2021学年5.1 任意角和弧度制学案及答案

这是一份2021学年5.1 任意角和弧度制学案及答案，共9页。


授课提示：对应学生用书第76页
[教材提炼]
知识点一 角的概念
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？
知识梳理 (1)角的概念
(2)角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：
(3)相等角与相反角
①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.
③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
知识点二 象限角
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？
知识梳理 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点三 终边相同的角
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
30°与390°、－330°的终边有什么关系？
知识梳理 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[自主检测]
1．与30°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
答案：A
2．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．45°－4×360° B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
答案：D
3．若α是锐角，则180°＋α是第________象限角．
解析：若α是锐角，则0°<α<90°，
所以180°<α＋180°<270°，从而α＋180°是第三象限角．
答案：三
4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________．
解析：与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)．
由0°≤－120°＋k·360°<360°，k∈Z，得eq \f(1,3)≤k又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.
答案：240°
授课提示：对应学生用书第77页
探究一 任意角的概念
[例1] (1)下列说法正确的有________．(填序号)
①零角的始边和终边重合．
②始边和终边重合的角是零角．
③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.
④绝对值最小的角是零角．
(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？
[解析] (1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．
(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5eq \f(5,12)小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋eq \f(5,12))×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(5,12)))×360°＝－1 950°.
[答案] (1)①③④ (2)见解析
求解任意角问题的步骤
(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．
(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．
写出下列说法所表示的角：
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角；
(3)向右转体3周．
解析：(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角为900°.
(3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周，表示的角为－1 080°.
探究二 象限角与终边相同的角
[例2] [教材P170例1、例2拓展探究]
(1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．
(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.
(3)写出终边在x轴上的角的集合．
[解析] (1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，
所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°.
(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.
②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.
(3)终边在x轴的非负半轴的角的集合
S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．
终边在x轴的非正半轴的角的集合
S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．
∴终边在x轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．
[答案] (1)150° (2)(3)见解析
1.判断α是第几象限角的三个步骤
第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．
第二步，判断β的终边所在的象限．
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
2．求解给定范围内终边相同的角的方法
先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.
3．已知角的终边所在直线或射线求角的集合方法
先写出0°～360°内的射线所在的角的集合，再将各个集合进行合并．
探究三 区域角的写法
[例3] (1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．
(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．
[解析] (1)若角α的终边落在OA上，
则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.
若角α的终边落在OB上，
则α＝30°＋360°·k，k∈Z.
所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.
故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}
(2)在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，
所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，
＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，
S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，
所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．
[答案] (1){α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z} (2)见解析
由角的终边的范围求角的集合的步骤
(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．
(2)按照所给的范围写出角的范围．
(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．
如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角θ的集合(不包含边界)．
解析：(1)如题图(1)所示，以OA为终边的角是75°，以OB为终边的角是330°，也可看成－30°，
∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：
S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}，
∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为
{θ|k·360°－30°<θ(2)如题图(2)所示，以OA为终边的角是135°，以OB为终边的角是225°，也可看成－135°，
∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|－135°＋k·360°<θ<135°＋k·360°，k∈Z}．
授课提示：对应学生用书第78页
一、“分”角所在象限的判定方法——“分封制”
已知角α所在象限，要确定角eq \f(α,n)所在象限，有两种方法：
(1)用不等式表示出角eq \f(α,n)的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．
(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角eq \f(α,n)的终边所落在的区域．如此，角eq \f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
[典例] 若α是第一象限角，eq \f(α,3)是第几象限角？
[解析] ∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
∴k·120°＜eq \f(α,3)＜k·120°＋30°(k∈Z)．
法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，
n·360°＜eq \f(α,3)＜n·360°＋30°(n∈Z)，
∴eq \f(α,3)是第一象限角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜eq \f(α,3)＜n·360°＋150°(n∈Z)，
∴eq \f(α,3)是第二象限角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜eq \f(α,3)＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴eq \f(α,3)是第三象限角．
综上可知：eq \f(α,3)是第一、二或第三象限角．
法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为eq \f(α,3)终边所落在区域，故eq \f(α,3)为第一、二或第三象限角．
二、角的终边与角的终边旋转方向不明致错
[典例] 写出角的终边落在OA、OB之间的阴影的角的集合．
[解析] 由OA逆时针旋转到OB，角是由小变大．
OA表示角的终边为k·360°＋210°.
则OB的终边为k·360°＋300°
阴影中的角的集合为{β|β·360°＋210°≤β≤k·360°＋300°，k∈Z}．
纠错心得 此题易错为将角的终边随意写一个角的形式不考虑角的旋转方向，如写为[k·360°＋210°，k·360°－60°]写区域角时，务必要明确角的旋转方向，才能写对角的边界．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.结合具体实例，了解任意角的概念．
数学抽象
逻辑推理
2.能区分正角、负角和零角．
3.掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合表示这些角.
角
描述
定义
角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
表示
其中O为顶点，OA为始边， OB为终边
记法
角α或∠α，或简记为α
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角
象限角
象限角α的集合表示
第一象限角
{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限角
{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限角
{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限角
{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}