2020-2021学年四川省绵阳市高一（下）5月月考数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高一（下）5月月考数学试卷 (1)人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知平面向量a→=(1, 1)，b→=(1, −1)，则向量12a→−32b→=( )
A.(−2, −1)B.(−2, 1)C.(−1, 0)D.(−1, 2)

2. 已知向量a→，b→满足 |a→|=1, a→⋅b→=−1 ，则a→⋅(2a→−b→)=( )
A.4B.3C.2D.0

3. 在数列{an}中，a1=1，an+1−an=2，a50的值为( )
A.99B.98C.97D.96

4. 设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则S4a2=( )
A.2B.4C.152D.172

5. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）
A.13B.−13C.19D.−19

6. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=( )
A.34AB→−14AC→B.14AB→−34AC→
C.34AB→+14AC→D.14AB→+34AC→

7. 钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=( )
A.5B.5C.2D.1

8. 已知等差数列{an}的公差为−2，如果a1+a4+a7+⋯+a97=50，那么a3+a6+a9+⋯+a99等于( )
A.−182B.−78C.−148D.−82

9. 在△ABC中，已知csAcsB>sinAsinB，则△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

10. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

11. 在△ABC中，|AB→|=1，|AC→|=2，|AB→+AC→|=|BC→|，则AC→在BC→方向上的投影是( )
A.−455B.−55C.55D.455

12. 在△ABC中，已知下列条件：①b=3，c=4，B=30∘；②a=5，b=8，A=30∘；③c=6，b=33，B=60∘；④c=9，b=12，C=60∘.其中满足上述条件的三角形有两解的是( )
A.①②B.①④C.①②③D.③④
二、填空题

已知向量a→=2,6，b→=1,λ，若a→⊥b→，则λ=________.

已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2−n+1，则an=________.

如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45∘，∠CAB=105∘，则A，B两点的距离为________m.


设向量a→，b→，c→满足a→+b→+c→=0→，(a→−b→)⊥c→，a→⊥b→．若|a→|=1，则|a→|2+|b→|2+|c→|2的值是________．
三、解答题

已知 |a→|=4，|b→|=3 ，(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=61.
(1)求a→与 b→ 的夹角θ；

(2)求 |a→+b→| .

在△ABC中，∠A=60∘，c=37a.
(1)求sinC的值；

(2)若a=7，求△ABC的面积．

等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=lg3a1+lg3a2+⋯+lg3an，求数列{1bn}的前n项和．

已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1．
(1)证明数列an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；

(2)令bn=3n⋅an+1，求数列bn的前n项和Tn．

已知向量a→=sinx,34，b→=csx,−1．
(1)当a→//b→时，求tan2x的值；

(2)设函数fx=a→+b→⋅b→，已知fθ=54且0<θ<π2，求θ的值．

如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60∘方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；

(2)求sinα的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
直接利用向量的运算法则求解即可．
【解答】
解：∵ 平面向量a→=(1, 1)，b→=(1, −1)，
∴ 向量12a→−32b→=(12, 12)−(32,−32)=(−1, 2).
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a→⋅(2a→−b→)=2a→2−a→⋅b→=2×12−(−1)=3，
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式即可求出结果
【解答】
解：∵ an+1−an=2，a1=1，
∴ 数列an是首项为1，公差为2的等差数列，
则a50=1+2×50−1=99.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案．
【解答】
解：由于q=2，
∴ S4=a1(1−24)1−2=15a1.
∴ S4a2=15a12a1=152.
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
等比中项
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ S3=a1+a2+a3=a2+10a1，
∴ a3=9a1,
又a32=a1a5=81a12，
∴ a1=181a5=981=19．
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：如图，
则EB→=ED→+DB→=12AD→+12CB→
=12×12AB→+AC→+12AB→−AC→
=34AB→−14AC→．
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
解三角形
余弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出csB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．
【解答】
解：∵ 钝角三角形ABC的面积是12，AB=c=1，BC=a=2，
∴ S=12acsinB=12，即sinB=22，
当B为钝角时，csB=−1−sin2B=−22，
利用余弦定理得：
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB=1+2+2=5，
即AC=5，
当B为锐角时，csB=1−sin2B=22，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB=1+2−2=1，即AC=1，
此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC=5．
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
由题意可得a3+a6+a9+...+a99=a1+a4+a7+...+a97+33×2d，代值计算可得．
【解答】
解：由题意，得a3+a6+a9+⋯+a99
=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+⋯+(a97+2d)
=a1+a4+a7+⋯+a97+33×2d
=50+33×2×(−2)=−82.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
三角形的形状判断
两角和与差的余弦公式
【解析】
结合两角和差的余弦公式，求出角度范围，即可求解.
【解答】
解：∵ csAcsB>sinAssinB，
∴ csAcsB−sinAsinB=csA+B>0，
∴ A+B<90∘，
∴ C>90∘，C为钝角．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
【解答】
解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵ 宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴ 从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴ 381=a(1−27)1−2=127a，解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯.
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的投影
【解析】
（1）将|AB→+AC→|=|BC→|变为|AC→+AB→|=|AC→−AB→|，两边平方，进而解题即可.
【解答】
解：因为|AB→+AC→|=|BC→|，
所以|AC→+AB→|=|AC→−AB→|，
两边平方得到AC→⋅AB→=0，
所以AC→⊥AB→，
可得A=π2，|BC→|=5，
所以csC=255，
则AC→在BC→方向上的投影为|AC→|csC=455.
故选D.
12.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
①利用正弦定理求得满足条件的角C有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解；②利用正弦定理求得满足条件的角C有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解； ③利用正弦定理求得C=π2，三角形有唯一解；④利用正弦定理求得B不存在，三角形无解，从而得出结论．
【解答】
解：在△ABC中，由①b=3，c=4，B=30∘，
可得3sin30∘=4sinC，sinC=23>sin30∘，
故满足条件的角C有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解，故①正确；
由②a=5，b=8，A=30∘，
可得5sin30∘=8sinB，sinB=45>sin30∘，
故满足条件的角C有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解，故②正确；
由③c=6，b=33，B=60∘，
可得6sinC=33sin60∘，sinC=1，
∴ C=π2，三角形有唯一解，故③错误；
由④c=9，b=12，C=60∘，
可得9sin60∘=12sinB，sinB=233>1，
则B不存在，三角形无解，故④错误．
故选A．
二、填空题
【答案】
−13
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=2,6，b→=1,λ，a→⊥b→，
∴ 2×1+6λ=0，解得λ=−13.
故答案为：−13.
【答案】
1(n=1),2n−2(n≥2)
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
当n=1时，a1=S1．当n≥2时，an=Sn−Sn−1．即可得出．
【解答】
解：当n=1时，a1=S1=1−1+1=1；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−n+1−[(n−1)2−(n−1)+1]
=2n−2．
∴ an=1(n=1),2n−2(n≥2).
故答案为：1(n=1),2n−2(n≥2).
【答案】
502
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB
【解答】
解：在△ABC中，∠B=180∘−45∘−105∘=30∘，
由正弦定理，得ABsin∠ACB=ACsin∠B，
∴ AB=AC⋅sin∠ACBsin∠B=50⋅2212=502m，
∴ A，B两点的距离为502m.
故答案为：502．
【答案】
4
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
向量的模
【解析】
由已知向量垂直，它们的数量积为0，结合平面向量数量积的运算性质，求出得|b→|=|a→|=1，从而求得计算结果．
【解答】
解：∵ a→+b→+c→=0→，
∴ c→=−a→−b→.
又∵ (a→−b→)⊥c→，
∴ (a→−b→)⋅c→=0，
即(a→−b→)⋅(−a→−b→)=0，
∴ (−b→)2−a→2=0，
∴|b→|=|a→|=1.
又∵ a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=0，
∴ c→2=(−a→−b→)2
=a→2+2a→⋅b→+b→2
=1+0+1=2，
∴ |a→|2+|b→|2+|c→|2=1+1+2=4.
故答案为：4．
三、解答题
【答案】
解：(1)由已知得：4a→2−3b→2−4a→⋅b→=61，
即4×16−3×9−4×4×3csθ=61，
解得csθ=−12，
又∵ θ∈[0, π]，
∴ a→与b→的夹角是2π3.
(2)|a→+b→|2=a→2+2a→⋅b→+b→2=13，
∴ |a→+b→|=13.
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得：4a→2−3b→2−4a→⋅b→=61，
即4×16−3×9−4×4×3csθ=61，
解得csθ=−12，
又∵ θ∈[0, π]，
∴ a→与b→的夹角是2π3.
(2)|a→+b→|2=a→2+2a→⋅b→+b→2=13，
∴ |a→+b→|=13.
【答案】
解：(1)∠A=60∘， c=37a，
由正弦定理可得sinC=37sinA
=37×32=3314．
(2)a=7，则c=3，
∴ C∵ sin2C+cs2C=1，
又由(1)可得csC=1314，
∴ sinB=sinA+C
=sinAcsC+csAsinC
=32×1314+12×3314=437，
∴ S△ABC=12acsinB
=12×7×3×437=63．
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）根据正弦定理即可求出答案．
（2）根据同角的三角函数的关系求出csC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．
【解答】
解：(1)∠A=60∘， c=37a，
由正弦定理可得sinC=37sinA
=37×32=3314．
(2)a=7，则c=3，
∴ C∵ sin2C+cs2C=1，
又由(1)可得csC=1314，
∴ sinB=sinA+C
=sinAcsC+csAsinC
=32×1314+12×3314=437，
∴ S△ABC=12acsinB
=12×7×3×437=63．
【答案】
解：(1)设数列{an}的公比为q，
由a32=9a2a6得a32=9a42，
所以q2=19．
由条件可知各项均为正数，故q=13．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，
所以a1=13．
故数列{an}的通项式为an=13n．
(2)bn=lg3a1+lg3a2+...+lg3an=−(1+2+...+n)=−n(n+1)2，
故1bn=−2n(n+1)=−2(1n−1n+1)，
则有Tn=1b1+1b2+...+1bn
=−2[(1−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)]
=−2nn+1，
所以数列{1bn}的前n项和Tn为−2nn+1．
【考点】
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
（1）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；
（2）把（1）求出数列{an}的通项公式代入设bn=lg3a1+lg3a2+...+lg3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为1bn的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1bn}的前n项和．
【解答】
解：(1)设数列{an}的公比为q，
由a32=9a2a6得a32=9a42，
所以q2=19．
由条件可知各项均为正数，故q=13．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，
所以a1=13．
故数列{an}的通项式为an=13n．
(2)bn=lg3a1+lg3a2+...+lg3an=−(1+2+...+n)=−n(n+1)2，
故1bn=−2n(n+1)=−2(1n−1n+1)，
则有Tn=1b1+1b2+...+1bn
=−2[(1−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)]
=−2nn+1，
所以数列{1bn}的前n项和Tn为−2nn+1．
【答案】
解：(1)由an+1=2an+1可得an+1+1=2an+1，
∵ a1+1=2≠0，
∴ an+1是首项为2，公比为2的等比数列．
∴ a1+1=2×2n−1=2n，
∴ an=2n−1．
(2)由(1)可知，bn=3n⋅2n，
∴ Tn=3×21+6×22+9×23+⋯+3n−1⋅2n−1+3n⋅2n①，
2Tn=3×22+6×23+9×24+⋯+3n−1⋅2n+3n⋅2n+1②，
①−②，得−Tn=3×21+22+23+⋯+2n−3n⋅2n+1，
∴ Tn=3n−3⋅2n+1+6.
【考点】
等比数列的通项公式
等比关系的确定
数列的求和
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)由an+1=2an+1可得an+1+1=2an+1，
∵ a1+1=2≠0，
∴ an+1是首项为2，公比为2的等比数列．
∴ a1+1=2×2n−1=2n，
∴ an=2n−1．
(2)由(1)可知，bn=3n⋅2n，
∴ Tn=3×21+6×22+9×23+⋯+3n−1⋅2n−1+3n⋅2n①，
2Tn=3×22+6×23+9×24+⋯+3n−1⋅2n+3n⋅2n+1②，
①−②，得−Tn=3×21+22+23+⋯+2n−3n⋅2n+1，
∴ Tn=3n−3⋅2n+1+6.
【答案】
解：(1)∵ a→//b→，
∴ 34csx+sinx=0，
∴ tanx=−34，
∴ tan2x=2tanx1−tan2x=−247．
(2)∵ fx=a→+b→⋅b→=sinxcsx+cs2x+14
=12sin2x+1+cs2x2+14=22sin2x+π4+34，
由题意，得22sin2θ+π4+34=54，
即sin2θ+π4=22，
由0<θ<π2，得π4<2θ+π4<5π4，
∴ 2θ+π4=3π4，解得θ=π4．
【考点】
二倍角的正切公式
平面向量共线（平行）的坐标表示
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
三角函数中的恒等变换应用
数量积的坐标表达式
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)∵ a→//b→，
∴ 34csx+sinx=0，
∴ tanx=−34，
∴ tan2x=2tanx1−tan2x=−247．
(2)∵ fx=a→+b→⋅b→=sinxcsx+cs2x+14
=12sin2x+1+cs2x2+14=22sin2x+π4+34，
由题意，得22sin2θ+π4+34=54，
即sin2θ+π4=22，
由0<θ<π2，得π4<2θ+π4<5π4，
∴ 2θ+π4=3π4，解得θ=π4．
【答案】
解：(1)依题意，∠BAC=120∘，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cs∠BAC
=122+202−2×12×20×cs120∘=784．
解得BC=28．
所以渔船甲的速度为BC2=14海里/小时．
答：渔船甲的速度为14海里/小时．
(2)在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120∘，BC=28，∠BCA=α，
由正弦定理，得ABsinα=BCsin120．
即sinα=ABsin120BC=12×3228=3314．
∴ sinα的值为3314．
【考点】
解三角形
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）由题意推出∠BAC＝120∘，利用余弦定理求出BC＝28，然后推出渔船甲的速度；
（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．
方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出csα，然后转化为sinα．
【解答】
解：(1)依题意，∠BAC=120∘，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cs∠BAC
=122+202−2×12×20×cs120∘=784．
解得BC=28．
所以渔船甲的速度为BC2=14海里/小时．
答：渔船甲的速度为14海里/小时．
(2)在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120∘，BC=28，∠BCA=α，
由正弦定理，得ABsinα=BCsin120．
即sinα=ABsin120BC=12×3228=3314．
∴ sinα的值为3314．