数学人教A版 (2019)4.3 对数学案

4.3  对数的运算

考点一  指数对数的转化

【例1】（2020·上海高一课时练习）将下列指数式与对数式互化.

（1）；              （2）；

（3）；            （4）.

【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.

【解析】因为由可得，所以

(1)由可得；

(2)由可得；

由可得，所以

(3)由可得；

(4)由可得.

【一隅三反】

1．（2020·全国高一课时练习）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【解析】，故正确；

，故正确；

，，故不正确；

，故正确．

故选：C．

2．（2020·全国高一课时练习）将下列指数式写成对数式：

（1）；（2）；（3）；（4）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】（1）因为，所以.

（2）因为，所以.

（3）因为，所以.

（4）因为，所以.

3．（2020·上海高一课时练习）将下列对数式改为指数式：

（1），指数式为__________；

（2），指数式为__________；

（3），指数式为__________；

（4），指数式为____________.

【答案】               

【解析】由于，所以：

（1），指数式为；

（2），指数式为；

（3），指数式为；

（4），指数式为

故答案为：；；；.

考点二  对数式求值

【例2】（2020·全国高一课时练习）求下列各式中x的值：

（1）；                （2）；

（3）；                    （4）.

【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）

【解析】（1）因为所以.

（2）因为,所以.又所以

（3）因为所以于是

（4）因为所以于是

【一隅三反】

1．（2019·福建省仙游县枫亭中学高一期中）下列四个等式:①;②;③若,则;④若,则.

其中正确的是(    )

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

【答案】C

【解析】①;②;③若,则;

④若,则.故选：C

2．（2019·安徽金安·六安一中高一月考）已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，∴，∴，∴．

∴．故选D．

3．（2020·宁县第二中学高一月考）方程的解__________

【答案】

【解析】∵，∴，∴

经检验满足故答案为：.

考点三  对数式化简

【例3】（1）（2020·湖北黄冈·高一月考）计算：_______ .

（2）（2020·山西应县一中高二期中（文））计算：__________．

（3）的值等于______．

【答案】（1）2（2）4（3）

【解析】（1）原式.

故答案为：2.

（2）原式

故答案为4

（3）

=．故答案为:．

【一隅三反】

1．（2020·四川达州·高三其他（文））计算______．

【答案】0

【解析】由题意.

故答案为：.

2．（2020·石嘴山市第三中学高二期末（理））______.

【答案】

【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得

，

故答案为：.

3.   log2＋log212－log242；

【答案】－

【解析】原式＝log2＝log22＝－.

4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.

【答案】1

【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.

考点四  换底公式

【例4】（2020·浙江高一课时练习）若，且，则为（    ）

A．0 B．1 C．1或2 D．0或2

【答案】D

【解析】令，

则，，，

依换底公式得

或.

当时，且，故；

当时，

.

故选：D

【一隅三反】

1．（2020·上海高一课时练习）_________.

【答案】3

【解析】原式.故答案为：.

2．（2018·江苏省连云港市锦屏高级中学高一期中）设，，则等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据对数的换底公式得，，故选D．

3．（2020·浙江高一课时练习）计算：

（1）.

（2）.

【答案】（1）4；（2）.

【解析】（1）.

（2）

.

考点五  指数对数运算的综合

【例5】（2020年广东湛江）（1）已知，试用表示.

（2）若26a＝33b＝62c，求证：＋＝.

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】（1）.

∵∴.则.

（2）证明　设26a＝33b＝62c＝k (k＞0)，

那么∴

∴＋＝6·logk2＋2×3logk3

＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝，即＋＝.

【一隅三反】

1．（2019·浙江南湖·嘉兴一中高一月考）若实数a，b满足，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【解析】因为，所以，

．故选：D．

2．（2020·浙江高二月考）若，，则________，________．

【答案】1       

【解析】因为，所以，又，所以，

.

3．（2020·定远县育才学校高一月考）已知log189＝a，18b＝5，则log3645=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得，

．

故选：D．