2021学年1.3 集合的基本运算第1课时同步测试题

1.3　集合的基本运算

第1课时　并集与交集

1．并集

思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？

(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？

提示：(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．

(2)不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．

2．交集

3．并集与交集的运算性质

1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________，M∩N＝________.

{－1,0,1,2}　{0,1}　[∵M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，∴M∩N＝{0,1}，M∪N＝{－1,0,1,2}．]

2．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________.

{x|x>－3}　[如图：

故A∪B＝{x|x>－3}．]

3．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于________．

{2}或{1,2}　[∵{1}∪B＝{1,2}，∴B可能为{2}或{1,2}．]

,

并集概念及其应用

【例1】　(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)

A．{0}　　 B．{0,2}

C．{－2,0}   D．{－2,0,2}

(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　)

A．{x|x<－5或x>－3}   B．{x|－5<x<5}

C．{x|－3<x<5}   D．{x|x<－3或x>5}

(1)D　(2)A　[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.

(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示， 则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．

]

求集合并集的两种基本方法

1定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.

1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5} ，则A∪B＝________.

{0,1,2,3,4,5}　[A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]

交集概念及其应用

【例2】　(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)

A．{x|0≤x≤2}　　 B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4}   D．{x|1≤x≤4}

(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)

A．5　　　　B．4       C．3　　　　 D．2

(1)A　(2)D　[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，

故A∩B＝{x|0≤x≤2}．

(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，

∴8∈A,14∈A，

∴A∩B＝{8,14}，故选D.]

1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：

(1)定义法，(2)数形结合法．

2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(　　)

A．{0,2}　　　 B．{1,2}

C．{0}   D．{－2，－1,0,1,2}

A　[由题意知A∩B＝{0,2}．]

3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　)

A．－1<a≤2   B．a>2

C．a≥－1   D．a>－1

D　[因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]

集合交、并运算的性质及综合应用

[探究问题]

1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？

提示：A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B.

2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？

提示：若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.

【例3】　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．

[思路点拨]　

[解]　(1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.

(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，

只需解得2≤k≤.

综合(1)(2)可知k≤.

1．对并集、交集概念的理解

(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．

(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.

2．集合的交、并运算中的注意事项

(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．

(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．

1．思考辨析

(1)集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的所有元素的个数和．(　　)

(2)当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与集合B就没有交集.    (　　)

(3)若A∪B＝A∪C，则B＝C.(　　)

(4)A∩B⊆A∪B.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)

A．{0,1}　　　　 B．{0}

C．{－1,2,3}   D．{－1,0,1,2,3}

D　[由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]

3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝(　　)

A．{1}   B．{2}

C．{－1,2}   D．{1,2,3}

B　[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}∴A∩B＝{2}．]

4．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．

(1)求a，b的值及A，B；

(2)求(A∪B)∩C.

[解]　(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，

∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．

(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．