高中数学4.4 对数函数学案

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这是一份高中数学4.4 对数函数学案，共9页。

分别求出对数函数y＝lg2x在自变量取eq \f(1,8)，eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，1,2,4,8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝lg2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
知识点1 对数函数的图象和性质
对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？
[提示] 底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当01.函数y＝lgax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )
A．5 B．eq \f(1,5)
C．eq \f(1,e)D．eq \f(1,2)
A [由题图可知，a>1，故选A.]
2.函数f(x)＝lga(x＋1)的图象必经过定点________．
(0,0) [由x＋1＝1得x＝0，∴f(x)的图象必过定点(0,0)．]
知识点2 反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数．
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
3.(1)函数y＝lg2x的反函数是________；
(2)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的反函数是________．
[答案] (1)y＝2x (2)y＝ eq lg\s\d5(\f(1,2)) x
类型1 对数函数的图象问题
【例1】 (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
(2)若函数y＝lga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________.
(3)已知f(x)＝lga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
(1)B (2)－2 2 [(1)结合图象可知0x＝a，y＝b，结合图知b(2)由于函数图象恒过定点(3,2)，故
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga3＋b＝0，,c＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋b＝1，,c＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－2，,c＝2.))]
(3)[解] 因为f(－5)＝1，所以lga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝lg5|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg5x，x>0，,lg5－x，x<0.))
所以函数y＝lg5|x|的图象如图所示．
把本例(3)改为f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lg2x＋1))＋2，试作出其图象．
[解] 第一步：作y＝lg2x的图象，如图(1)所示．
(1) (2)
第二步：将y＝lg2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝lg2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝lg2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|lg2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3) (4)
函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
A B C D
C [∵a>1，∴0 类型2 比较对数值的大小
【例2】 (对接教材P133例题)比较下列各组值的大小：
(1)lg5eq \f(3,4)与lg5eq \f(4,3)；
(2) eq lg\s\d5(\f(1,3)) 2与 eq lg\s\d5(\f(1,5)) 2；
(3)lg23与lg54.
[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y＝lg5x在(0，＋∞)上是增函数，而eq \f(3,4)法二(中间值法)：因为lg5eq \f(3,4)<0，lg5eq \f(4,3)>0，
所以lg5eq \f(3,4)(2)法一(单调性法)：由于 eq lg\s\d5(\f(1,3)) 2＝eq \f(1,lg2\f(1,3))， eq lg\s\d5(\f(1,5)) 2＝eq \f(1,lg2\f(1,5))，
又因对数函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，
且eq \f(1,3)>eq \f(1,5)，所以0>lg2eq \f(1,3)>lg2eq \f(1,5)，
所以eq \f(1,lg2\f(1,3))法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝ eq lg\s\d5(\f(1,3)) x及y＝ eq lg\s\d5(\f(1,5)) x的图象，由图易知： eq lg\s\d5(\f(1,3)) 2< eq lg\s\d5(\f(1,5)) 2.
(3)取中间值1，
因为lg23>lg22＝1＝lg55>lg54，
所以lg23>lg54.
比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较对数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．比较下列各组值的大小：
(1) eq lg\s\d5(\f(2,3)) 0.5， eq lg\s\d5(\f(2,3)) 0.6；
(2)lg1.51.6，lg1.51.4；
(3)lg0.57，lg0.67；
(4)lg3π，lg20.8.
[解] (1)因为函数y＝ eq lg\s\d5(\f(2,3)) x是减函数，且0.5<0.6，所以 eq lg\s\d5(\f(2,3)) 0.5> eq lg\s\d5(\f(2,3)) 0.6.
(2)因为函数y＝lg1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以lg1.51.6>
(3)因为0>lg70.6>lg70.5，
所以eq \f(1,lg70.6)(4)因为lg3π>lg31＝0，lg20.8lg20.8.
类型3 解对数不等式
【例3】已知函数f(x)＝lga(x－1)，g(x)＝lga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
结合对数函数的单调性，思考解对数不等式要注意哪些问题？
[解] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,6－2x>0，))解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为lga(x－1)≤lga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1解得eq \f(7,3)≤x<3.
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(7,3)))；
当0＜a＜1时，不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，3)).
常见的对数不等式的3种类型
1．形如lgax＞lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．形如lgax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解．
3．形如lgax＞lgbx的不等式，可利用图象求解．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．(1)已知lgaeq \f(1,2)>1，求a的取值范围；
(2)已知lg0.7(2x)[解] (1)由lgaeq \f(1,2)>1得lgaeq \f(1,2)>lgaa.
①当a>1时，有a②当0所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
(2)因为函数y＝lg0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由lg0.7(2x)0，,x－1>0，,2x>x－1，))
解得x>1.
即x的取值范围是(1，＋∞).
1．函数y＝lga(x－1)(0 A B C D
A [函数y＝lga(x－1)(02．函数y＝eq \r( eq lg\s\d5(\f(1,3)) 2x－3)的定义域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))B．[2，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
D [依题意0<2x－3≤1，解得eq \f(3,2)3．设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( )
A．a>c>bB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
D [a＝lg32lg22＝1，由对数函数的性质可知lg524．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)，\f(2,3)))，则a＝________.
eq \r(2) [由题意可知f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，由f(eq \r(3,2))＝eq \f(2,3)得lgaeq \r(3,2)＝eq \f(2,3)，
∴a＝eq \r(2).]
5．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
{x|2即2回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝lga1x，y＝lga2x，y＝lga3x，y＝lga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
[提示] 作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.
2．函数y＝ax与y＝lgax(a>0且a≠1)的图象有何特点？
[提示] 两函数的图象关于直线y＝x对称．
3．如何解对数不等式lgaf(x)>lgag(x)(a>0，且a≠1)?
[提示] 分01两类分别求解．
当0lgag(x)⇔0当a>1时，lgaf(x)>lgag(x)⇔f(x)>g(x)>0.
4．比较对数值大小的常用方法有哪些？
[提示] (1)单调性法；(2)图象法；(3)中间量法．
学习任务
核心素养
1．会用描点法画出对数函数的简图．
2．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题．(重点)
1．通过对数函数图象的绘制，提升数学抽象素养．
2．借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
x
eq \f(1,8)
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
1
2
4
8
y＝lg2x
a的范围
0a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数

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