2020-2021学年广西贺州市高二（下）5月月考数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年广西贺州市高二（下）5月月考数学（文）试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 集合A=x∈Z|x2−3x−4≤0，B=0,2,4,6，则A∩B中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.5

2. 复数4−2i1+i=( )
A.−1−3iB.−1+3iC.1+3iD.1−3i

3. 经过两点O0,0，A2,2的直线l的倾斜角为（ ）
A.150∘B.90∘C.45∘D.15∘

4. 已知a→与b→的夹角θ满足csθ=14，且|a→|=4，|b→|=2，则a→⋅b→=（ ）
A.2B.32C.1D.12

5. 函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是( )
A.a>0B.a≥0C.a0,b>0 在直线x+y=1上，则1a+1b的最小值是（ ）
A.1B.2C.3D.4

10. 已知x，y的值如下表所示：
如果y与x呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+72，则b=( )
A.12B.−12C.−110D.110

11. 已知f(x)=14x2+csx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
A.B.
C.D.

12. 过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另外一条渐近线交于点B，若|AB|=2a，则ba=( )
A.2B.12C.5+12D.5−12
二、填空题

若实数x，y满足x≤3,x+y≥2,y≤x,则x+2y的最大值为________.

设向量a→=(1, 2)，b→=(2, 1)，若向量a→−λb→与向量c→=(5, −2)共线，则λ的值为________．

函数f(x)=lgx−sinx的零点的个数为________．

等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有SnTn=2n−13n−2，则a11b6+b10+a5b7+b9的值为________．
三、解答题

已知等比数列{an}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=lg4an．证明：{bn}为等差数列，并求{bn}的前n项和Sn．

甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34，23，12，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响．
(1)求甲同学只通过一项考试的概率；

(2)若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率．

如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，且AA1=BC=2AB=4．

(1)求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；

(2)求三棱锥C−ABC1的体积．

已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1)，B(0,−1)，焦距为23.
(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为−14．证明：点D在x轴上．

已知a是实数，函数fx=x2x−a .
(1)当a=1时，求函数fx在x=1处的切线方程；

(2)求fx在区间0,2上的最大值．

已知直线l:x=5+32t,y=3+12t （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2csθ．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5, 3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|⋅|MB|的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西贺州市高二（下）5月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
可求出集合A，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出A∩B元素的个数．
【解答】
解：∵集合A=x∈Z|x2−3x−4≤0
=x∈Z|−1≤x≤4
=−1,0,1,2,3,4，
B=0,2,4,6，
∴A∩B=0,2,4，
∴A∩B中元素的个数为3．
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：4−2i1+i=(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i2=1−3i．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
直线的斜率
【解析】
先求出直线的斜率，再利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.
【解答】
解：经过两点O0,0，A2,2的直线l的斜率为2−02−0=1，
tan45∘=1，
∴ 直线l的倾斜角为45∘.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a→⋅b→=|a→||b→|csθ=4×2×14=2．
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
利用导数研究函数的极值
【解析】
用排除法．
当a=0时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除B，D；
当a>0时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除A，进而得到答案．
【解答】
解：当a=0时，函数f(x)=ax3+x+1=x+1是单调增函数无极值，
故排除B，D.
当a>0时，函数f(x)=ax3+x+1是单调增函数无极值，
故排除A.
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：根据框图，执行程序，可得：
S=21，n=2；
S=21+22，n=3；
…
S=21+22+...+2i，n=i+1，
令S=21+22+...+2i=126，
解得i=6，即n=7时循环结束，
所以n≤6.
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
直接利用正弦定理求解即可.
【解答】
解：由正弦定理asinA=bsinB得
b=a⋅sinBsinA=6×2232=2.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
等比数列的性质
等差中项
【解析】
直接利用等比数列公式得出结果.
【解答】
解：∵a1a5a9=27，
∴ a5 = 3，
∴a6 + a7 = 3q+3q2=18，解得q=2，
∴ a10=a5q5=3×25=96.
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
把点的坐标代入直线方程中，由此利用基本不等式求1a+1b的最小值．
【解答】
解：由题意知，a>0 ，b>0，且a+b=1，
所以1a+1b=1a+1ba+b=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4，
当且仅当a=b=12时取等号，
所以1a+ab的最小值为4．
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．
【解答】
解：x¯=2+3+43=3，
y¯=5+4+63=5，
∴ 这组数据的样本中心点是(3, 5)，
∵ 线性回归直线的方程一定过样本中心点，
∴ 5=3b+72，
∴ b=12．
故选A．
11.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
函数奇偶性的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f(x)=14x2+csx，
∴f′(x)=12x−sinx,
∴f′(−x)=−f′(x),
∴ f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D,
当x=π2， f′(π2)=π4−sinπ2=π4−1a，即可求得所求值．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为y=±bax，
设FA⊥渐近线y=−bax，
则直线FA斜率为ab，
直线FA的方程为y−0=abx+c，
代入渐近线方程y=bax可得B的坐标为(a2cb2−a2,abcb2−a2)b>a，
代入渐近线方程y=−bax可得A的坐标为(−a2c,abc)，
由|AB|=2a，可得(a2cb2−a2+a2c)2+(abcb2−a2−abc)2=4a2，
由c2=a2+b2，可得b2−a22=a2b2，
即为b4−3a2b2+a4=0，
可得b2=3+52a2，
即有ba=5+12．
故选C．
二、填空题
【答案】
9
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
本题考查线性规划的应用.
【解答】
解：作出可行域如图：
令z=x+2y，则y=−12x+12z，
由图可知直线y=−12x+12z经过点A时，z取得最大值．
由x=3,y=x,可得A(3,3)，
则x+2y的最大值为：3+2×3=9．
故答案为：9．
【答案】
43
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
由平面向量坐标运算法则先求出a→−λb→，再由向量a→−λb→与向量c→=(5, −2)共线，能求出λ．
【解答】
解：∵ 向量a→=(1, 2)，b→=(2, 1)，
∴ a→−λb→=(1−2λ, 2−λ)，
∵ 向量a→−λb→与向量c→=(5, −2)共线．
∴ (1−2λ)×(−2)−(2−λ)×5=0，
解得λ=43．
故答案为：43．
【答案】
3
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
本题即求函数y=lgx的图象（红线部分）和函数y=sinx的图象（蓝线部分）的交点个数，数形结合可得结论．
【解答】
解：函数f(x)=lgx−sinx的零点的个数，
即函数y=lgx的图象（虚线部分）和函数y=sinx的图象（实线部分）的交点个数，
如图所示：
显然，函数y=lgx的图象和函数y=sinx的图象的交点个数为3，
故答案为：3．
【答案】
2943
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
结合等差数列的性质及等差数列的求和公式的特点进行转化即可求解．
【解答】
解：因为{an}，{bn}是等差数列，
所以a11b6+b10+a5b7+b9=a11+a52b8=2a82b8，
因为S15T15=a1+a15b1+b15=2a82b8=2×15−13×15−2=2943．
故答案为：2943．
三、解答题
【答案】
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意 q>0．
∵ a2=8，a3+a4=48，
∴ a1q=8，a1q2+a1q3=48．
两式相除得 q2+q−6=0，
解得 q=2，舍去 q=−3．
∴ a1=a2q=4．
∴ 数列{an}的通项公式为 an=a1⋅qn−1=2n+1．
(2)由(1)得 bn=lg4an=n+12．
∵ bn+1−bn=n+22−n+12=12，
∴ 数列{bn}是首项为1，公差为d=12的等差数列．
∴ Sn=nb1+n(n−1)2d=n2+3n4．
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
(Ⅰ)利用等比数列的通项公式即可得出；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论和对数的运算法则进行化简，再计算bn+1−bn是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．
【解答】
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意 q>0．
∵ a2=8，a3+a4=48，
∴ a1q=8，a1q2+a1q3=48．
两式相除得 q2+q−6=0，
解得 q=2，舍去 q=−3．
∴ a1=a2q=4．
∴ 数列{an}的通项公式为 an=a1⋅qn−1=2n+1．
(2)由(1)得 bn=lg4an=n+12．
∵ bn+1−bn=n+22−n+12=12，
∴ 数列{bn}是首项为1，公差为d=12的等差数列．
∴ Sn=nb1+n(n−1)2d=n2+3n4．
【答案】
解：记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A，B，C，
(1)甲同学只通过一项考试的概率
P(AB¯C¯+A¯BC¯+A¯B¯C)
=34×13×12+14×23×12+14×13×12=14 .
(2)则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC∪AB¯C .
∵ ABC与AB¯C互斥，且A，B，C彼此独立，
∴ P(ABC∪AB¯C)=P(ABC)+P(AB¯C)
=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B¯)P(C)
=34×23×12+34×13×12=38.
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A,B,C，
（1）甲同学只通过一项考试的概率
PABC¯+ABC¯+ABC¯=34×13×12+14×23×12+14×13×12=14 .
（2）则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC∪AB¯C .
∵ ABC与AB¯C互斥，且A，B，C彼此独立，
∴ P(ABC∪AB¯C)=P(ABC)+P(AB¯C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B¯)P(C)=34×23×12+34×13×12=38 .
【解答】
解：记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A，B，C，
(1)甲同学只通过一项考试的概率
P(AB¯C¯+A¯BC¯+A¯B¯C)
=34×13×12+14×23×12+14×13×12=14 .
(2)则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC∪AB¯C .
∵ ABC与AB¯C互斥，且A，B，C彼此独立，
∴ P(ABC∪AB¯C)=P(ABC)+P(AB¯C)
=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B¯)P(C)
=34×23×12+34×13×12=38.
【答案】
(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC．
因为AB⊂平面ABC，
所以BB1⊥AB.
因为AB⊥BC，BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BCC1B1，
又因为AB⊂平面ABC1，
所以平面ABC1⊥平面BCC1B1.
(2)解：∵ AA1=BC=2AB=4，CC1⊥平面ABC，
∴ VC−ABC1=VC1−ABC=13S△ABC⋅CC1
=13×12×2×4×4=163.
【考点】
平面与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．
因为AB⊂平面ABC，
所以BB1⊥AB .
因为AB⊥BC，BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BCC1B1，
又因为AB⊂平面ABC1，
所以平面ABC1⊥平面BCC1B1 .
（2）∵ AA1=BC=2AB=4,CC1⊥平面ABC，
∴ VC−ABC1=VC1−ABC=13S△ABC⋅CC1=13×12×2×4×4=163 .
【解答】
(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC．
因为AB⊂平面ABC，
所以BB1⊥AB.
因为AB⊥BC，BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BCC1B1，
又因为AB⊂平面ABC1，
所以平面ABC1⊥平面BCC1B1.
(2)解：∵ AA1=BC=2AB=4，CC1⊥平面ABC，
∴ VC−ABC1=VC1−ABC=13S△ABC⋅CC1
=13×12×2×4×4=163.
【答案】
(1)解：设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1，
由题意得b=1，c=3，
所以a2=b2+c2=4，即a=2，
故椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明：设Mx1,m，则N−x1,m，x1≠0，−1