高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制评课ppt课件

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1.了解弧度制,体会引入弧度制的必要性.(数学抽象)2.能进行弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度制.(数学运算)3.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式,会应用公式解决简单的问题.(数学运算)
[激趣诱思]在日常生活中,一个量可用不同的标准来度量,从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算.例如:长度既可以用米、厘米来度量,也可以用尺、寸来度量;面积可以用平方米来度量,也可以用公顷来度量.常用的温度度量也有两种:一种是摄氏度,它的发明者是瑞典的安德斯·摄尔修斯,它的标准
是“在1标准大气压下,纯净的冰水混合物的温度为0摄氏度,水的沸点为100摄氏度,其间平均分为100份,每一等份为1摄氏度,记作1 ℃”;另一种是华氏温度,是德国人华伦海特以水银为测温介质发明的,它的标准是“把纯水的冰点温度定为 32 ℉,把标准大气压下水的沸点温度定为212 ℉,中间分为180等份,每一等份代表1华氏度,记作1 ℉”.类似地,角除了使用角度来度量外,还可以用本节要学习的弧度来度量.
知识点一:度量角的两种单位制
微思考在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗?提示 不相等.因为弧长等于1,在大小不同的圆中,由于半径不同,圆心角也不同.
知识点二:弧度数的计算与互化1.弧度数的计算(1)正角:正角的弧度数是一个正数.(2)负角:负角的弧度数是一个负数.(3)零角:零角的弧度数是0.(4)在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|= .
2.角度制与弧度制的换算
3.一些特殊角与弧度数的对应关系
微判断(1)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(　　)(2)160°化为弧度数是 π rad.(　　)答案 (1)√　(2)√
微练习下列换算结果错误的是(　　)
解析 -150°化成弧度是- π,故C项错误.
知识点三:扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则
微练习已知扇形的半径r=30,圆心角α= ,则该扇形的弧长等于　　　　　,面积等于　　　　　,周长等于　　　　　. 答案 5π　75π　60+5π
例1(多选题)下列说法中正确的是(　　)A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关答案 ABC解析 无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
反思感悟 1.不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径的大小无关的定值.2.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,数量也不同.3.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.4.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成nπ(n∈R)的形式.若无特别要求,不必把π写成小数,如45°= rad,不必写成45°≈0.785 rad.
变式训练1下列说法正确的是(　　)A.1弧度是长度等于半径的弧B.1弧度是1°的圆心角所对的弧C.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角D.1弧度等于1°答案 C解析 1弧度角的定义:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.由题意可知,只有C正确.
例2(1)①将112°30'化为弧度为　　　　　. 
要点笔记 角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键;(2)方法:度数× =弧度数;弧度数×( )°=度数;(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
变式训练2(1)将-157°30'化成弧度为　　　　　. 
例3用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
分析先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集合.
反思感悟 用弧度制表示角应注意的问题:(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.(2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 ,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
例4(1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积;(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.分析(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.
解 (1)设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角为2 rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.故扇形的面积
延伸探究 本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.
解 设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则有2r+l=8,于是l=8-2r,故当半径为2 cm,圆心角为2时,扇形面积最大值为4 cm2.
反思感悟 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是(0,2π),实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
一题多解:与弧度有关的实际应用问题典例 在一般的时钟上,自0时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少?(不考虑旋转方向)
方法点睛 两种方法得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.方法1是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解;而方法2则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α比时针所转过的弧度数多2π,利用时针和分针的旋转速度之间的关系列出方程求解.
2.角 终边所在的象限是(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A
5.若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm,则这个圆的半径r=　　　　　,圆心角所在的扇形面积是　　　　　. 答案 2 cm　4 cm2
6.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.