高中人教A版 (2019)4.4 对数函数学案设计

这是一份高中人教A版 (2019)4.4 对数函数学案设计，共11页。


授课提示：对应学生用书第63页
[教材提炼]
知识点一 对数函数的图象和性质
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
利用列表描点作y＝lg2x的图象，单调性如何？y＝lgeq \f(1,2)x图象与y＝lg2x图象有什么关系？
y＝lg2x在表中对应的y值是多少？

知识梳理
知识点二 反函数的概念
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
y＝2x图象与y＝lg2x的图象之间有什么关系？
知识梳理 一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
[自主检测]
1．函数y＝lgax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )
A．5 B.eq \f(1,5)
C.eq \f(1,e) D.eq \f(1,2)
答案：A
2．y＝lg2x的图象与y＝lgeq \f(1,2)x的图象关于________对称．
答案：x轴
3．y＝lgax＋1(a＞0且a≠1)的图象过定点________．
答案：(1,1)
4．lg23.4与lg28.5的大小关系为________．
答案：lg23.4＜lg28.5
授课提示：对应学生用书第63页
探究一 对数函数的图象
[例1] [教材P133图象拓展探究]
(1)如图所示的曲线是对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
[解析] 由图可知函数y＝lgax，y＝lgbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝lgcx，y＝lgdx的底数0＜c＜1,0＜d＜1.
过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c＞0.
[答案] b＞a＞1＞d＞c
(2)函数f(x)＝ax－2＋lga(x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过点________．
[解析] 当x＝2时，f(2)＝a0＋lga1＋1＝2，所以图象必经过点(2,2)．
[答案] (2,2)
(3)作出函数y＝|lg2(x＋1)|的图象．
[解析] 第一步：作出函数y＝lg2x的图象(如图①)；
第二步：将y＝lg2x的图象向左平移1个单位长度，得函数y＝lg2(x＋1)的图象(如图②)；
第三步：将函数y＝lg2(x＋1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得y＝|lg2(x＋1)|的图象(如图③)．
1.含绝对值的函数图象的变换
含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称．
2．对数函数y＝lgax的底数a越大，函数图象在x轴上方部分越远离y轴的正方向，即“底大图右”，如图所示．
3．两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图①，如图②.
探究二 比较大小、解不等式
[例2] 比较下列各组数的大小：
(1)lgeq \f(1,2)eq \f(4,5)与lgeq \f(1,2)eq \f(6,7)；
(2)lgeq \f(1,2)3与lgeq \f(1,5)3；
(3)lga2与lga3.
[解析] (1)y＝lgeq \f(1,2)x在(0，＋∞)上递减，
又因为eq \f(4,5)＜eq \f(6,7)，
所以lgeq \f(1,2)eq \f(4,5)＞lgeq \f(1,2)eq \f(6,7).
(2)法一：lgeq \f(1,2)3－lgeq \f(1,5)3＝eq \f(lg 3,lg\f(1,2))－eq \f(lg 3,lg\f(1,5))＝eq \f(lg 3lg\f(1,5)－lg\f(1,2),lg\f(1,2)lg\f(1,5)).
∵y＝lg x是增函数，∴lgeq \f(1,5)∴lgeq \f(1,2)3－lgeq \f(1,5)3<0，∴lgeq \f(1,2)3法二：因为在x∈(1，＋∞)上，y＝lgeq \f(1,5)x的图象在y＝lgeq \f(1,2)x图象的上方，所以lgeq \f(1,2)3＜lgeq \f(1,5)3.
(3)当a＞1时，y＝lgax为增函数，所以lga2＜lga3.
当0＜a＜1时，y＝lgax为减函数，所以lga2＞lga3.
对数值比较大小的常用方法
(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．
(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量．
(3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较．
(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．
比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)lga3.1，lga5.2(a>0，且a≠1)；
(3)lg30.2，lg40.2；
(4)lg3π，lgπ3.
解析：(1)因为函数y＝ln x是增函数，且0.3<2，
所以ln 0.3(2)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以lga3.1当0＜a＜1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以lga3.1>lga5.2.
(3)因为0>lg0.23>lg0.24，所以eq \f(1,lg0.23)(4)因为函数y＝lg3x是增函数，且π>3，所以lg3π>lg33＝1.
同理，1＝lgππ>lgπ3，所以lg3π>lgπ3.
[例3] (1)解不等式lg2(x＋1)>lg2(1－x)；
(2)若lgaeq \f(2,3)<1，求实数a的取值范围．
[解析] (1)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0,1－x>0,x＋1>1－x))，解得0∴原不等式的解集为(0,1)．
(2)若a>1，则lgaeq \f(2,3)<1＝lgaa，∴a>1.
若0综上所述：实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．
(1)lgaf(x)1与不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,gx>0，,fx(2)lgaf(x)0，,gx>0，,fx>gx))同解．
(3)特别地：当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a>1及0 将本例(1)改为lga(x＋1)＞lga(1－x)，求解x的集合．
解析：当a＞1时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＞0,1－x＞0,x＋1＞1－x))，得解集为(0,1)．
当0＜a＜1时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＞0,1－x＞0,x＋1＜1－x))，得解集为(－1,0)．
探究三 函数y＝lgaf(x)单调区间求法
[例4] 求函数f(x)＝lga(2x2－3x－2)的单调区间．
[解析] 由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>2或x<－\f(1,2))))).
①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上为减函数，
∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上为减函数．
②0∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上为增函数．
综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))；当0对于函数y＝lgaf(x)，如果定义域为D.
求函数f(x)＝lg2(x2－1)的单调区间．
解析：令x2－1＞0，
∴x＞1或x＜－1.
设u＝x2－1，当x＞1时，u＝x2－1为增函数．
a＝2＞1，
∴f(x)＝lg2(x2－1)的增区间为(1，＋∞)．
当x＜－1时，u＝x2－1为减函数．
f(x)＝lg2(x2－1)的减区间为(－∞，－1)．
探究四 函数y＝lgaf(x)的最值与值域
[例5] 求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(x2＋4)；
(2)y＝lgeq \f(1,2)(3＋2x－x2)．
[解析] (1)设u＝x2＋4≥4.
而y＝lg2u是增函数．
y≥lg24＝2.
∴函数y＝lg2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)y＝lgeq \f(1,2)(3＋2x－x2)，
设t＝3＋2x－x2
＝－(x－1)2＋4.
令t＞0，－1＜x＜3.
0＜t≤4.
又∵y＝lgeq \f(1,2)t为减函数．
∴y≥lgeq \f(1,2)4＝－2
∴函数y＝lgeq \f(1,2)(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
求形如y＝lgaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数的值域的步骤
(1)分解成y＝lgau，u＝f(x)两个函数；
(2)求f(x)的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝lgau的单调性求解．
设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)x x≥1，,2x x＜1，))则f(x)的值域为________．
解析：当x≥1时，f(x)＝lgeq \f(1,2)x≤lgeq \f(1,2)1＝0.当x＜1时，f(x)＝2x∈(0,2)．故函数f(x)的值域为(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
授课提示：对应学生用书第66页
一、“化整为零”求解对数综合问题
常见的对数函数的综合问题及解决策略
(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：
①由f(－x)＝±f(x)直接列关于参数的方程(组)求解．
②由f(－a)＝±f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，求解，但此时需检验．
(2)用定义证明y＝lgaf(x)型函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．
[典例] 已知函数f(x)＝lneq \f(1－mx,x－1)是奇函数．
(1)求m的值；
(2)判定f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
[解析] (1)f(－x)＝lneq \f(1＋mx,－x－1)＝lneq \f(－1－mx,1＋x)，
－f(x)＝－lneq \f(1－mx,x－1)＝lneq \f(x－1,1－mx)，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即lneq \f(－1－mx,1＋x)＝lneq \f(－1＋x,1－mx)，
∴eq \f(－1－mx,1＋x)＝eq \f(－1＋x,1－mx)，解得m＝±1.
当m＝1时，eq \f(1－mx,x－1)＝－1，函数无意义，∴m＝－1.
(2)f(x)在(1，＋∞)上是减函数，证明如下：
由(1)知f(x)＝lneq \f(x＋1,x－1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x－1))).
任取x1，x2满足1＜x1＜x2，则
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x1－1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x2－1)))＝eq \f(2,x1－1)－eq \f(2,x2－1)＝eq \f(2x2－x1,x1－1x2－1).
∵x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
∴eq \f(2x2－x1,x2－1x1－1)＞0，
∴1＋eq \f(2,x1－1)＞1＋eq \f(2,x2－1)，
∴ln(1＋eq \f(2,x1－1))＞lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x2－1)))，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
二、忽视对对数函数的底数的讨论
[典例] 函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．
[解析] 当a＞1时，因为函数 y＝lgax(a＞0且a≠1)在[2,4]上的最大值是lga4，最小值是lga2，所以lga4－lga2＝1，即lgaeq \f(4,2)＝1，所以a＝2.
当0＜a＜1时，y＝lgax在[2,4]上的最大值为lga2，最小值为lga4，
∴lga2－lga4＝1，
∴lgaeq \f(1,2)＝1，∴a＝eq \f(1,2).
综上，a＝2或a＝eq \f(1,2).
纠错心得 此题易忽略对底数a的分类讨论，而只解一种情况．求闭区间上函数的最值时必须明确函数的单调性，否则需分类讨论．
三、互为反函数的两个函数图象间的关系
根据指数与对数的关系，由y＝ax(a＞0，且a≠1)可以得到x＝lgay(a＞0，且a≠1)，x也是y的函数．通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，将x＝lgay(a＞0，且a≠1)中的字母x和y对调，写成y＝lgax(a＞0，且a≠1)．则y＝ax与y＝lgax(a＞0，a≠1)为互为反函数；其图象关于y＝x对称．y＝ax与x＝lgay(a＞0，a≠1)是等价形式．
原函数y＝ax(a＞0，a≠1)的定义域R是反函数y＝lgax的值域．
原函数y＝ax的值域(0，＋∞)是y＝lgax的定义域．
原函数y＝ax的点(x0，y0)，则(y0，x0)在y＝lgax上．
[典例] 设函数y＝－x＋2与函数y＝10x和y＝lg x分别交于A、B两点，若设A(x1，y1)、B(x2，y2)，求x1＋x2的值．
[解析] ∵y＝10x与y＝lg x是互为反函数．
其图象关于y＝x对称．
A(x1，y1)在y＝10x上．
B(x2，y2)在y＝lg x上．
∴A、B两点关于y＝x对称．
即B(y1，x1)，
∴x1＋x2＝x1＋y1.
又∵A(x1，y1)在y＝－x＋2上
∴y1＝－x1＋2
∴x1＋y1＝2.
∴x1＋x2＝2.
内 容 标 准
学 科 素 养
1.借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象．
直观想象
数学抽象
逻辑推理
2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
3.根据对数函数的性质解决一些问题．
4.理解反函数.
x
y
0.5
－1
1
0
2
1
4
6
8
12
16
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
减函数
增函数
y＝lgaf(x)的增区间
y＝lgaf(x)的减区间
a>1
定义域内f(x)的单调增区间
定义域内f(x)的单调减区间
0定义域内f(x)的单调减区间
定义域内f(x)的单调增区间