2021学年第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示示范课ppt课件

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1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.(数学抽象)2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.(数学抽象)3.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.(数学运算)4.会判断两个函数是不是同一个函数.(逻辑推理)5.能正确使用区间表示数集.(数学抽象)
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知识点一:函数的概念
名师点析 (1)函数有三要素:定义域、值域、对应关系.(2)因为函数的值域可由函数的定义域和对应关系确定,所以确定一个函数只需两个要素:定义域和对应关系.(3)理解函数的概念应关注三点:①函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应,这三性只要有一个不满足,便不能构成函数;②y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定就是解析式;③除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数.
微思考1(1)若f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则函数的值域是集合B吗?提示 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则函数的值域C是集合B的子集,即C⊆B.(2)在函数的概念中,如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗?提示 确定,一一对应.
微思考2若f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,要求集合A中的元素在集合B中有唯一的元素与其对应,而对于集合B中的元素有要求吗?提示 对于集合B,只要集合B不是空集即可,不要求集合B中的元素在集合A中都有元素与其对应,即集合B中可以有元素在集合A中无对应元素.
知识点二:区间的概念与表示设a,b∈R,且a微思考(1)实数集R及x≥a,x>a,x≤a,x(2)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗?提示 不是任何数集都能用区间表示,如集合{0,1,2}就不能用区间表示.
知识点三:同一个函数如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.名师点析 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数就相同,譬如f(x)=x+1,x∈R与函数f(t)=t+1,t∈R表示同一个函数.
微拓展同一个函数的判定两个函数当且仅当定义域与对应关系分别相同时,才是同一个函数,这说明:(1)定义域不同,两个函数就不同.(2)对应关系不同,两个函数也是不相同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系.
例1下列对应是从实数集R到R上的一个函数的是　　　　　.(填序号) ①f:把x对应到x;②g:把x对应到 ;③h:把x对应到 ;④r:把x对应到x2.答案 ①④解析 ①中对应关系f是从R到R的一个函数;②中对应关系g不是从R到R的一个函数,因为当x=0时, 的值不存在;③中对应关系h不是从R到R的一个函数,因为当x<0时, 的值不存在;④中对应关系r是从R到R的一个函数.要点笔记 函数的判断方法结合函数的定义,对集合A中任意一个x,判断在集合B中是否有唯一确定的y值与之对应.
变式训练1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是(　　)
例2已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为　　　　　. 答案 (-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]解析 ∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3反思感悟 用区间表示集合的注意点(1)正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.(2)用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.
变式训练2(1)集合{x|0例3(多选题)(2021江苏启东高一期中)下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一个函数的是(　　)
反思感悟 判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤
变式训练3下列各组函数:④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).其中是同一个函数的是　　　　　. 
答案 ⑤解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系都相同,是同一个函数.
反思感悟 常见函数定义域的求法(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
反思感悟 求函数值域的基本方法是根据解析式特征,选择恰当的方法,常见方法如下:(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;(2)配方法:此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法;
(4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b± ),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域;(5)基本不等式法:若所给函数解析式直接(或化简后)满足基本不等式的条件,可以直接使用基本不等式求最值.
变式训练5下列函数中值域是[0,+∞)的是(　　)A.y=2x+1 B.y=(x-1)2答案 B解析 y=2x+1的值域为(-∞,+∞),y=(x-1)2的值域为[0,+∞),
用逆向思维解决函数定义域(或值域)问题典例 已知函数 的定义域为R,求实数a的取值范围.分析把求函数定义域问题转化为方程ax2+4ax+3=0无实根问题.
【规范答题】解 依题意,要使函数有意义,必须ax2+4ax+3≠0.即要使函数的定义域为R,必须方程ax2+4ax+3=0无实根.当a=0时,方程ax2+4ax+3=0无实根;当a≠0时,若方程ax2+4ax+3=0无实根,则有判别式Δ<0,
方法点睛 定义域(或值域)的逆向问题常化为方程或不等式问题.一般地,(1)ax2+bx+c>0对x∈R恒成立,有a=b=0,c>0或a>0时,Δ=b2-4ac<0.(2)ax2+bx+c<0对x∈R恒成立,有a=b=0,c<0或a<0时,Δ=b2-4ac<0.(3)ax2+bx+c=0无实根,有a=0时,b=0,c≠0或a≠0时,Δ<0.
答案 B解析 原问题化为ax2-x+a≠0对x∈R恒成立问题.(1)当a=0时,显然不合题意.(2)当a≠0时,只需Δ<0即可,即(-1)2-4a2<0,解得a<- 或a> .
2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是(　　)
答案 ACD解析 对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同.
A.{x|x≥-2}B.{x|x≥-2,且x≠-1}C.{x|x>-2}D.{x|-2≤x<1}答案 B
4.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是　　　　　.(用区间表示) (2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是　　　　　.(用区间表示) 
解析 (1)∵-15.已知函数f(x)=x+ .(1)求f(x)的定义域;(2)求f(-1),f(2)的值;(3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.解 (1)要使函数f(x)有意义,必须使x≠0,故f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).