人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案，共9页。

授课提示：对应学生用书第114页
[教材提炼]
知识点 y＝Asin(ωx＋φ)的性质
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
由y＝sin x的性质类比出y＝Asin(ωx＋φ)的性质．
知识梳理 性质：(1)定义域与值域：定义域为R，值域为[－A，A]．
(2)周期性：最小正周期T＝eq \f(2π,ω).
(3)对称性：对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－\a\vs4\al(φ),ω)，0))(k∈Z)，对称轴是x＝eq \f(kπ,ω)＋eq \f(π－2\a\vs4\al(φ),2ω)(k∈Z)．
(4)单调性：单调递增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)－\f(\a\vs4\al(φ),ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(π,2ω)－\f(φ,ω)＋\f(2kπ,ω)))(k∈Z)，单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2ω)－\f(\a\vs4\al(φ),ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(3π,2ω)－\f(\a\vs4\al(φ),ω)＋\f(2kπ,ω)))(k∈Z)．
[自主检测]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A．A＝3，T＝eq \f(5π,6)
B．A＝3，T＝eq \f(5π,3)
C．A＝eq \f(3,2)，T＝eq \f(5π,6)
D．A＝eq \f(3,2)，T＝eq \f(5π,3)
答案：D
2．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象的一条对称轴是( )
A．x＝eq \f(π,4) B．x＝eq \f(π,2)
C．x＝－eq \f(π,4) D．x＝－eq \f(π,2)
答案：C
3．y＝3－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))的值域为________．
答案：[1,5]
4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1的对称中心为________．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，1))，k∈Z
授课提示：对应学生用书第114页
探究一 由函数y＝Asin(ωx＋φ)确定性质
[例1] (1)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝eq \f(π,8)对称 B．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))对称
C．关于直线x＝eq \f(π,4)对称 D．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))对称
(2)已知函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象关于点P(x0,0)对称，若x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则x0＝________.
[解析] (1)依题意得T＝eq \f(2π,ω)＝π，ω＝2，
故f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)＋\f(π,4)))＝sineq \f(π,2)＝1≠0，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,4)＋\f(π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2)≠0，
因此该函数的图象关于直线x＝eq \f(π,8)对称．
(2)由题意可知2x0＋eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，
故x0＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)，k∈Z.
又x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，∴k＝0时，x0＝－eq \f(π,6).
[答案] (1)A (2)－eq \f(π,6)
研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质时，视ωx＋φ为一个整体，类比y＝sin x的性质得出．
函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称轴是________，对称中心是________．
解析：要使sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝±1，
必有2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)，
故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称轴为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)．
∵函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象与x轴的交点即为对称中心，令y＝0，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝0，
∴2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，即x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)(k∈Z)，
故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))(k∈Z)．
答案：x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))(k∈Z)
探究二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的解析式
[例2] [教材P241第4题拓展探究]
(1)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈R，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，如果x1＋x2＝eq \f(2π,3)，那么f(x1)＋f(x2)＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C．0 D．－eq \f(1,2)
(2)函数f(x)＝cs(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(1,4)，kπ＋\f(3,4)))，k∈Z
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(1,4)，2kπ＋\f(3,4)))，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(1,4)，k＋\f(3,4)))，k∈Z
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z
(3)如图，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π