高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时学案，共8页。


将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝eq \f(1,2)
x＝2 y＝4＝22 S＝eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2
x＝3 y＝8＝23 S＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3
…… …… ……
知识点1 指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.
1.为什么指数函数的底数a>0，且a≠1.
[提示] ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)函数y＝2－x不是指数函数．( )
[答案] (1)× (2)×
分别求出指数函数y＝2x在自变量取－2，－1，－eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，1,2时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测指数函数y＝2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
知识点2 指数函数的图象和性质
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
[提示] 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．
直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有02.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)指数函数y＝mx(m>0，且m≠1)是R上的增函数．( )
(2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)既不是奇函数，也不是偶函数．( )
(3)所有的指数函数图象过定点(0,1)．( )
(4)函数y＝a|x|与函数y＝|ax|的图象是相同的．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
3.函数y＝3－x的图象是( )
A B
C D
B [∵y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，∴B选项正确．]
类型1 指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)(对接教材P114例题)已知函数f(x)为指数函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)，则f(－2)＝________.
(1)D (2)eq \f(1,9) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，所以不是指数函数；
③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)得a＝eq \f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9).]
判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) [由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>0，,2a－1≠1，))
解得a>eq \f(1,2)，且a≠1，
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．]
类型2 指数函数的实际应用
【例2】 (对接教材P114例题)某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
[解] (1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．
经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.
∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为x∈N*.
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象如图所示．
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
∵8即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝(0.957 6)B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.957 6,100)))xD．y＝1－(0.042 4)
A [由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.957 6).]
类型3 指数函数的图象的应用
【例3】
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(1)D (2)(3,4) [(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0又00，所以b<0，故选D.
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．已知f(x)＝2x，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解] (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象.
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1B．y＝x3
C．y＝3·2xD．y＝3－x
D [结合指函数的定义可知D正确，故选D.]
2．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xD．f(x)＝x
B [设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]
3．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b4．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) [设原物质的量为1，则经过一年后该物质剩余量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，即年衰变量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).]
5．若函数f(x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<\f(4,3)，且a≠1)))) [由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3a>0，,4－3a≠1，))故a回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数f(x)＝ax是指数函数吗？
[提示] 不一定，当a>0且a≠1时，f(x)＝ax是指数函数．
2．指数型函数的形式是什么样的？
[提示] 形如y＝kax(a>0，且a≠1)
3．指数函数的图象主要由谁决定？
[提示] 指数函数的底数决定图象的变化趋势．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
1．通过指数函数图象的绘制，培养直观想象的数学素养．
2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.
x
－2
－1
－eq \f(1,2)
0
eq \f(1,2)
1
2
y＝2x
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
x
0
1
2
3
…
y
200
210
220.5
231.5
…