人教A版 (2019)4.1 指数第2课时学案

这是一份人教A版 (2019)4.1 指数第2课时学案，共7页。

国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%.你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？
知识点1 分数指数幂的意义
在分数指数幂与根式的互化公式a＝eq \r(n,am)中，为什么必须规定a>0?
[提示] ①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即eq \r(n,am)＝a＝0，无研究价值．
②若a<0，a＝eq \r(n,am)不一定成立，如(－2)＝eq \r(2,－23)无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)0的任何指数幂都等于0.( )
(2)5＝eq \r(53).( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如eq \r(4,a2)＝a.( )
(4)a可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.将下列根式化为分数指数幂：
①eq \r(3,16)＝________；
②eq \r(5,x2)＝________；
③eq \r(6,m－5)＝________(m≥0)．
[答案] ①16 ②x ③m
知识点2 有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3.下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(eq \r(a)－1)0＝1D．(－a2)3＝a6
A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq \r(a)－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]
知识点3 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)5eq \r(3)是一个确定的实数．( )
(2)指数幂aα的指数α只能取无理数．( )
(3)＝8.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
类型1 根式与分数指数幂的互化
【例1】 (对接教材P106例题)将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)eq \r(a\r(a))(a>0)；(2)eq \f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(4,b))) (b>0)．
[解] (1)原式＝
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·eq \r(3,a2)；(2)eq \r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．
[解]
类型2 利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】 计算下列各式(式中字母均是正数)：
[解]
＝[2×(－6)÷(－3)]
＝4ab0
＝4a.
＝m2n－3
＝eq \f(m2,n3).
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．化简求值：
(1)0.027－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\f(1,4)))＋256＋(2eq \r(2))－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2eq \r(3,a)÷4eq \r(6,ab)×3eq \r(b3).
[解] (1)原式＝＋
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－eq \f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－eq \f(1,3)ac－1＝－eq \f(a,3c).
类型3 条件求值问题
【例3】 已知a＋a＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
代数式“a＋a”与“a＋a－1、a2＋a－2”间存在怎样的关系，可以借助哪些公式实现他们间的转化与化归？
[解] (1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．
[解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq \r(3)，即a－a－1＝±8eq \r(3).
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq \r(3)×14＝±112eq \r(3).
解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．已知a－a＝m，求a＋a－1及a2＋a－2的值．
[解] ∵a－a＝m，
∴(a－a)2＝a＋a－1－2＝m2，
即a＋a－1＝m2＋2.
∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2.
1．(多选)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
BC [A不符合题意，(－1)和(－1)均符合分数指数幂的定义，但(－1)＝eq \r(3,－1)＝－1，(－1)＝eq \r(6,－12)＝1；
B符合题意，eq \f(1,3)＝3；
C符合题意，4＝eq \r(4,22)＝2；
D不符合题意，4和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3均符合分数指数幂的定义，但4＝eq \f(1,4)＝eq \f(1,8)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3＝23＝8.]
2．把根式aeq \r(a)化成分数指数幂是( )
A．(－a) B．－(－a)
C．－aD．a
D [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]
3．已知x＋x＝5，则eq \f(x2＋1,x)的值为( )
A．5 B．23
C．25 D．27
B [∵x＋x＝5，∴x＋x－1＝23，即eq \f(x2＋1,x)＝23.]
4．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.
eq \f(9,4) [∵10x＝3，∴102x＝9，
又10y＝4，∴102x－y＝eq \f(102x,10y)＝eq \f(9,4).]
5．计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))0＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))－(0.01)0.5＝________.
eq \f(16,15) [原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.eq \r(n,am)用分数指数幂如何表示？
[提示] eq \r(n,am)＝a.
2．分数指数幂有哪些性质？
[提示] (1)as·ar＝as＋r；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr.
3．已知eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))的值，如何求a＋eq \f(1,a)的值？反之呢？
[提示] 设eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝m，则两边平方得a＋eq \f(1,a)＝m2－2；反之若设a＋eq \f(1,a)＝n，则n＝m2－2，∴m＝eq \r(n＋2).即eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝eq \r(n＋2).
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)
1．通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养．
2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.
分数指数幂
正分数
指数幂
规定：a＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数
指数幂
规定：a＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(n,am))
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数
指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义