数学人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质导学案

这是一份数学人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质导学案，共8页。

授课提示：对应学生用书第97页
[教材提炼]
知识点 单调性及最值
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
(1)y＝sin x，x∈[－eq \f(π,2)，eq \f(3,2)π]，从图象上看，当x由－eq \f(π,2)增大到eq \f(π,2)时，曲线怎么变化，函数值怎么变化？当x由eq \f(π,2)到eq \f(3,2)π时，又如何变化？
(2)y＝cs x，x∈[－π，π]，如何变化？
知识梳理 正弦函数、余弦函数的性质
[自主检测]
1．函数y＝cs x－1的最小值是( )
A．0 B．1
C．－2 D．－1
答案：C
2．下列函数在区间[0，π]上是单调函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cs 2x
C．y＝sin 2x D．y＝cs x
解析：由y＝cs x的图象知，在[0，π]上递减，选D.
答案：D
3．利用函数y＝f(x)与y＝－f(x)的单调性相反，直接写出y＝－cs x的单调递减区间是________；单调递增区间是________．
答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
4．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10)))的大小关系为________．
答案：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＜sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10)))
授课提示：对应学生用书第98页
探究一 求三角函数的最值
[例1] 求下列函数的最大值和最小值．
(1)y＝3＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；
(2)y＝3－sin2x－4cs x.
[解析] (1)因为－1≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤1，所以当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝1时，ymax＝5；当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－1时，ymin＝1.
(2)因为y＝3－sin2x－4cs x
＝3－(1－cs2x)－4cs x＝cs2x－4cs x＋2
＝(cs x－2)2－2，
因为－1≤cs x≤1，
所以ymin＝(1－2)2－2＝－1，ymax＝(－1－2)2－2＝7.
三角函数最值问题的常见类型及求解方法
(1)y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
(2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)的范围，最后得最值．
(3)y＝lga(Asin(ωx＋φ))，设t＝Asin(ωx＋φ)，由定义域求t的范围，然后求值域．
求函数y＝3－4cs(2x＋eq \f(π,3))，x∈[－eq \f(π,3)，eq \f(π,6)]的最值．
解析：∵x∈[－eq \f(π,3)，eq \f(π,6)]，
∴2x＋eq \f(π,3)∈[－eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)]，从而－eq \f(1,2)≤cs(2x＋eq \f(π,3))≤1.
∴当cs(2x＋eq \f(π,3))＝1，即2x＋eq \f(π,3)＝0，即x＝－eq \f(π,6)时，
ymin＝3－4＝－1；
当cs(2x＋eq \f(π,3))＝－eq \f(1,2)，即2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3)，即x＝eq \f(π,6)时，
ymax＝3－4×(－eq \f(1,2))＝5.
探究二 比较三角函数值的大小
[例2] 比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°与cs 160°；
(2)cs eq \f(3,2)，sin eq \f(1,10)，－cs eq \f(7,4)；
(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3,8)π))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3,8)π)).
[解析] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cs 160°＝cs(90°＋70°)＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sin x在区间(0°，90°)内是增函数，
∴sin 14°－sin 70°，
∴sin 194°>cs 160°.
(2)sineq \f(1,10)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(1,10)))，－cseq \f(7,4)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(7,4)))，
∵0<π－eq \f(7,4)∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(7,4)))>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(1,10)))>cs eq \f(3,2)，
即－cs eq \f(7,4)>sin eq \f(1,10)>cs eq \f(3,2).
(3)cs eq \f(3π,8)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,8)))＝sin eq \f(π,8).
∵0而0∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,8))) (1)比较同名三角函数值的大小时，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，再利用函数单调性通过比较自变量确定函数值的大小．
(2)对不是同名的三角函数值比较大小时，应先化为同名三角函数，然后再比较大小．
比较下列各组数的大小．
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(37,6)π))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(49,3)π))；
(2)cs 870°与sin 980°.
解析：(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(37,6)π))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(49,3)π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)，
∵y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))(2)cs 870°＝cs(720°＋150°)＝cs 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cs 170°，
∵0°<150°<170°<180°，
∴cs 150°>cs 170°，即cs 870°>sin 980°.
探究三 求三角函数的单调区间
[例3] [教材P206例5拓展探究]
(1)求函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))x∈R的单调区间．
[解析] 设z＝eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)，则y＝sin z.
当z∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)时，y＝sin z为增．
∴2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)得4kπ－eq \f(5,3)π≤x≤4kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z.
当z∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))时，y＝sin z为减．
∴2kπ＋eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3,2)π得4kπ＋eq \f(π,3)≤x≤4kπ＋eq \f(7,3)π，k∈Z.
故y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的增区间为(4kπ－eq \f(5,3)π，4kπ＋eq \f(π,3))，k∈Z，
减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ＋\f(π,3)，4kπ＋\f(7,3)π))，k∈Z，
(2)求y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调增区间．
[解析] 因为y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))
＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，由－π＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ(k∈Z)得－eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
所以y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋kπ，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)．
(3)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω的取值范围为________．
[解析] 令eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
又ω＞0，∴eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(3π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)，k∈Z.
∵函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2ω)≤\f(π,3)，,\f(3π,2ω)≥\f(π,2)，))∴eq \f(3,2)≤ω≤3.
[答案] eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间的一般步骤：
(1)当ω>0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由2kπ－eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)解出x的范围，即为函数的单调递增区间；由2kπ＋eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)解出x的范围，即为函数的单调递减区间．
(2)当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调性讨论同上．另外值得注意的是，k∈Z这一条件不能省略．
授课提示：对应学生用书第99页
一、利用“整体思想”求解三角函数的性质
对于形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)的性质，视“ωx＋φ”为一个整体角z，即设z＝ωx＋φ，利用函数y＝Asin z或y＝Acs z的性质，如
(1)单调性
令ωx＋φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，ωx＋φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)．求出x的区间分别就是y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的增区间，减区间．
(2)对称轴
令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，求出x＝eq \f(1,ω)(kπ＋eq \f(π,2)－φ)，k∈Z为y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴．
(3)对称中心
令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求出x＝eq \f(1,ω)(kπ－φ)，k∈Z得y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心为(eq \f(1,ω)(kπ－φ)，0)，k∈Z.
[典例] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9
C．7 D．5
[解析] 因为x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为f(x)的图象的对称轴，所以eq \f(π,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝eq \f(T,4)＋kT，即eq \f(π,2)＝eq \f(4k＋1,4)T＝eq \f(4k＋1,4)·eq \f(2π,ω)，所以ω＝4k＋1(k∈N)．又因为f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，所以eq \f(5π,36)－eq \f(π,18)＝eq \f(π,12)≤eq \f(T,2)＝eq \f(2π,2ω)，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.
[答案] B
二、求单调区间忽视定义域
[典例] 求函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，x∈[－3π，3π]的单调增区间．
[解析] 由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)得4kπ－eq \f(5,3)π≤x≤4kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．
又∵x∈[－3π，3π]，
∴当k＝0时，－eq \f(5,3)π≤x≤eq \f(π,3)，
当k＝1时，eq \f(7,3)π≤x≤3π.
∴f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)π，\f(π,3)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,3)π，3π)).
纠错心得 求出f(x)的增区间的通式eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(5,3)π，4kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)，忽视题目条件x∈[－3π，3π]而致错，此时令k取某些整数与[－3π，3π]求交集，才是本题的答案，另外单调区间不能用“∪”联结．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握y＝sin x，y＝cs x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．
直观想象
数学运算
逻辑推理
2.掌握y＝sin x，y＝cs x的单调性，并能利用单调性比较大小．
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的单调区间.
函数
y＝sin x
y＝cs x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
对称性
对称轴：x＝kπ＋eq \f(π,2)
(k∈Z)；
对称中心：(kπ，0)
(k∈Z)
对称轴：x＝kπ
(k∈Z)；
对称中心：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期：2π
最小正周期：2π
单调性
在[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减
最值
在x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1