2020-2021学年四川省绵阳市高二（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（下）3月月考数学试卷人教A版，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知f(x)=cs30∘，则 f′(x)的值为( )
A.−12B.12C.−32D.0

2. 若函数f(x)=12x2−2x−3lnx，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(−∞, −1)∪(3, +∞)B.(−1, 3)
C.(0, 3)D.(3, +∞)

3. 已知函数f(x)=alnx−2ax+b ，函数f(x)在(1,f(1))处切线方程为y=2x+1，则ab的值为( )
A.−2B.2C.−4D.4

4. 下列式子不正确的是( )
A.(3x2+csx)′=6x−sinxB.(lnx−2x)′=1x−2xln2
C.(2sin2x)′=2cs2xD.(sinxx)′=xcsx−sinxx2

5. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是( )

A.B.
C.D.

6. 若函数fx=x3+ax2+3x−9在x=−3时取得极值，则a=( )
A.2B.3C.4D.5

7. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是( )
A.y=x4B.y=2−xC.y=x+csxD.y=−x12

8. 已知函数f(x)=x3−2ax2−bx在x=1处的切线斜率为1，若ab>0，则1a+1b的取值范围为( )
A.[92, +∞)B.(−∞, 92]C.[12, +∞)D.(−∞, −12]
二、填空题

已知函数fx在x=x0处可导，若limΔx→0fx0+2Δx−fx0Δx=1，则f′x0=_______.
三、解答题

已知曲线y=x3+1.
(1)求曲线在x=−1处的切线方程；

(2)求曲线过点−1,0的切线方程．

已知函数fx=12x2−alnx+1a∈R，讨论函数fx在(0,1]上的单调性；
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高二（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
【解析】
根据导数的求导公式计算即可
【解答】
解：∵ f(x)=cs30∘=32，
∴ f′(x)=0.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出导函数，通过导函数的符号转化求解函数的单调减区间即可．
【解答】
解：f(x)=12x2−2x−3lnx，
函数的定义域为{x|x>0}.
可得f′(x)=x−2−3x
=x2−2x−3x
=(x−3)(x+1)x，
令f′(x)0)，解得x∈(0, 3).
即函数f(x)的单调递减区间为(0, 3).
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为函数f(x)=alnx−2ax+b，
则f′(x)=ax−2a，
因为函数f(x)=alnx−2ax+b在(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1，
所以f′(1)=−a=2，即a=−2.
当x=1时，f(1)=4+b=3，即b=−1.
所以ab=2.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
观察四个选项，是四个复合函数求导的问题，故依据复合函数求导的法则依次对四个选项的正误进行判断即可．
【解答】
解：由复合函数的求导法则可得：
A，(3x2+csx)′=6x−sinx成立，故A正确，不符合题意；
B，(lnx−2x)′=1x−2xln2成立，故B正确，不符合题意；
C，(2sin2x)′=4cs2x，故C不正确，符合题意；
D，(sinxx)′=xcsx−sinxx2成立，故D正确，不符合题意.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
由导函数图象可知，f(x)在(−∞, −2)，(0, +∞)上单调递减，在(−2, 0)上单调递增；从而得到答案．
【解答】
解：由导函数图象可知，
f(x)在(−∞, −2)，(0, +∞)上单调递减，
在(−2, 0)上单调递增.
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵fx=x3+ax2+3x−9，
∴f′(x)=3x2+2ax+3.
∵函数在x=−3时取得极值，
∴f′(−3)=3×(−3)2+2a×(−3)+3=0，
解得a=5.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
函数单调性的判断与证明
利用导数研究函数的单调性
【解析】
利用常见的幂函数，指数函数分析选项ABD中函数的单调性，利用导数研究C中函数的单调性即可得到答案.
【解答】
解：A，函数y=x4在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，不满足题意；
B，y=2−x=12x在定义域内单调递减，不满足题意；
C，∵ 函数y=x+csx的定义域为R，且y′=1−sinx≥0，
∴ 函数y=x+csx在其定义域上单调递增，满足题意；
D，y=−x12在定义域内单调递减，不符合题意.
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
求导并令导数f′(1)=3−4a−b=1，从而解得4a+b=2，从而求得1a+1b=12(1a+1b)(4a+b)=12(5+ba+4ab)，利用基本不等式，即可求1a+1b的取值范围．
【解答】
解：由题意，f′(x)=3x2−4ax−b，得f′(1)=3−4a−b=1，
解得，4a+b=2，
则1a+1b=12(1a+1b)(4a+b)=12(5+ba+4ab)，
∵ ab>0，
∴ ba>0，4ab>0.
∴ ba+4ab≥2ba⋅4ab=4（当且仅当b=2a时，等号成立）.
∴ 1a+1b≥92.
故选A．
二、填空题
【答案】
12
【考点】
导数的运算
极限及其运算
【解析】
直接通过变换，得到2limΔx→0fx0+2Δx−fx02Δx=1，即2f′x0=1，从而得到答案.
【解答】
解：∵ limΔx→0fx0+2Δx−fx0Δx=1，
∴ 2limΔx→0fx0+2Δx−fx02Δx=1，
即2f′x0=1，即f′x0=12.
故答案为：12.
三、解答题
【答案】
解：1令fx=x3+1，f−1=−13+1=0，
则f′x=3x2，
则在x=−1处的切线斜率k=f′−1=3，
则在x=−1处的切线方程为y−0=3x+1，
即切线方程为：3x−y+3=0.
2因为fx=x3+1，所以设切点为x0,x03+1，
斜率为k=3x02，
则所求切线方程为：y−x03+1=3x02x−x0，①
因为切线过点−1,0，
所以有0−x03+1=3x02−1−x0，
解得：x0=−1或x0=12，
代入①化简可得切线方程为3x−y+3=0或3x−4y+3=0.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
1求出在x=−1处的导数即为切线斜率，代入点斜式方程化简则可求出切线方程；
2根据函数方程设出切点，求得在切点处的导数，代入点斜式方程，因为过点−1,0，将点代入直线方程，可求出切点坐标，从而求出切线方程．
【解答】
解：1令fx=x3+1，f−1=−13+1=0，
则f′x=3x2，
则在x=−1处的切线斜率k=f′−1=3，
则在x=−1处的切线方程为y−0=3x+1，
即切线方程为：3x−y+3=0.
2因为fx=x3+1，所以设切点为x0,x03+1，
斜率为k=3x02，
则所求切线方程为：y−x03+1=3x02x−x0，①
因为切线过点−1,0，
所以有0−x03+1=3x02−1−x0，
解得：x0=−1或x0=12，
代入①化简可得切线方程为3x−y+3=0或3x−4y+3=0.
【答案】
解：f′x=x−ax=x2−ax，因为x∈(0,1]，
所以分以下情况讨论：
当a≤0时，f′x>0恒成立，故fx在(0,1]单调递增；
当a∈0,1时，当x∈0,a，f′x0，fx单调递增；
当a≥1时，f′x0恒成立，故fx在(0,1]单调递增；
当a∈0,1时，当x∈0,a，f′x0，fx单调递增；
当a≥1时，f′x