人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行第2课时精练

8.5.2 直线与平面平行

第2课时 直线与平面平行的性质

一、选择题

1．已知直线l和平面α，若，，则过点P且平行于l的直线（    ）

A．只有一条，不在平面α内

B．只有一条，且在平面α内

C．有无数条，一定在平面α内

D．有无数条，一定不在平面α内

【答案】B

【解析】假设过点P且平行于的直线有两条与，∴且，

由平行公理得，这与两条直线与相交与点相矛盾.

故选：B.

2．如图，在长方体中，、分别是棱和的中点，过的平面分别交和于点、，则与的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面

【答案】A

【解析】在长方体中，，、分别为、的中点，，

四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，，

又，，故选A.

3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC、AC于点E、F，则 (　  　)

A．MF∥NE

B．四边形MNEF为梯形

C．四边形MNEF为平行四边形

D．A1B1∥NE

【答案】B

【解析】

∵在AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM//BN，∴MN//AB.

又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴MN∥平面ABC.

又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，

显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B．

4．如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为　(　　)

A．2+ B．3+ C．3+2 D．2+2

【答案】C

【解析】因为AB=BC=CD=DA=2，所以四边形ABCD是菱形，所以CD∥AB，

又CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，所以CD∥平面SAB.

又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB=EF，所以CD∥EF，

所以EF∥AB.又因为E为SA中点，所以EF=AB=1.

又因为△SAD和△SBC都是等边三角形，所以DE=CF=2×sin60°=，

所以四边形DEFC的周长为：CD+DE+EF+FC=3+2.故选C.

5．（多选题）在梯形中，，平面，平面，则直线与平面内的直线的位置关系只能是（    ）

A．平行 B．异面 C．相交 D．共面

【答案】AB

【解析】

∵，平面，平面，∴平面，∴直线与平面内的直线没有公共点，直线与平面内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选A．

6．（多选题）在空间四边形中,分别是上的点,当平面时,下面结论正确的是(    )

A．一定是各边的中点

B．一定是的中点

C．,且

D．四边形是平行四边形或梯形

【答案】CD

【解析】由平面,所以由线面平行的性质定理,得,,则,且,且,四边形是平行四边形或梯形.

故选：.

二、填空题

7．如图，在三棱柱中，是的中点，是上一点，但平面，则的值为_______.

【答案】

【解析】如下图所示，连接交于点，连接.

在三棱柱中，，，

为的中点，，.

平面，平面，平面平面，，

，故答案为.

8．正方体中,,点为的中点,点在上,若平面,则_____.

【答案】

【解析】取中点，连接

为的中点，为中点平面

又因为：平面

平面平面 平面，

因为平面平面平面

为中点.

在中，计算知：

故答案为

9．如图，长方体中， ，，分别是侧棱，上的动点，，点在棱上，且，若平面，则.

【答案】2

【解析】连接AC，交BD于点O，连接PO.

因为平面PBD，平面 ，平面平面，所以；在上截取，连接，则，所以，

所以易知四边形为平行四边形，则.

又，，所以，故.

故答案为：.

10．如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有______填上所有正确命题的序号

，

，

截面PQMN，

异面直线PM与BD所成的角为．

【答案】

【解析】解：在四面体中，截面是正方形，，平面，平面，平面．

平面平面，，可得平面．

同理可得平面，．

，．

由，

是异面直线与所成的角，且为．

由上面可知：，．

，，

而，，

．

综上可知：都正确．

故答案为．

利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可得出．

三、解答题

11．如图所示，为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB,PC的中点，平面PAD平面PBC＝.

(1)求证：BC∥；                                              

(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】(1)证明 因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，

BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.

又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l.

(2)解 MN∥平面PAD.证明如下：

如图所示，取PD中点E，连结AE，EN.

又∵N为PC的中点，∴

又∵

∴

即四边形AMNE为平行四边形．

∴AE∥MN，又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD

.∴MN∥平面PAD.

12．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，点在侧棱上，且，若平面，试确定实数的值.

【答案】

【解析】如图，连接交于点，交于点，连接，易知为的中点.

∵分别为正三角形的边上的中线，

∴为正三角形的中心.

设菱形的边长为，则，.

∵平面，平面，平面平面，

∴，

∴

即，∴实数的值为.