2021年人教版高中数学必修第一册专题强化训练(五)《三角函数》(含答案详解)

专题强化训练(五)　三角函数

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．已知角θ的终边上一点P(a，－1)(a≠0)，且tan θ＝－a，则sin θ的值是(　　)

A．±　　 B．－

C.   D．－

B　[由题意得tan θ＝＝－a，

所以a2＝1，

所以sin θ＝＝－.]

2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是(　　)

A．1　　　　B．2       C．3　　　　D．4

C　[设扇形的半径为r，中心角为α，

根据扇形面积公式S＝lr得6＝×6×r，所以r＝2，

所以α＝＝＝3.]

3．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式为(　　)

A．y＝sinx   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

C　[函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y＝sin，再将所得的图象向左平移个单位，得到函数y＝sinx＋－＝sin.]

4．函数y＝cos2＋sin2－1是(　　)

A．最小正周期为2π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为π的奇函数

D．最小正周期为2π的偶函数

C　[y＝＋－1

＝cos－cos

＝

＝sin 2x，

∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．]

5．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

D　[由图象知，周期T＝2＝2，

∴＝2，∴ω＝π.

由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，

∴f(x)＝cos.

由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－<x<2k＋，k∈Z，

∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.]

二、填空题

6．已知sin α＝，且α是第二象限角，那么cos(3π－α)的值为________．

　[cos(3π－α)＝－cos α＝－(－)＝＝.]

7．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________.

4　[观察图象可知

函数y＝sin(ωx＋φ)的半个周期为，

所以＝，ω＝4.]

8．若α、β为锐角，且满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β＝________.

　[∵α、β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．

由cos α＝，求得sin α＝，

由cos(α＋β)＝求得sin(α＋β)＝，

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝2sin＋1

(1)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时x的值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

[解]　(1)当2x＋＝2kπ＋，取x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)max＝3.

(2)当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，

即kπ－≤x≤kπ＋时，函数f(x)为增函数．

故函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

10．已知函数f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若＜α＜，且f(α)＝－，求sin 2α的值．

[解]　(1)因为f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x，

所以f(x)＝sin 2x－sin2x＋cos2x

＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

所以函数f(x)的最小正周期是π.

(2)f(α)＝－，即sin＝－，

sin＝－.

因为＜α＜，所以＜2α＋＜，

所以cos＝－，

所以sin 2α＝sin

＝sin－cos＝×－×＝.

[等级过关练]

1．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)

A.   B.

C．0    D．－

A　[∵f(x＋π)＝f(x)＋sin x，

∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.

∴f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)．

∴f(x)是以2π为周期的周期函数．

又f＝f＝f.

f＝f＋sin，

∴f＝f－.

∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f＝0，

∴f＝f＝.故选A.]

2．已知函数f(x)＝－2tan(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

A　[由f＝－2得－2tan＝－2，

所以tan＝1，又|φ|＜π，

所以φ＝，f(x)＝－2tan，

令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z得

－＜x＜＋，k∈Z.

可得f(x)的单调递减区间是，k∈Z

令k＝1，可得f(x)的一个单调递减区间是.]

3．函数y＝(x∈R)的最大值为________．

3　[由题意有y＝－1，因为－1≤cos x≤1，所以1≤2－cos x≤3，则≤≤4，由此可得≤y≤3，于是函数y＝(x∈R)的最大值为3.]

4．函数f(x)＝的值域为________．

　[f(x)＝＝

＝2sin x(1＋sin x)

＝22－，

由1－sin x≠0得－1≤sin x＜1，

所以f(x)＝的值域为.]

5．已知函数f(x)＝a(cos2x＋sin xcos x)＋b.

(1)当a＞0时，求f(x)的单调递增区间；

(2)当a＜0且x∈时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．

[解]　f(x)＝a·＋a·sin 2x＋b

＝sin＋＋b.

(1)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即x∈，k∈Z，

故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)0≤x≤，≤2x＋≤，

－≤sin≤1，

f(x)min＝a＋b＝3，f(x)max＝b＝4，

∴a＝2－2，b＝4.