2020-2021年江西省赣州市高三（下）4月月考数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021年江西省赣州市高三（下）4月月考数学（文）试卷北师大版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 复数z=1+3i，则z2在复平面上所对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 已知集合A=x,y|x+y+12x−y+1=0，则集合A中元素个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.无数个

3. 从编号依次为01，02，…，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为( )
A.09B.02C.15D.18

4. 在平面直角坐标系xOy中，若点A与点B2,1关于直线y=x对称，则sin∠AOx等于( )
A.15B.25C.55D.255

5. 已知fx=ex−1ex+1，则“x1+x2=0”是"fx1+fx2=0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 函数fx=sinωx+π6ω>0部分图象如图所示，若△ABC的面积为π4，则ω=( )

A.32B.2C.3π2D.2π

7. 已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A3,1，则△APF周长的最小值为( )
A.2+25B.4+5C.3+5D.6+5

8. 直线l:y=kx+2上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是( )
A.−2,2B.−3,3C.−1,1D.−33,33

9. 已知f(x)=ax2，x∈(0,1)，lgax，x∈[1,2)，若fx=1有两解，则a的取值范围是( )
A.(0,12)B.(0,12]C.(1,2]D.1,2

10. 如图是默默无“蚊”的广告创意图，图中网格是单位正方形，阴影部分由若干个半圆弧首尾相连组成的图形，最外层的半圆弧与矩形相切，从矩形中任取一点，则落在阴影部分的概率是( )

A.π14B.3π28C.5π56D.π7

11. 如图，正四棱锥P−ABCD的高为12，AB=62，E，F分别为PA，PC的中点，过点B，E，F的截面交PD于点M，截面EBFM将四棱锥分成上下两个部分，规定BD→为主视图方向，则几何体CDAB−FME的俯视图为( )

A.B.C.D.

12. 将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线x22−y22=1的图象绕原点逆时针旋转45∘后，能得到反比例函数y=1x的图象（其渐近线分别为x轴和y轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”y=mx+nx(m>0，n>0)也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为y=mx和y轴）．
设m=33，n=3，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为( )

A.43B.4C.26D.27
二、填空题

已知a→=−1,2，b→=3,−1，则与a→−b→同方向的单位向量是________.

若曲线y=x24−3lnx在x=x0处的切线的斜率为12，则x0=________.

四面体ABCD中， ∠ABC=∠BCD=90∘，AB=BC=CD=2，AD=23，则该四面体的外接球表面积为________.

如图，平面凹四边形ABCD，其中AB=5，BC=8，∠ABC=60∘，∠ADC=120∘，则四边形ABCD面积的最小值为________.

三、解答题

已知数列an中，a1=2，a2=12，anan+2=1n∈N∗ .
(1)求a3，a5的值；

(2)求an的前2021项和S2021 .

春节期间，防疫常态化要求减少人员聚集，某商场为了应对防疫要求，但又不影响群众购物，采取推广使用“某某到家”线上购物APP，再由物流人员送货到家，下左图为从某区随机抽取100位年龄在[10,70)的人口年龄段的频率分布直方图，下右图是该样本中使用了“某某到家”线上购物APP人数占抽取总人数比的频率柱状图．

(1)从年龄段在[60,70)的样本中，随机抽取两人，估计都不使用“某某到家”线上购物APP的概率；

(2)若把年龄低于40岁（不含）的人称为“青年人”，为确定是否有99.9%的把握认为“青年人”更愿意使用“某某到家”线上购物APP，填写下列2×2联表，并作出判断．
参考数据：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d .

如图，菱形ABCD的边长为6，对角线交于点E，∠ABC=2π3，将△ADC沿AC折起得到三棱锥D−ABC，点D在底面ABC的投影为点O．

(1)求证：AC⊥BD；

(2)当O为△ABC的重心时，求C到平面ABD的距离．

已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=32，椭圆E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，四边形ACBD的面积为4．
(1)求椭圆E的方程；

(2)若P是椭圆E上一点（不在坐标轴上），直线PC，PD分别与x轴相交于M，N两点，设PC，PD，OP的斜率分别为k1，k2，k3，过点P的直线l的斜率为k，且k1k2=kk3，直线l与x轴交于点Q，求|MQ|−|NQ|的值．

已知函数fx=ex，gx=x，直线y=aa>0分别与函数y=fx，y=gx的图象交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求|AB|长度的最小值；

(2)求最大整数k，使得k0)，
当x=0时，f(0)=sinπ6=12.
因为△ABC的面积为π4，
所以π4=12×OB⋅AC=12×12⋅AC，
所以AC=π，
所以34T=π，
所以T=4π3，
所以ω=2πT=2π4π3=32.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】

【解答】
解：∵抛物线y2=4x，
∴F1,0，准线为l：x=−1，
过P点作PN⊥l，如图，
AF=3−12+1−02=5，
∴C△APF=|AF|+|AP|+|PF|
=5+|AP|+|PN|，
要使△APF周长最小，则使|AP|+|PN| 最小即可，
过A点作AM⊥l，与抛物线交于P1点，
此时△APF周长也最小，
∴△APF周长最小为4+5．
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
直线l:y=kx+2上存在两个不同的点到原点距离等于1，则直线l与圆x2+y2=1有两个交点，则圆心到直线的距离d=|2k|1+k2小于圆x2+y2=1半径1，解不等式即可．
【解答】
解：直线l:y=kx+2上存在两个不同的点到原点距离等于1，
则直线l与圆x2+y2=1有两个交点，
圆x2+y2=1的圆心为0,0，r=1，
圆心到直线l的距离d=|2k|1+k2
则d0，记φx=xlnx+x2x>0，
所以φ′(x)=lnx+1+2x(x>0)，显然φ′x单调递增．
因为φ′(12)=ln12+2>0，φ′(1e2)=ln1e3+1+2e20)，则ℎ′(a)=a−1a(a>0)，
当a∈(0,1)时，ℎ′(a)0，ℎ(a)单调递增；
所以ℎ(a)min=ℎ(1)=1，即|AB|长度最小值为1.
(2)由OA→⋅OB→=alna+a2a>0，记φx=xlnx+x2x>0，
所以φ′(x)=lnx+1+2x(x>0)，显然φ′x单调递增．
因为φ′(12)=ln12+2>0，φ′(1e2)=ln1e3+1+2e2