数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示学案

这是一份数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示学案，共17页。学案主要包含了区间的表示，函数的判断，定义域，解析式，相等函数，分段函数等内容，欢迎下载使用。
3.1 函数的概念    考点一 区间的表示【例1】（2019·全国高一）一般区间的表示设，且，规定如下:定义名称符号数轴表示    闭区间______    开区间______    半开半闭区间______    半开半闭区间______【答案】                【解析】(1).若,写成区间形式为(2).若,写成区间形式为(3).若,写成区间形式为(4).若,写成区间形式为故答案为: (1).     (2).     (3).     (4). 【一隅三反】1．（2019·全国高一课时练习）已知区间，则的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，区间，则满足，解得，即的取值范围为．故答案为．2．（2019·全国高一课时练习）用区间表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．【答案】            【解析】（1）根据集合与区间的改写，可得．（2）由或．（3）由或．3．（2019·全国高一课时练习）用区间表示下列集合：______；______；______；______.【答案】                【解析】集合表示大于的所有实数，可用开区间表示为；集合表示大于2且小于或等于5的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示小于或等于的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示大于或等于2且小于或等于4的所有实数，可用闭区间表示为. 考点二 函数的判断【例2-1】（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.故选：C．【例2-2】（2019·浙江湖州.高一期中）下列对应关系是从集合到集合的函数的是（    ）A．，，：B．，，：C．，，：D．，，：【答案】D【解析】A.，，：不是函数关系，∵当x＝0时，|0|＝0，|x|＞0不成立，∴不是函数关系；B. ，，：的定义域是，不是，当时，无意义，∴不是函数关系；C. ，，：的定义域是，不是，当是负整数时，无意义，∴不是函数关系；D. ，，：是函数关系.故选：D【一隅三反】1．（2020·上海高一课时练习）如图所示，表示函数图像的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项B的图象满足这一点．故选：B．2．（2020·上海高一课时练习）下列各图中能作为函数图像的是（    ）．            A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】A【解析】对①②，对于定义域内的任意一个，都有唯一的值与对应，则①②正确；对③，在内，此时一个有两个值与对应，则③错误；对④，在内，此时一个有两个值与对应，则④错误；故选：A3．（2020·全国高一课时练习）判断下列对应是否为函数：（1）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；（2）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；（3）x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.【答案】（1）不是；（2）是；（3）是【解析】（1）根据函数概念知，当时，在没有值与对应，所以不是函数；（2）根据函数概念，当时，，所以对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；（3）根据函数概念，对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数； 考点三 定义域【例3-1】（2020·上海高一开学考试）函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，解得x≥且x≠2．∴函数的定义域为．故选：C．【例3-2】（2020·全国高一）已知的定义域为，（1）求的定义域；（2）求的定义域【答案】（1）（3，5）；（2）.【解析】（1）的定义域为，，则，即的定义域为；（2）的定义域为；由得，即的定义域为．【一隅三反】1．（2019·浙江高一期中）函数的定义域是(   )A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，且，得到，且，故选：D2．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）函数的定义域为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由 ，可得 ，所以函数的定义域为 .故选A.3．（2020·浙江高一课时练习）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．【答案】【解析】由－1<2x＋1<0，得－1<x<－，所以函数f(2x＋1)的定义域为4．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（文））设的定义域为，则函数的定义域是___________.【答案】【解析】∵函数的定义域为， ∴函数满足， 解不等式，得，即函数的定义域是，故选A5．（2020·全国高一）已知函数的定义域为，求的定义域             .【答案】【解析】由题意，函数的定义域为，则函数满足，解得，即，即函数的定义域为.6（2020·全国高一）已知函数的定义域为[1，4]，求的定义域       .【答案】∪.【解析】由，得，即或，解得x ≤ ，或.∴函数的定义域为(-∞，]∪[，+∞).考点四 解析式【例4】（2020·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）.【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）【解析】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解，将原式中的x与互换，得.于是得关于f(x)的方程组解得.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；（2）f(2x＋1)＝6x＋5；（3）f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.【答案】（1）或；（2）f(x)＝3x＋2；（3）.【解析】（1）由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1由恒等式性质，得或∴所求函数解析式为或（2）设2x＋1＝t，则∴f(x)＝3x＋2.（3）将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，2．（2020·全国高一）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）设，则，又，所以，，解得或，因此，或；（2），则，，即，即，所以，解得.因此，.3．（2019·山西高一月考）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得：定义域为设，则    （2）由…①得：…②①②联立消去得：考点五  函数值【例5】（2020·浙江高一课时练习）若函数，那么（    ）A．1 B．3 C．15 D．30【答案】C【解析】由于，当时，，故选C.【一隅三反】1．（2020·浙江杭州 高二期末）已知，则（    ）A．15 B．21 C．3 D．0【答案】D【解析】根据的解析式，有.故选：D2．（2020·上海高一课时练习）已知，则_________．【答案】【解析】，，所以故答案为：3．（2020·全国高一课时练习）若函数f(x)＝，g(x)＝，则的值为____________.【答案】【解析】.故答案为：4．（2018·浙江下城.杭州高级中学高一期中）若函数，则______________．【答案】-1【解析】当时,故.故答案为：考点六 相等函数【例6】（2019·内蒙古集宁一中高三月考）下列四组函数中,表示同一函数的是（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A:， ，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数.故选A.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号).（1）y＝x－1和y＝；（2）y＝x0和y＝1；（3）f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；（4）f(x)＝和g(x)＝.【答案】（4）【解析】（1）的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；（2）的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；（3）两个函数的对应关系不同，故不是同一个函数；（4）因为两个函数的定义域均为，且，故两函数是同一个函数.故答案为：（4）2．（2020·全国高一课时练习）下列函数；；；与函数是同一函数的是________.【答案】【解析】定义域是，所以与函数不是同一函数；定义域是，所以与函数不是同一函数；，所以与函数是同一函数；，所以与函数不是同一函数.故答案为：3．（2020·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.①，；②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：③，；④，.【答案】②【解析】①，，存在对应两个的情况，所以不是A到B的函数；②符合函数的定义，是A到B的函数；③，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数；④，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数.故答案为：②考点七 分段函数【例7-1】（2020·上海高一开学考试）已知函数，则的值为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】由题意得,,,,所以,故选：A.【例7-2】（2020·全国高一课时练习）设函数若f（a）＝4，则实数a＝（ ）A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2【答案】B【解析】当时，，解得；当时，，解得，因为，所以，综上，或，故答案选【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）设，则等于（    ）A．1 B．0 C．2 D．-1【答案】C【解析】 ,.故选: C.2．（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝，则使函数值为的的值是（    ）A．或 B．或C． D．或或【答案】C【解析】当时，令，得，解得；当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去.综上所述，.故选：C.3．（2020·全国高一课时练习）已知（1）画出f(x)的图象；（2）若，求x的值；（3）若，求x的取值范围.【答案】（1）作图见解析；（2）；（3）【解析】（1）函数的对称轴，当时，；当时，；当时，，则f(x)的图象如图所示.（2）等价于①或②或③解①得，②③的解集都为∴当时，.（3）由于，结合此函数图象可知,使的x的取值范围是