得e=5+12，或e=−5+12（舍去）．
故黄金双曲线的离心率e=5+12．
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于四人中有2位优秀，2位良好，且甲在得知乙、丙的成绩后不能判断出自己的成绩，
所以乙和丙的成绩不同，即一人优秀一人良好．
又由条件乙知道丙的成绩，
则乙根据甲所说，乙可判断出自己的成绩．
又由条件丁知道甲的成绩，
由于乙和丙的成绩一人优秀一人良好，
则甲和丁的成绩也是一人优秀一人良好，
丁根据甲的成绩，则可判断出自己的成绩．
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
反证法
【解析】
反证法证明中，假设时只需要对结论进行否定即可．
【解答】
解：∵ 反证在假设时，要对结论进行否定，
∴ 应假设为“a，b都不能被11整除”.
故选A.
12.
【答案】
D
【考点】
独立性检验
【解析】
根据条件中所给的计算出的观测值的数据，把观测值同临界值进行比较，得到认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为1−0.025=97.5%．
【解答】
解：由题意，得K2=50×(18×15−8×9)227×23×24×26≈5.059，
则P(K2≥5.024)=0.025，
所以认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为
1−0.025=97.5%.
故选D.
二、填空题
【答案】
5.95
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
求出样本中心的坐标，代入回归直线方程．求出b→，然后代入x=6，推出结果即可．
【解答】
解：由题意，得x¯=1+2+3+44=2.5，
y¯=2.5+3+4+4.54=3.5，
又线性回归方程y=bx+1.75经过样本中心，
所以3.5=2.5b+1.75，
解得b=0.7，
所以y=0.7x+1.75，
当x=6时，y=0.7×6+1.75=5.95（百吨），
所以预测2020年6月份该厂的用水量为5.95百吨．
故答案为：5.95.
三、解答题
【答案】
解：(1)由题意，得t¯=17×1+2+3+4+5+6+7=4，
y¯=17×2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9=4.3，
i=17ti−t¯2=9+4+1+0+1+4+9=28，i=17(ti−t¯)yi−y¯=−3×−1.4+−2×−1+−1×−0.7+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，
所以y¯=i=17(ti−t¯)(yi−y¯)i=17ti−t¯2=1428=0.5，
a=y¯−bt¯=4.3−0.5×4=2.3，
所以所求回归方程为y=0.5t+2.3．
(2)将2023年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程，得
y=0.5×9+2.3=6.8，
故该地区2023年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)由题意，得t¯=17×1+2+3+4+5+6+7=4，
y¯=17×2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9=4.3，
i=17ti−t¯2=9+4+1+0+1+4+9=28，i=17(ti−t¯)yi−y¯=−3×−1.4+−2×−1+−1×−0.7+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，
所以y¯=i=17(ti−t¯)(yi−y¯)i=17ti−t¯2=1428=0.5，
a=y¯−bt¯=4.3−0.5×4=2.3，
所以所求回归方程为y=0.5t+2.3．
(2)将2023年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程，得
y=0.5×9+2.3=6.8，
故该地区2023年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
【答案】
解：(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，
C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，
由PA=PBC=P(B)P(C)，
则旧养殖法的箱产量低于50kg：
0.012+0.014+0.024+0.034+0.040×5=0.62．
故P(B)的估计值为0.62；
新养殖法的箱产量不低于50kg：
0.068+0.046+0.010+0.008×5=0.66，
故P(C)的估计值为0.66，
则事件A的概率估计值为PA=PBC=P(B)P(C)
=0.62×0.66=0.4092.
所以A的概率为0.4092.
(2)由新养殖法的箱产量频率分布直方图可知，
箱产量低于50kg的直方图面积为
(0.004+0.020+0.044)×5=0.34，
箱产量低于55kg的直方图面积为
(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5，
故新养殖法产量的中位数的估计值为50+0.5−≈52.35(kg).
【考点】
用频率估计概率
众数、中位数、平均数
【解析】
（1）利用题目所给信息继续求解即可.
（3）利用题目所给的频率分布直方图进行求解即可.
【解答】
解：(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，
C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，
由PA=PBC=P(B)P(C)，
则旧养殖法的箱产量低于50kg：
0.012+0.014+0.024+0.034+0.040×5=0.62．
故P(B)的估计值为0.62；
新养殖法的箱产量不低于50kg：
0.068+0.046+0.010+0.008×5=0.66，
故P(C)的估计值为0.66，
则事件A的概率估计值为PA=PBC=P(B)P(C)
=0.62×0.66=0.4092.
所以A的概率为0.4092.
(2)由新养殖法的箱产量频率分布直方图可知，
箱产量低于50kg的直方图面积为
(0.004+0.020+0.044)×5=0.34，
箱产量低于55kg的直方图面积为
(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5，
故新养殖法产量的中位数的估计值为50+0.5−≈52.35(kg).
【答案】
解：(1)根据满意度是否小于80作2×2列联表如下：
由表中数据，得K2=40×(12×6−14×8)220×20×26×14≈0.440<2.706，
故没有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”.
解：(2)从2×2列联表可知，用分层抽样方法抽取一个容量为5的样本，
则满意度小于80的抽取3人，记为A，B，C，
满意度不小于80的抽取2人，记为D，E.
从这5人中任取3人，基本事件是ABC，ABD，ABE，ACD，
ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，
至少有两人满意度小于80的事件是ABC，ABD，ABE，ACD，
ACE，BCD，BCE，共7种，
所以至少有两人满意度小于80的概率P=710．
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
分层抽样方法
【解析】

【解答】
解：(1)根据满意度是否小于80作2×2列联表如下：
由表中数据，得K2=40×(12×6−14×8)220×20×26×14≈0.440<2.706，
故没有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”.
解：(2)从2×2列联表可知，用分层抽样方法抽取一个容量为5的样本，
则满意度小于80的抽取3人，记为A，B，C，
满意度不小于80的抽取2人，记为D，E.
从这5人中任取3人，基本事件是ABC，ABD，ABE，ACD，
ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，
至少有两人满意度小于80的事件是ABC，ABD，ABE，ACD，
ACE，BCD，BCE，共7种，
所以至少有两人满意度小于80的概率P=710．
【答案】
证明：(1)如图，连接AC与BE相交于点O，连接CE，OF，
∵ AD // BC，BC=12AD，
E为线段AD的中点，
∴ 四边形ABCE是平行四边形，
四边形BCDE是平行四边形，
设AC∩BE=O，
则O是AC的中点，
∵ F为线段PC的中点，
∴ AP // OF，
∵ AP⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，
∴ AP // 平面BEF.
(2)∵ 四边形BCDE是平行四边形，
∴ BE // CD，
∵ AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴ AP⊥CD，
∴ BE⊥AP，
∵ AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，
∴ 四边形ABCE是菱形，
∴ BE⊥AC，
∵ AP∩AC=A，
∴ BE⊥平面PAC．
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
【解析】
(1)证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA // OF，从而可证AP // 平面BEF；
(2)证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC．
【解答】
证明：(1)如图，连接AC与BE相交于点O，连接CE，OF，
∵ AD // BC，BC=12AD，
E为线段AD的中点，
∴ 四边形ABCE是平行四边形，
四边形BCDE是平行四边形，
设AC∩BE=O，
则O是AC的中点，
∵ F为线段PC的中点，
∴ AP // OF，
∵ AP⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，
∴ AP // 平面BEF.
(2)∵ 四边形BCDE是平行四边形，
∴ BE // CD，
∵ AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴ AP⊥CD，
∴ BE⊥AP，
∵ AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，
∴ 四边形ABCE是菱形，
∴ BE⊥AC，
∵ AP∩AC=A，
∴ BE⊥平面PAC．
【答案】
解：由题意，得f′(x)=3x2−6x+1，
∵ 原点未必是切点，则设切点A(x0, y0)，
∴ 切线的斜率为3x02−6x0+1，
∵ 函数的切线过原点，
∴ k=y0x0=3x02−6x0+1，
即y0=3x03−6x02+x0，
又∵ 切点A(x0, y0)在函数f(x)=x3−3x2+x的图像上，
∴ y0=x03−3x02+x0，
联立y0=3x03−6x02+x0，y0=x03−3x02+x0，
解得x0=0，y0=0，或x0=32，y0=−158，
∴ 函数f(x)=x3−3x2+x过原点的切线方程为y=x或5x+4y=0．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
由原点的坐标代入函数解析式中判断出原点在函数图象上，设切线与函数的切点A的坐标，求出函数的导函数，把A的横坐标代入导函数中求出的函数值即为切线的斜率，又根据点A和原点两点坐标表示出切线的斜率，两者相等得到A横纵坐标的关系式，记作①，又因为A在函数图象上，把A点坐标代入函数关系式中得到另外一个关于A横纵坐标的关系式，记作②，联立①②即可求出A的横坐标，即可得到切线的斜率，根据求出的斜率与原点坐标写出切线方程即可．
【解答】
解：由题意，得f′(x)=3x2−6x+1，
∵ 原点未必是切点，则设切点A(x0, y0)，
∴ 切线的斜率为3x02−6x0+1，
∵ 函数的切线过原点，
∴ k=y0x0=3x02−6x0+1，
即y0=3x03−6x02+x0，
又∵ 切点A(x0, y0)在函数f(x)=x3−3x2+x的图像上，
∴ y0=x03−3x02+x0，
联立y0=3x03−6x02+x0，y0=x03−3x02+x0，
解得x0=0，y0=0，或x0=32，y0=−158，
∴ 函数f(x)=x3−3x2+x过原点的切线方程为y=x或5x+4y=0．
【答案】
解：∵fx=ex+a1−x(x∈R)，
∴f′x=ex−a，
令f′x=0，则x=lna，
当x∈−∞,lna时，f′x<0，fx单调递减，
当x∈lna,+∞时，f′x>0，fx单调递增，
∴fx在x=lna处取得极小值，
由题意可知fx的最小值为flna=2a−alna，
则2a−alna≥0，
解得a≤e2，∴实数a的取值范围是(0,e2]．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵fx=ex+a1−x(x∈R)，
∴f′x=ex−a，
令f′x=0，则x=lna，
当x∈−∞,lna时，f′x<0，fx单调递减，
当x∈lna,+∞时，f′x>0，fx单调递增，
∴fx在x=lna处取得极小值，
由题意可知fx的最小值为flna=2a−alna，
则2a−alna≥0，
解得a≤e2，∴实数a的取值范围是(0,e2]．男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
分类
认为作业多
认为作业不多
总数
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总数
26
24
50
月份x
1
2
3
4
用水量y
2.5
3
4
4.5
满意度
[0, 60)
[60, 70)
[70, 80)
[80, 90)
[90, 100]
人 数
1
5
6
5
3
满意度
[0, 60)
[60, 70)
[70, 80)
[80, 90)
[90, 100]
人数
2
4
8
4
2
满意度小于80
满意度不小于80
合计
六十岁以上老人人数
12
8
20
十八岁以上六十岁以下
的中青年人数
14
6
20
合计
26
14
40
满意度小于80
满意度不小于80
合计
六十岁以上老人人数
12
8
20
十八岁以上六十岁以下
的中青年人数
14
6
20
合计
26
14
40