高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词课后复习题

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1．全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
2．存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．
思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
3．含有一个量词的命题的否定﹁
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；
存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
1．下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的菱形是正方形；
③三角形的内角和是180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
2．下列全称量词命题为真命题的是( )
A．所有的质数是奇数
B．∀x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
[答案] B
3．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，x＋20190.
[解] (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．
(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，
所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
含有一个量词的命题的否定
【例2】 (1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
(1)C (2)D [(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，￢p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]
含有一个量词的命题的否定的方法
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
2．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：∀x∈R，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解] (1) ￢p：∃x∈R，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＜0，假命题．
因为∀x∈R，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2≥0恒成立，所以￢p是假命题．
(2) ￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3) ￢r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．
因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以￢r是真命题．
(4) ￢s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以￢s是假命题．
全称量词命题与存在量词命题的应用
【例3】 对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
[解] 令y＝x2＋4x－1，x∈R，
则y＝(x＋2)2－5，
因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m0；
(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；
(3)∃x∈Q，x2＝3.
[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．
(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．
把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．
(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．
由于使x2＝3成立的实数只有±eq \r(3)，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.
2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.
2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.